高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第1章 集合本章综合与测试课后复习题

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易混易错练

易错点1　忽略集合中元素的互异性致错

1.(2019江苏姜堰第二中学高一月考,)集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∩B={1},则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.-1 C.±1 D.1或2

2.(2019黑龙江鹤岗一中高一月考,)设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a=(　　)

A.-3或-1或2 B.-3或-1

C.-3或2 D.-1或2

3.(2019江苏泗阳中学期中,)已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,则b的值为　　　　. 

4.()设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},B⊆A,求实数a的值.

易错点2　忽略对空集的讨论致错

5.(2019江苏太仓高级中学月考,)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},且A∩B=B,则实数a的取值集合为(　　)

A.{-1,0,1} B.{-1,1}

C.{-1} D.{0,1}

6.(2019江苏滨海中学期中,)若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B⊆A,则m的取值范围为　　　　　　. 

7.(2019江苏沙溪高级中学期中,)已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4},全集U=R.

(1)当a=2时,求A∪B;

(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.

易错点3　忽略对区间端点的取舍致错

8.(2019江苏东山高级中学期中,)已知集合A={x|y=},B={x|x≥a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-3] B.(-∞,-3)

C.(-∞,0] D.[3,+∞)

9.()已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.

(1)若A⊆B,求a的取值范围;

(2)若全集U=R,且A⊆∁UB,求a的取值范围.

10.()已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.

思想方法练

一、分类讨论思想在解决集合问题中的应用

1.(2019江苏苏州高一月考,)若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中只有一个元素,则a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0 B.1 C.0或1 D.-1

2.(2019江苏响水中学月考,)给定集合A,B,定义A*B={x|x=m-n,m∈A,n∈B},若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合A*B中所有元素之和为(　　)

A.15 B.14 C.27 D.-14

3.(2019山东淄博第一中学高一期中,)已知集合A={x|x2-4x=0},B={x|ax2-2x+8=0}.

(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;

(2)是否存在实数a,使得A∪B={0,2,4}?若存在,求实数a的值;若不存在,说明理由.

4.()设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|2x2-2px+p2-3p+4=0},若B是A的子集,求实数p的取值范围.

二、数形结合思想在解决集合问题中的应用

5.()已知全集U,对于集合M、N,若M⊆N,则下列集合的运算结果一定是空集的是(　　)

A.M∩∁UN    B.(∁UM)∩N

C.∁UM∩∁UN   D.M∩N

6.(2018江苏沭阳中学月考,)已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8},若∁UB={1,4,6,8,9},则集合B=　　　　　　. 

7.()已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},若B⊆A,求实数a的取值范围.

三、转化与化归思想在解决集合问题中的应用

8.(2019山西长治第二中学月考,)已知集合A={x|x=3k+1,k∈N},B={y|y=4k-1,k∈N},若集合C={1,2,3,4,5,6,7,8},则(A∪B)∩C=(　　)

A.{7} B.{2,4,7}

C.{1,3,7} D.{1,3,4,7}

9.(2019江苏镇江第一中学高一月考,)已知集合A={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},集合B={x∈R|x2+4x=0}.

(1)若集合A=⌀,求实数a的取值范围;

(2)若集合A∩B中只有一个元素,求实数a的值.

答案全解全析

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易混易错练

1.B　因为A∩B={1},所以1∈A,所以a2=1,所以a=±1.

当a=1时,B={1,1},不满足集合中元素的互异性,舍去;

当a=-1时,B={-1,1},满足题意.

故a的值为-1. 故选B.

2.C　若1-a=4,则a=-3,∴a2-a+2=14,

∴A={2,4,14};

若a2-a+2=4,则a=2或a=-1,

当a=2时,1-a=-1,∴A={2,-1,4},

当a=-1时,不满足集合中元素的互异性.

综上,a=-3或a=2.

3.答案　-

解析　∵A=B,∴或

解得或

当b=1时,不满足集合中元素的互异性;

当b=-时,满足题意.故b=-.

4.解析　因为B⊆A,所以1∈A,a2-a+1∈A,故分两种情况讨论.

①当a2-a+1=3时,解得a=-1或a=2,经检验,满足条件.

②当a2-a+1=a时,解得a1=a2=1,此时A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,舍去.综上所述,a=-1或a=2.

5.A　∵A={x|x2=1}={-1,1},A∩B=B,

∴B⊆A,∴B=⌀或B={-1}或B={1},

∴a=0或=-1或=1,

解得a=0或a=-1或a=1.

∴实数a的取值集合为{-1,0,1}.

6.答案　{m|m≤3}

解析　当m+1>2m-1,即m<2时,B=⌀,满足B⊆A,

若B≠⌀,且B⊆A,则

解得2≤m≤3.

综上所述,m的取值范围是{m|m≤3}.

