高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第15章 概率本章综合与测试同步达标检测题

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易混易错练

易错点1　应用列举法表示样本点时重复或遗漏致误

1.()在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.              B.              C.              D.

2.(2019浙江杭州二中高二下期中,)一个袋子中有4个红球,2个白球,除颜色外完全相同,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是(　　)

A. B. C. D.

3.()某人做试验,从一个装有标号分别为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地任取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).

(1)写出这个试验的所有结果;

(2)写出“第一次取出的小球上的标号是2”这一事件.

4.()小王、小李两名同学玩掷骰子(骰子质地均匀)的游戏,规则:小王先掷一次骰子,向上的点数记为x,小李再掷一次骰子,向上的点数记为y.

(1)在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?

(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.

易错

易错点2　画图表示样本点时遗漏致误

5.()口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色以外完全相同.四个人按顺序依次从口袋中不放回地摸出一个球,试用树形图画出所有的情况.

6.()抛掷两颗质地均匀的骰子,观察骰子向上一面的点数,求:

(1)点数之和是4的倍数的概率;

(2)点数之和大于5且小于10的概率.

易错点3　不会应用对立事件求解相关的概率问题

7.()在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,则下列事件中概率为的是(　　)

A.恰有1件一等品 B.至少有1件一等品

C.至多有1件一等品 D.2件都不是一等品

易错点4　混淆事件的互斥与独立致误

8.()甲、乙两人独立解决同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有一人解决这个问题的概率是(　　)

A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1)

C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2)

9.()投掷一枚质地均匀的硬币和一颗质地均匀的骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一个发生的概率是(　　)

A. B. C. D.

思想方法练

一、分类讨论思想在解决概率问题中的运用

1.()甲、乙、丙、丁4人到电影院看电影,只剩下编号为1,2,3的3个座位,于是4人抽签决定谁坐几号座位,余下1人离开,则甲抽到2号座位的概率为　　　　. 

2.()甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.

(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

二、数形结合思想在解决概率问题中的运用

3.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.

(1)若用A表示和为6的事件,求P(A);

(2)现连玩三次,若用B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是不是互斥事件,为什么?

(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

三、转化与化归思想在解决概率问题中的运用

4.()某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况的活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:

(1)求有4人或5人外出家访的概率;

(2)求至少有3人外出家访的概率.

5.()甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都为0.6.求:

(1)两人都投中的概率;

(2)至少有一人投中的概率.

四、正难则反思想在解决概率问题中的运用

6.()现有8名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3数学成绩优秀,B1,B2,B3物理成绩优秀,C1,C2化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.

(1)求C1被选中的概率;

(2)求A1和B1不全被选中的概率.

7.()有4张面值相同的奖券,其中有2张能中奖.

(1)有放回地从奖券中任取2次,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张能中奖的概率;

(2)无放回地从奖券中任取2次,每次取出1张,计算取出的2张中至少有1张能中奖的概率.

五、方程思想在概率问题中的应用

8.()有3个两两互斥的事件A,B,C,已知事件A+B+C是必然事件,事件A的概率是事件B的概率的2倍,事件C的概率比事件B的概率大0.2.则事件A,B,C的概率分别为　　　　. 

答案全解全析

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易混易错练

1.C　由题可得,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12个样本点,

记“不是整数”为事件M,则M={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,3)},共8个样本点,

∴“不是整数”的概率P(M)==.故选C.

2.B　设4个红球为a1,a2,a3,a4,2个白球为b1,b2,从中任取2个球的样本空间Ω={(a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a1,b1), (a1,b2),(a2,a3), (a2,a4),(a2,b1),(a2,b2), (a3,a4),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},共15个样本点,记“这2个球中有白球”为事件M,则M={(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2), (a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)},共9个样本点,因此所求概率P(M)==,故选B.

3.解析　(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.因此,这个试验的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

(2)记“第一次取出的小球上的标号是2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.

4.解析　(1)由于x,y的取值均为1,2,3,4,5,6,所以以(x,y)为坐标的点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,即以(x,y)为坐标的点共有36个.

(2)公平.理由如下:满足x+y≥10的点有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个,

所以小王赢的概率是=.

