苏教版 (2019)必修 第二册15.2 随机事件的概率课后作业题

15.2　随机事件的概率

基础过关练

题组一　古典概型的判断

1.(2020江苏盐城明达中学高一阶段测试)下列不是古典概型的是(　　)

A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的概率

B.同时抛掷两颗骰子,点数和为7的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.6个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率

2.下列概率模型中,古典概型的个数为(　　)

①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;

②从1,2,…,9,10中任取一个整数,求取到1的概率;

③在正方形ABCD内任选一点P,求点P刚好与点A重合的概率;

④抛掷一颗质地不均匀的骰子,求向上点数为3的概率.　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.2 C.3 D.4

题组二　古典概型概率的求解

3.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是(　　)

A. B. C. D.

4.据人口普查统计,育龄妇女生男生女是等可能的,若生育二胎,则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是(　　)

A. B. C. D.

5.从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次任取1件,每次取出后放回,连续取两次,则取出的两件中恰好有一件次品的概率为　　　　. 

6.(2020江苏沭阳高级中学高一阶段检测)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球.从中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率为　　　　. 

题组三　古典概型的综合应用

7.(2020江苏姜堰第二中学期中)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率是(　　)

A. B. C. D.

8.有5根木棍,其长度分别为2,3,4,5,6,从这5根木棍中任取3根,首尾相接能构成三角形的概率是(　　)

A. B.

C. D.

9.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班50名同学(其中男同学30名,女同学20名)采取分层抽样的方法,抽取一个容量为10的样本进行研究,则女同学甲被抽到的概率为　　　　. 

10.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐标系中,设点Q(x,y),其中x∈A,y∈A,且x≠y.求:

(1)点Q(x,y)不在x轴上的概率;

(2)点Q(x,y)正好在第二象限的概率.

题组四　随机事件的频率与概率

11.下列关于概率的说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.频率就是概率

B.任何事件的概率都在(0,1)之间

C.概率是客观存在的,与试验次数无关

D.概率是随机的,与试验次数有关

12.(2020江苏溧水高级中学高一阶段检测)在一次抛硬币的试验中,同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了45次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)

A.0.45,0.45 B.0.5,0.5

C.0.5,0.45 D.0.45,0.5

13.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示:

(1)计算表中进球的频率;

(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?

能力提升练

题组一　古典概型概率的求解

1.()从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)

A. B. C. D.

2.(2020江苏侯集高级中学高一期中,)不透明的袋子内装有相同的五个小球,分别标有编号1~5,现有放回地随机摸取三次,则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为(　　)

A. B. C. D.

3.(2020江苏江阴高级中学高一学情检测,)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是(　　)

A. B. C. D.

4.(多选)()一个袋子中装有4件产品,其中3件正品,1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　易错　)

A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是

B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16

C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是

D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16

5.(2020江苏东海高级中学高一期中,)设M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},任取x,y∈M,x≠y,则x+y是3的倍数的概率为　　　　. 

题组二　古典概型的综合应用

6.(2020江苏郑集高级中学高一阶段测试,)已知关于x的一次函数为y=mx+n.设集合P={-2,-1,1,2,3},Q={-2,3},分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,则使函数y=mx+n为增函数的概率为(　　)

A. B. C. D.

7.(2020江苏常熟浒浦高级中学高三阶段测试,)已知f1(x)=x,f2(x)=sin x,f3(x)=cos x,f4(x)=lg(x+).从以上四个函数中任取两个相乘得到新函数,那么所得新函数为奇函数的概率为(　　)

A. B. C. D.

8.(2020江苏东台唐洋中学期中,)已知函数f(x)=cos,集合A={2,3,4,5,6},现从集合A中任取两个数m,n,且m≠n,则f(m)·f(n)≠0的概率为(　　)

A. B. C. D.

9.(2020江苏运河中学高一期中,)数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读,数学中有回文数,如343,12 521等,两位数的回文数有11,22,33,…,99,共9个,则三位数的回文数中为偶数的概率是(　　)

A. B. C. D.

10.(2020江苏公道中学阶段测试,)若f(x)和g(x)是定义在同一区间上的两个函数,对任意x∈[1,2],都有|f(x)+g(x)|≤4,则称f(x)和g(x)是“亲密函数”.设f(x)=ax,g(x)=.若a∈{1,2},b∈{-1,1,2},则f(x)和g(x)是“亲密函数”的概率为　　　　. 

