初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数学案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数学案，共16页。学案主要包含了利用二次函数解决利润问题，利用二次函数求图形面积的最值，利用二次函数解决抛物线形问题等内容，欢迎下载使用。

1．利用二次函数解决利润问题
利润问题主要涉及两个等量关系：
利润=售价-进价；
总利润=单件商品的利润×销售量．
在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找出题中的已知量和未知量；
（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；
（4）找出等量关系并列出函数解析式；
（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
2．利用二次函数求图形面积的最值
（1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．
（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：
①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性．
3．利用二次函数解决抛物线形问题
在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．

一、利用二次函数解决利润问题
二次函数与利润最大问题
（1）调整价格分涨价和降价．
（2）总利润=单件商品的利润×销售量．
（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．
【例1】每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．
（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？
（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m=-10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
二、利用二次函数求图形面积的最值
求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．
【例2】一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
三、利用二次函数解决抛物线形问题
用二次函数解决抛物线形问题
（1）建立恰当的平面直角坐标系；
（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；
（3）合理地设出函数解析式；
（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；
（5）利用解析式求解．
在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．
【例3】如图，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=-x2，当水位线在AB位置时，水面宽12 m，这时水面离桥顶的高度为
A．3 mB． mC． mD．9 m
【答案】D
【解析】由已知知：点的横坐标为，把代入得，即水面离桥顶的高度为9 m．故选D．
1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为
A．5000元B．8000元
C．9000元D．10000元
2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线y=-x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的表达式是
A．y=-x2+x+1B．y=-x2+x-1
C．y=-x2-x+1D．y=-x2-x-1
3．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为
A．10米B．15米
C．20米D．25米
4．如图，已知抛物线y=-x2+3x的对称轴与一次函数y=-2x的图象交于点A，则点A的坐标为__________．
5．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式是__________，自变量x的取值范围是__________．
6．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m时，拱高为2 m，一艘木船宽2 m．要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3 m，那么木船的高不得超过__________m．
7．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？
8．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AB的长为多少米？
9．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为
A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m
10．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB=x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y的最大值为__________．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为__________．
12．销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元/件，但不超过50元/件时，销售数量N（件）与商品单价M（元/件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点B坐标为（5，0）．
（1）求二次函数解析式及顶点坐标；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
14．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为
A．10 mB．15 mC．20 mD．22.5 m
15．（2018•武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t．在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是__________m．
16．（2018•贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30-x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为__________元．
17．（2018•绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加__________m．
18．（2018•沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
19．（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销
售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为__________件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
20．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天
销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
3．【答案】A
【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，S=（40-2x）x=-2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则即x的长为10 m．故选A．
4．【答案】（，-3）
【解析】抛物线y=-x2+3x的对称轴为：，当时，y=．点A的坐标为（，
-3）．故答案为：（，-3）．
5．【答案】S=-3x2+24x；≤x<8
【解析】由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24−3x）米．∴S=x（24−3x）=−3x2+24x．∵0<24−3x≤10，
解得≤x<8，故答案为：S=-3x2+24x；≤x<8．
6．【答案】1.2
7．【解析】（1）y=50-．
（2）w=（x-20）（-=．
∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．
8．【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．
这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．
∵0<24-3x≤10，∴≤x<8，
即自变量的取值范围是≤x<8．
（2）由条件-3x2+24x=45化为x2-8x+15=0，
解得x1=5，x2=3，
∵≤x<8，∴x=3不合题意，舍去，
即花圃的宽AB为5米．
9．【答案】B
【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=-x2+x+，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625 m．故选B．
12．【解析】（1）设y关于x的函数关系式为．
由题意，得，解得．
故y关于x的函数关系式为．
（2）设该商品的单价应该定x元．
由题意，得．
化简整理，得．
解得，．
经检验，不合题意，舍去．
答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．
13．【解析】（1）把点，点B坐标为（5，0）代入抛物线中，
∴，
∴，
∵，∴S有最大值，
∴当时，S有最大值为，
此时．
14．【答案】B
【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0），（40，46.2），（20，57.9），
则，解得，所以x= =15（m）．故选B．
15．【答案】24
【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20，即当t=16时，y=576，所以600-576=24（米）．故答案为：24．
16．【答案】25
【解析】设利润为w元，则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为：25．
17．【答案】4-4
18．【答案】150
【解析】（1）设AB=x m，则BC=（900-3x），由题意可得，S=AB×BC=x×（900-3x）=-（x2-300x）
=-（x-150）2+33750，
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150 m，故答案为：150．
19．【解析】（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），
故答案为：180．
（2）由题意得：
y=（x-40）[200-10（x-50）]=-10x2+1100x-28000=-10（x-55）2+2250，
∴每件销售价为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元．
20．【解析】（1）由题意得：，
K—重点
利用二次函数解决利润问题和实际问题
K—难点
二次函数的综合问题
K—易错
解二次函数的实际问题时，忽视自变量的取值范围