满足x+y≤4的点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个,所以小李赢的概率是=,

所以小王赢的概率等于小李赢的概率,

所以这个游戏规则公平.

易错警示　本题的样本点较多,且与顺序有关,列举时要做到不重不漏.

5.解析　把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁,把两个白球编上序号1,2,把两个黑球也编上序号1,2,于是四个人按顺序依次从口袋中摸出一个球的所有可能结果如图所示:

6.解析　如图,共有36种情况.

(1)记“点数之和是4的倍数”为事件A,从图中可以看出,事件A包含9种情况,所以P(A)=.

(2)记“点数之和大于5且小于10”为事件B,从图中可以看出,事件B包含20种情况,如图中虚线框内所示,所以P(B)=.

7.C　将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有6种,所以恰有1件一等品的概率为;2件都不是一等品的取法有1种,所以2件都不是一等品的概率为,其对立事件是至少有1件一等品,概率为1-=;2件都是一等品的取法有3种,故恰有2件一等品的概率为,其对立事件是至多有1件一等品,概率为1-=.故选C.

8.B　甲能解决乙不能解决的概率为p1(1-p2),乙能解决甲不能解决的概率为p2(1-p1).故恰好有一人解决这个问题的概率为p1(1-p2)+p2(1-p1),故选B.

9.C　“硬币正面向上”的概率P(A)=,“骰子向上的点数是3”的概率P(B)=,则事件A,B中至少有一个发生的概率是1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-×=,故选C.

思想方法练

1.答案　

解析　4人坐3个座位,情况较复杂,可以利用树形图(如图)表示抽签的结果:

由图可知,共有4大类,每大类中有6种结果,因此共有24种等可能发生的结果,其中“甲抽到2号座位”记为事件A,则A的结果有6种,所以P(A)==.

2.解析　把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;

“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;

“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;

“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.

因此共有6+6+6+2=20种情况.

(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为=,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为=,故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为+=.

(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为=,故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为1-=.

3.解析　如图,样本点总数为25.

(1)由图知,事件A包含的样本点有5个,故P(A)==.

(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.

(3)这种游戏规则不公平.理由如下:由图知和为偶数的样本点有13个,所以甲赢的概率为,故乙赢的概率为,所以这种游戏规则不公平.

4.解析　(1)设“派出2人及以下外出家访”为事件A,“派出3人外出家访”为事件B,“派出4人外出家访”为事件C,“派出5人外出家访”为事件D,“派出6人及以上外出家访”为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C与D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,

P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.

(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访,所以由对立事件的概率公式可知所求概率P=1-P(A)=1-0.1=0.9.

5.解析　(1)设A=“甲投篮一次,投中”,B=“乙投篮一次,投中”,由题意知,事件A与B相互独立,根据公式知所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.6=0.36.

(2)事件“两人各投篮一次,至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次,均未投中”的概率是P()=P()P()=(1-0.6)×(1-0.6)=0.16,

因此,至少有一人投中的概率为1-P(　)=1-0.16=0.84.

6.解析　(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.

用M表示“C1被选中”这一事件,则

M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)},共9个样本点,因而P(M)==.

(2)用N表示“A1和B1不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“A1和B1全被选中”这一事件,

由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},共2个样本点,所以P()==.

由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=.

7.解析　(1)把4张奖券分别编号1,2,3,4,其中3,4是中奖奖券,用(2,3)表示“第一次取出2号奖券,第二次取出3号奖券”,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

用C表示“有放回地从奖券中任取2次,取出的2张都不能中奖”,则表示“有放回地从奖券中任取2次,取出的2张中至少有1张能中奖”,则C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},所以P()=1-P(C)=1-=.

(2)无放回地从奖券中任取2次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.

用D表示“无放回地从奖券中任取2次,取出的2张都不能中奖”,则表示“无放回地从奖券中任取2次,取出的2张至少有1张能中奖”,

则P()=1-P(D)=1-=.

8.答案　0.4,0.2,0.4

解析　设P(B)=x,则P(A)=2P(B)=2x,P(C)=P(B)+0.2=x+0.2,故1=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=2x+x+(x+0.2)=4x+0.2,解得x=0.2,

故P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(C)=0.4.