11.(2020山东郯城高三期中,)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数;

(2)估计该校学生身高在170~185 cm之间的概率;

(3)从样本中身高在180~190 cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190 cm之间的概率.

答案全解全析

15.2　随机事件的概率

基础过关练

1.C　选项A,B,D都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故为古典概型;C不具有等可能性,故不是古典概型.

2.A　①和③中的样本点是无限的,④中的骰子不均匀,不具有等可能性,故只有②是古典概型.

3.C　样本空间Ω={(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲乙),(丙乙甲)},共6个样本点,记“甲站在中间”为事件A,则A={(乙甲丙),(丙甲乙)},共2个样本点,故P(A)==.

4.A　样本空间Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},

记“两胎均是女孩”为事件A,则A={(女,女)},故P(A)=.

5.答案　

解析　从三件产品中有放回地连续取两次的样本空间Ω={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},

用B表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则B={(a,c),(b,c),(c,a),(c,b)},∴P(B)=.

6.答案　

解析　袋中红球用a表示,2个白球分别用b1,b2表示,3个黑球分别用c1,c2,c3表示,则从袋中任取两球的样本空间Ω={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)},共15个样本点.

记“两球颜色为一白一黑”为事件M,

则M={(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3)},共6个样本点.

∴P(M)==.

7.B　由题意知样本空间中的样本点有36个,记“点P落在圆x2+y2=16内”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)},共8个样本点,所以所求概率P(B)==.

8.A　从长度为2,3,4,5,6这5根木棍中任取3根不同的木棍的样本空间Ω={(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)},共10个样本点.记“能构成三角形”为事件M,则M={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)},共7个样本点.所以能构成三角形的概率P(M)=,故选A.

9.答案　

解析　由题意知,从20名女同学中应该抽取10×=4(人),所以女同学甲被抽到的概率为=.

10.解析　因为x∈A,y∈A,且x≠y,所以满足条件的共有90种情况.

(1)设事件A为“点Q(x,y)不在x轴上”,易知事件“点Q(x,y)在x轴上”包含9种情况,所以事件A包含的情况种数为90-9=81,因此,P(A)==.

(2)设事件B为“点Q(x,y)正好在第二象限”,则x<0,y>0,所以事件B包含20种情况,因此,P(B)==.

11.C　事件A发生的频率是指在n次试验中,事件A发生的次数.一般来说,随机事件A在每次试验中是否发生不能事先预料,但在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]的某个常数附近,这个常数就是事件A发生的概率,故可得概率是客观存在的,与试验次数无关.

12.D　由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是45÷100=0.45,

出现正面朝上的概率是0.5.

13.解析　(1)进球的频率分别为=0.75,=0.8,=0.8,=0.85,≈0.83,=0.8,=0.76.

(2)由于进球频率都在0.8附近摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.

能力提升练

1.C　借助树形图求出相应事件的样本点数:

因此,样本点总数为72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的样本点数为5×4+4×5=40,

从而,所求概率P==,故选C.

2.A　有放回地随机摸取三次,共有n=53=125种结果,

摸出的三个小球的编号乘积能被10整除包含的样本点分三类:

第一类:5出现两次,2或4出现一次,共6种情况,

第二类:5出现一次,2或4出现两次,共12种情况,

第三类:5出现一次,2或4出现一次,1或3出现一次,共24种情况,

∴满足条件的样本点共有42个,

∴摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率P=.

3.C　个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数,所以可以分两类:

(1)当个位数为奇数时,有5×4=20(个)符合条件的两位数;

(2)当个位数为偶数时,有5×5=25(个)符合条件的两位数.

因此共有20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率P==.

4.ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},“恰有1件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此样本点总数为12,B错误;在C中,“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此样本点总数为16,D正确.故选ACD.

