高考数学一轮复习 第1章 第1节 集合

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[重点关注]
综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．
2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．
3．从命题思路看：
(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．
(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．
(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．
(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．
[导学心语]
根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：
1．全面系统复习，深刻理解知识本质
(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．
(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．
(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．
2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律
(1)子集的个数及判定问题．
(2)集合的运算问题．
(3)充分条件、必要条件的判断问题．
(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．
(5)特称命题、全称命题的否定问题．
3．重视数学思想方法的应用
(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．
(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．
第一节 集 合
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[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )
(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．
(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．
(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(10)}，a＝2eq \r(2)，则下列结论正确的是
( )
A．{a}⊆AB．a⊆A
C．{a}∈AD．a∉A
D [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq \r(2)，知a∉A.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1,3}B．{3,5}
C．{5,7}D．{1,7}
B [集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.]
4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10}D．{0,2,4,6,8,10}
C [∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴∁AB＝{0,2,6,10}．]
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
2 [集合A表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．]
(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．eq \f(9,2) B．eq \f(9,8)
C．0D．0或eq \f(9,8)
(1)C (2)D [(1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；
当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．
(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq \f(9,8)，
所以a的取值为0或eq \f(9,8).]
[规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．
2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．
[变式训练1] 已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________. 【导学号：31222001】
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,8))) [∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，
当a＝0时，x＝eq \f(2,3)不合题意；
当a≠0时，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－eq \f(9,8).]
(1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．ABB．BA
C．A⊆BD．B＝A
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
(1)B (2)(－∞，4] [(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，
所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
因此BA.
(2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4.]
[规律方法] 1.B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．
[变式训练2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B可能是( )
A．{1,2}B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1}D．R
(2)(2017·湖南师大附中模拟)已知集合A＝{x|eq \r(x)＝eq \r(x2－2)，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( ) 【导学号：31222000】
A．2B．－1
C．－1或2D．2或eq \r(2)
(1)A (2)A [(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．
(2)由eq \r(x)＝eq \r(x2－2)，得x＝2，则A＝{2}．
因为B＝{1，m}，且A⊆B，
所以m＝2.]
eq \a\vs4\al(☞)角度1 求集合的交集或并集
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，
N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )
A．[0,1]B．(0,1]
C．[0,1)D．(－∞，1]
(1)D (2)A [(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．
(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0eq \a\vs4\al(☞)角度2 集合的交、并、补的混合运算
(1)(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6}B．{3,6}
C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}
(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是( )
图1­1­1
A．[－1,1)B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)
(1)A (2)D [(1)∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．
又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．
(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1)．]
[规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．
2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．
[思想与方法]
1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．
2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．
3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．
(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．
(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．
[易错与防范]
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
课时分层训练(一) 集 合
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3}D．{1,2}
D [∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．
又A＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}．]
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．ABD．BA
D [∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA.]
3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) 【导学号：31222002】
A．1 B．2
C．3 D．4
D [由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]
4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1)B．(0,1)
C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)
C [由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}．]
5．(2017·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB＝( )
A．{2,5}B．{3,6}
C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}
A [由题意得∁UB＝{2,5,8}，
∴A∩∁UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]
6．若x∈A，则eq \f(1,x)∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 【导学号：31222003】
A．1B．3
C．7D．31
B [具有伙伴关系的元素组是－1，eq \f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2)).]
7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0D [∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图，
∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]
二、填空题
8．已知A＝{0，m,2}，B＝{x|x4－4x2＝0}，若A＝B，则m＝________.
－2 [由题知B＝{0，－2,2}，A＝{0，m,2}，若A＝B，则m＝－2.]
9．(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.
{1,4} [因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]
10．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.
[－1,0) [由x(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1,0)．]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·全国卷Ⅲ改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则(∁RS)∩T＝( )
A．[2,3]B．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
C．(2,3)D．(0，＋∞)
C [易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2,3)．
∴(∁RS)∩T＝(2,3)．]
2．(2017·郑州调研)设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cs x，x∈R}，则图1­1­2中阴影部分表示的区间是( )
图1­1­2
A．[0,1]
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－1,2]
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D [A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cs x，x∈R}＝[－1,1]．
图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________. 【导学号：31222004】
(－∞，－2] [由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.
∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.
因此a－b的取值范围是(－∞，－2]．]
4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.
{x|x＞－2} [A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．
如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
集合的概念及其运算
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅲ·T1
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅱ·T1
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅱ·T1
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅱ·T1
全国卷·T1
四种命题及其关系，充分条件与必要条件
全国卷Ⅱ·T3
含逻辑联结词的命题的真假判断，全称命题、特称命题的否定
全国卷Ⅰ·T5
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
集合的基本概念
集合间的基本关系
集合的基本运算