高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算随堂练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算随堂练习题，共33页。

考点一 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
考点二 向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
考点三 投影向量
在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
考点四 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
考点五 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【题型归纳】
题型一：向量的数量积的定义和几何意义
1．设，，是三个向量，以下四个选项正确的是（ ）
A．B．若，，则
C．若，且，则D．若，，，则
2．已知O为所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．对于非零向量，下列命题中正确的是
A．
B．在上的投影向量为是与方向相同的单位向量）
C．
D．
题型二：数量积的运算
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若，则、应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个是零向量或、是平行向量
D．是零向量或、是反向向量且满足
题型三：数量积和模关系问题
7．在平行四边形中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．若向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
9．已知向量满足，则向量的模的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：向量夹角的计算
10．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
11．已知，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
12．已知平面向量与满足，，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
题型五：垂直关系的向量表示
13．已知是非零向量，且不共线，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知向量，，若，则＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形
题型六：已知模求参数或数量积问题
16．已知向量满足，且，则中最小的值是（ ）
A．B．C．D．无法确定
17．已知，满足：，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知 ，，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【双基达标】
一、单选题
19．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于（ ）
A．－7B．7C．25D．－25
20．若，且，则k＝（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
21．已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
22．已知，则（ ）
A．B．C．13D．21
23．给出下列命题，其中错误的命题的个数是（ ）
①若，则是钝角
②若且，则
③若，则可知
④若是等边三角形，则与的夹角为
A．4B．3C．2D．1
24．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形
25．已知点，，满足，，，则的值是（ ）
A．B．25C．D．24
26．已知．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【高分突破】
一：单选题
27．已知O，A，B，C在同一平面内，，与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A．或B．或
C．D．
28．在同一平面内，满足，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
29．已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，．若 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
30．如果，，都是非零向量.下列判断正确的有（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
31．已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是外心B．若，则P是垂心
C．若，则N是重心D．若，则I是内心
32．已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．､的夹角是B．､的夹角是
C．D．
33．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
34．在中，，是上的两个三等分点，若，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．的长度为
35．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
36．已知向量，，，则与的夹角为______．
37．在中，，，若E点在BC边上，且，则___________.
38．已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
39．在正三角形ABC中，下列各等式成立的是________．（填序号）
①；②；
③；④．
40．已如，，，，则实数的值为_________．
41．在平面四边形中，已知，为上一点，，，，与的夹角为，且，则______．
四、解答题
42．已知向量与的夹角为120°，且，，求：
(1)；(2)；(3)．
43．已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，求的值．
44．在中，已知，，，求：
(1)在方向上的投影；
(2)在方向上的投影.
45．已知三个非零的平面向量，，，满足，，.
(1)若，且，求的值；
(2)求的最小值.
46．1.设向量与满足，且.
(1)求与夹角的大小；(2)求的值.
【答案详解】
1．A
【详解】
由向量的数量积定义知数量积满足交换律，故A正确；
若，，则或，故B不正确；
由，不能推出，故C不正确；
因为是一个实数，故表示一个与共线的向量；同理，表示一个与共线的向量，故两个向量不一定相等，故D不正确.
故选：A
2．A
【详解】
∵，
∴，是的外心，
，
故选：A．
3．C
解：对于A：，所以不正确；
对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确．
对于C：，所以正确；
对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确；
故选：．
4．D
【详解】
由已知可得，，
因此，.
故选：D.
5．C
【详解】
由题意可知，
,

，
由点是斜边的中点，可知

故选：C
6．D
【详解】
由，得，
当时，满足等式，
当时，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以方向相反，
综上，应满足是零向量或、是反向向量且满足，
故选：D
7．B
【详解】
在平行四边形中，，因，
于是得，
所以.
故选：B
8．A
【详解】
因为，所以
∴
则当与反向时最小，最小，此时=，
所以=，所以的最小值为，
故选：A.
9．B
【解析】
【详解】
设与之间的夹角为，，由.
当时，原方程可化为1=0不成立，所以.
又由，有，所以，
解得：，故的最大值．
故选：B
10．C
【详解】
在中，取的中点，连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，即，即.
又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，
所以为等腰三角形.
故选：C
11．B
【详解】
设向量与的夹角为，，因为，所以.
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
由得进一步化简即得解.
【详解】
因为，所以
所以.
所以，
因为.
故选：B
13．D
【解析】
【分析】
根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】
因为向量与互相垂直，
所以有，
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
由题意可求出，根据可得到并化简，结合和即可求出.
【详解】
故选：A．
15．A
【解析】
【分析】
首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】
在中，取的中点，连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，即，即.
又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，
所以为等腰三角形.
故选：A
16．A
【解析】
【分析】
已知式移项平方分别得出（用向量的模表示），然后相减可得最小值．
【详解】
由得，所以，即，
所以，同理，，
而，所以，，
，所以最小．
故选：A．
17．D
【解析】
【分析】
先对两边平方化简求出的值，从而可求出的值
【详解】
解：因为，，，，
所以，，得 ，
所以，
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
利用向量数量积的运算律可得，结合已知求值即可.
【详解】
.
故选：C
19．D
【解析】
【分析】
由题意知∠ABC＝90°，再利用数量积和三角函数求解.
【详解】
解：由题得
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cs(180°－C)＋5×3cs(180°－A)
＝－20cs C－15cs A
＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
由题知，再结合数量积运算律运算求解即可.
【详解】
解：由题意，得，
由于，故，
又，于是，解得.
故选：B.
21．C
【解析】
【分析】
选择向量为基底向量，根据平面向量定理及向量的数乘，化简 ，再求解其最大值即可.
【详解】
如图，
选向量为基底向量，则可设
， 的最大值为8，选项C正确.
故选：C.
22．A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用平方的方法求得.
【详解】
依题意，
，.
所以.
故选：A
23．B
【解析】
【分析】
根据向量夹角，向量基本定理，数量积的运算律，即可判断选项.
【详解】
①当时，，故①不正确；
②若，当时，或，故②不正确；
③，即，故③正确；
④若是等边三角形，则与的夹角为，故④不正确.
故选：B
24．A
【解析】
【分析】
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
25．A
【解析】
【分析】
根据题意求得为直角三角形，其中，且，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，点，，满足，，，
可得，所以为直角三角形，如图所示，
其中，且，
又由 ，
，
，
所以.
故选：A.
26．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据即可求；
（2）设向量与大角为,.
(1)
，
，，；
(2)
,
，
,
，
设向量与大角为,
.
27．A
【解析】
【分析】
由题意得与的夹角为或，再由向量的减法和向量数量积的定义，计算可得所求值．
【详解】
解：由于，，，在同一平面内，
与的夹角为，与的夹角为，
可得与的夹角为或，
所以
；
或．
故选：．
28．A
【解析】
【分析】
由题意可知为三角形外心，利用外心性质及数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，可知为的外接圆圆心，
作于点，则为的中点，
于是
同理可得，
,
因此.
故选：A
29．A
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有的代数式，再结合以及基本不等式求得 的最小值.
【详解】
如图，
，，且，
，