易错警示　列样本空间中的样本点时要注意两个区别:1.“无序”与“有序”的区别.“无序”指取出的元素没有先后次序,常用“任取”表述,而“有序”指取出的元素有顺序,常用“依次取出”表述.2.“有放回”与“无放回”的区别.“有放回”取出的元素可以重复,而“无放回”取出的元素没有重复.

5.答案　

解析　如图所示.

由此可知,共有90种情况.而x+y是3的倍数的情况有30种.故所求事件的概率P=.

6.A　分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,其样本空间Ω={(-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)},共10个样本点,记“使函数y=mx+n为增函数”为事件A,则A={(1,-2),(1,3),(2,-2),(2,3),(3,-2),(3,3)},共6个样本点,所以P(A)==.

7.C　f1(x)=x是奇函数,f2(x)=sin x是奇函数,f3(x)=cos x是偶函数,f4(x)=lg(x+)是奇函数,从以上四个函数中任意取两个函数的样本空间Ω={(f1(x),f2(x)),(f1(x),f3(x)),(f1(x),f4(x)),(f2(x),f3(x)),(f2(x),f4(x)),(f3(x),f4(x))},共6个样本点,记“所得新函数为奇函数”为事件A,则A={(f1(x),f3(x)),(f2(x),f3(x)),(f3(x),f4(x))},共3个样本点,故所得新函数为奇函数的概率P(A)==.

8.A　因为集合A={2,3,4,5,6},现从集合A中任取两个数m,n,且m≠n的样本空间Ω={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共20个样本点,

记“f(m)·f(n)≠0”为事件B,则B={(3,4),(3,5),(4,3),(4,5),(5,3),(5,4)},共6个样本点.

所以f(m)·f(n)≠0的概率P(B)==.

9.D　设三位数的回文数为ABA型,

A共有1到9共9种可能,即1B1,2B2,3B3,…,9B9;

B共有0到9共10种可能,即A0A,A1A,A2A,A3A,…,A9A.

故三位数的回文数共有9×10=90(个),

其中回文数为偶数,即A是偶数,共有4种可能,即2B2,4B4,6B6,8B8,

故三位数的回文数中共有4×10=40(个)偶数,

∴三位数的回文数中为偶数的概率P==.

10.答案　

解析　f(x)和g(x)是“亲密函数”等价于≤4,x∈[1,2],

当a=1,b=-1时,=x-,函数y=x-在[1,2]上递增,所以x-≤2-=≤4成立,此时f(x)和g(x)是“亲密函数”;

当a=1,b=1时,=x+,函数y=x+在[1,2]上为递增函数,所以x+≤2+≤4成立,此时f(x)和g(x)是“亲密函数”;

当a=1,b=2时,=x+,函数y=x+在[1,]上递减,在[,2]上递增,所以当x=1或x=2时,y取得最大值,当x=1时,x+=3≤4,当x=2时,x+=2+1=3≤4,符合题意,此时f(x)和g(x)是“亲密函数”;

当a=2,b=-1时,=2x-,函数y=2x-在[1,2]上为递增函数,所以2x-≤4-≤4成立,此时f(x)和g(x)是“亲密函数”;

当a=2,b=1时,=2x+,函数y=2x+在[1,2]上为递增函数,所以2x+的最大值为4+=>4,此时f(x)和g(x)不是“亲密函数”;

当a=2,b=2时,=2x+,函数y=2x+在[1,2]上为递增函数,所以2x+的最大值为4+1=5>4,此时f(x)和g(x)不是“亲密函数”.故f(x)和g(x)是“亲密函数”的概率是=.

11.解析　(1)由题图知,样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计该校男生人数为40÷10%=400.

(2)由题图知,样本中身高在170~185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185 cm之间的频率为=0.5.故由频率估计概率可得该校学生身高在170~185 cm之间的概率为0.5.

(3)样本中身高在180~185 cm之间的男生有4人,设其编号为①②③④,样本中身高在185~190 cm之间的男生有2人,设其编号为⑤⑥.

从上述6人中任选2人的树形图如下:

故从样本中身高在180~190 cm之间的男生中任选2人的样本点总数为15,至少有1人身高在185~190 cm之间的样本点数为9,因此,所求概率P==.