7.解析　(1)当a=2时,A={x|1<x<7},所以A∪B={x|-2≤x<7}.

(2)因为A∩B=A,所以A⊆B.

①当A=⌀,即a-1≥2a+3,即a≤-4时,满足题意;

②当A≠⌀时,由A⊆B,得

解得-1≤a≤.

综上所述,实数a的取值范围为a≤-4或-1≤a≤.

8.A　由已知,得A=[-3,3],由A∩B=A,得A⊆B,又B=[a,+∞),所以a≤-3.故选A.

9.解析　由题意得B={x|x≥a}.

(1)由A⊆B,结合数轴(如图所示),

可知a≤-4,故a的取值范围是{a|a≤-4}.

(2)∵U=R,∴∁UB={x|x<a},要使A⊆∁UB,

结合数轴(如图所示).

可知a>-2,故a的取值范围是{a|a>-2}.

10.解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示,

或

则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3,所以a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.

思想方法练

1.C　当a=0时,A=,满足题意;

当a≠0时,令Δ=4-4a=0,解得a=1.

综上,a=0或a=1.故选C.

2.A　由题意可知,m=4,5,6,n=1,2,3.

当m=4,n=1,2,3时,m-n=3,2,1;

当m=5,n=1,2,3时,m-n=4,3,2;

当m=6,n=1,2,3时,m-n=5,4,3.

所以A*B={1,2,3,4,5},

所以集合A*B中所有元素之和为15.

3.解析　(1)由题意得A={0,4}.

∵A∩B=B,∴B⊆A.

①当a=0时,B={x|-2x+8=0}={4}⊆A,

故a=0符合题意.

②当a≠0时,

若B=⌀,则

解得a>;

若B≠⌀,则a≤.当B中有2个元素时,由B⊆A得B={0,4},

由根与系数的关系得无实数解.

当B中只有一个元素,即一元二次方程有两个相等的实数根时,Δ=4-32a=0,解得a=,则B={x|x2-16x+64=0}={8},

不满足B⊆A,舍去,综上,a>或a=0.

(2)不存在.理由如下:

∵A∪B={0,2,4}且A={0,4},

∴B可能为{2},{0,2},{2,4}.

当a=0时,B={x|-2x+8=0}={4},不合题意,故a≠0.

①当B={2}时,无实数解;

②当B={0,2}时,由根与系数的关系得无实数解;

③当B={2,4}时,由根与系数的关系得无实数解.

故不存在实数a使得A∪B={0,2,4}.

4.解析　A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.

因为B是A的子集,

所以B可能为⌀、{1}、{2}或{1,2}.

方程2x2-2px+p2-3p+4=0中,Δ=(-2p)2-8(p2-3p+4)=-4(p-2)(p-4).

①若p<2或p>4,

则Δ<0,此时B=⌀,为A的子集;

②若p=2,原方程为2x2-4x+2=0,

此时B={1},为A的子集;

③若p=4,原方程为2x2-8x+8=0,

此时B={2},为A的子集;

④若2<p<4,则Δ>0,原方程有2个相异实根,

由B是A的子集得B={1,2},

由 得p=3.

综上,当p∈(-∞,2]∪{3}∪[4,+∞)时,B是A的子集.

5.A　根据题意作出Venn图,如图所示:

M∩∁UN=⌀,(∁UM)∩N≠⌀,∁UM∩∁UN≠⌀,M∩N=M≠⌀.故选A.

6.答案　{2,3,5,7}

解析　因为A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8},所以U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

又∁ UB={1,4,6,8,9},画出Venn图(如图所示),

所以B={2,3,5,7}.

7.解析　∵a<1,∴2a<a+1,∴B≠⌀,画出数轴如图所示.

或

由图知要使B⊆A,需2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.

又∵a<1,

∴实数a的取值范围是aa≤-2或≤a<1.

8.D　对于集合A,当k=0时,x=1,当k=1时,x=4,当k=2时,x=7.所以A∩C={1,4,7}.

对于集合B,当k=0时,x=-1,当k=1时,x=3,当k=2时,x=7.所以B∩C={3,7},所以(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)={1,3,4,7}.故选D.

9.解析　(1)若A=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1,∴实数a的取值范围为a<-1.

(2)∵集合A∩B中只有一个元素,且B={0,-4},∴-4∈A,0∉A或0∈A,-4∉A.

当-4∈A时,将x=-4代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,解得a=1或a=7.

将a=1代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2+4x=0,则集合A={-4,0},与题设矛盾,舍去;

将a=7代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2+16x+48=0,则集合A={-4,-12},符合题意.

当0∈A时,将x=0代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,解得a=1(舍去)或a=-1.

将a=-1代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x=0,则集合A={0},符合题意.

综上所述,实数a的值为7或-1.