，
由题意可得，
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为.
故选：A
30．ACD
【解析】
【分析】
利用平行向量的定义可判断AD，利用数量积的概念及性质可判断BC.
【详解】
∵，，都是非零向量，
∴若，，则，故A正确；
若，，则，但不一定等于，故B错误；
由，可得，整理可得，所以，故C正确；
若，则，故D正确.
故选：ACD.
31．ABC
【解析】
【分析】
根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】
根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.
故选：ABC.
32．ABD
【解析】
【分析】
根据条件知，的最小值为，结合二次函数与方程的特点可求出的夹角为或，从而求出的值．
【详解】
，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，
的最小值为，
即在上有唯一一个解，
所以，所以
与的夹角为或，所以正确，
或3，
或，所以正确，
故选：．
33．ABD
【解析】
【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】
解：图2中的正八边形，其中，
对于A，故A正确；
对于B，故B正确；
对于C：因为，，，，则，
，所以，故C错误；
对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确．
故选：ABD．
34．BCD
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算可判断A、B；由向量的线性运算可得，
，根已知条件求出可判断C；将展开可得，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：，故选项A不正确；
对于B：，故选项B正确；
对于C：由选项A知：，
，所以，故选项C正确；
对于D：，所以，
即的长度为，故选项D正确；
故选：BCD.
35．ABC
【解析】
【分析】
A.根据小正方形的边长为1，E为的中点，得到，大正方形的边长为求解判断；B.利用向量的求模公式求解判断；C.延长交于点G，得到为的中点，G为的中点求解判断； D.利用向量的数量积运算求解判断.
【详解】
因为小正方形的边长为1，E为的中点，所以，大正方形的边长为，所以，A正确；
，B正确；
如图：，
延长交于点G，则为的中点，可得G为的中点，，
所以，
， C正确；
，D错误．
故选：ABC
36．##
【解析】
【分析】
对化简计算可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果
【详解】
由，得，
因为，，所以，解得，
设与的夹角为，则
，
因为，所以，
故答案为：
37．8
【解析】
【分析】
由条件得到，再求即可.
【详解】
由，
两边平方有：，可得，
又因为，知E点是BC边上的中点，故，
所以.
故答案为：
38．1
【解析】
【分析】
设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.
【详解】
设，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故答案为：1.
39．②③④
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算及向量的模逐一判断即可求得结论．
【详解】
解：因为是正三角形，所以设的边长为2，
对于①，因为，，
所以，故①错误；
对于②，因为，
所以，故②正确；
对于③，，
，
所以，故③正确；
对于④，，
又，所以，故④正确．
故答案为：②③④．
40．32##1.5
【解析】
【分析】
根据向量垂直数量积等于，结合向量数量积的运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，可得：，
故答案为：.
41．
【解析】
【分析】
利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
因为，所以，四边形为平行四边形，
，，，
又，，，则，
.
故答案为：．
42．(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（2）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（3）先根据已知条件求出，再结合向量运算律求出，最后求向量的摸.
(1)
由题意可知，，
，.
因为，
所以.
(2)
因为，
所以.
(3)
因为，
所以.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用数量积的运算性质即可得出；
（2）根据垂直得数量积为零建立方程可求解.
(1)
由，所以，
又因为，，代入解得，
则，
因为夹角，所以与的夹角；
(2)
若，则，
解得.
44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由条件可得是直角三角形，然后可算出答案；
（2）根据投影的定义算出答案即可.
(1)
因为，，，
所以是直角三角形
所以，所以在方向上的投影为
(2)
因为，所以在方向上的投影为
45．(1)18
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义计算可得，再将展开结合即可求解；
（2）计算，结合，利用表示，再由不等式的性质可求得的最小值，由即可求解.
(1)
因为，，，
所以，
，
所以，可得，
所以，
，
所以.
(2)
由已知得，因为，
所以，
即，解得：，
故，
即，当与反向共线，且时等号成立，
因此的最小值为.
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先通过求出，然后通过平面向量的夹角公式求出答案；
（2）先通过平面向量的模和数量积的运算将原式化简，进而将和（1）中的值代入算出即可.
(1)
由，因为，所以，设与夹角为，则，而，所以与的夹角为.
(2)
.