数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习

这是一份数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用练习，共28页。试卷主要包含了下列函数中,在内为增函数的是，求下列函数的单调区间，已知函数f=x3-ax2+b等内容，欢迎下载使用。
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为(　　)



3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)

4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)0,求f(x)的单调区间.








11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-43ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.









题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3]∪[3,+∞) B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,3)
13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是　　　　. 
15.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是　　　　. 
16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.







17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.







能力提升练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)


2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析)
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
8.(多选)()若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为(　　)
A.f(x)=2-x
B.f(x)=3-x
C.f(x)=x3
D.f(x)=x2+2
9.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是(　　)
A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln4
10.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值为　　　　. 
11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(a∈R).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.

12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f2a-x>0的解集.









题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=ex(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为(　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,-2]C.[2,+∞) D.(-∞,-1]
14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是(　　)
A.12,32 B.1,32C.1,52 D.1,52
15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)
A.(0,1] B.(1,+∞)C.(0,1) D.[1,+∞)
16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在0,π4上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.深度解析 
17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.






18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2.
(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有fx1+x220.故选C.
3.A　因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.
4.答案　(-2,4)
解析　由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)0,∴当f'(x)>0时,x∈(-∞,0)∪2a3,+∞;当f'(x)-1时,g(x)>-1,∴b≤-1.
16.解析　易知函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1x=kx-1x.
当k≤0时,kx-10,当x∈(-1,1)时,f'(x)ysin y⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D.
6.B　由题意得,f'(x)=cos x+2f'π3,
f'π3=cos π3+2f'π3,
解得f'π3=-12,所以f(x)=sin x-x.
所以f'(x)=cos x-1≤0,
所以f(x)为减函数.
因为b=log32>log33=12=a,
所以f(a)>f(b),故选B.
7.B　令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.
易错警示　构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.
8.AD　对于A,f(x)=2-x,则g(x)=exf(x)=ex·2-x=e2x为R上的增函数,符合题意;
对于B,f(x)=3-x,则g(x)=exf(x)=ex·3-x=e3x为R上的减函数,不符合题意;
对于C,f(x)=x3,则g(x)=exf(x)=ex·x3,
g'(x)=ex·x3+3ex·x2=ex(x3+3x2)=ex·x2(x+3),
当x0,∴g(x)=exf(x)在定义域R上先减后增,不符合题意;
对于D,f(x)=x2+2,则g(x)=exf(x)=ex(x2+2),
g'(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2)>0在R上恒成立,符合题意.故选AD.
9.AC　设函数f(x)=xlnx,x>0且x≠1,
则f'(x)=lnx-1ln2x=1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,
f″(x)=2-lnxx(lnx)3,x>0且x≠1,
当x→+∞时,f″(x)2,故D错误.故选AC.
10.答案　1
解析　因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,
∴1a+1b=191a+1b(4a+b)=195+ba+4ab≥195+2ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a+1b的最小值为1.
11.解析　(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x-1(x>0),f'(x)=1x+1-2x2,f(2)=ln 2+2,f'(2)=1,
故所求切线方程为y=x+ln 2.
(2)因为f(x)=ln x-ax+1-ax-1x>0,a≤12,
所以f'(x)=1x-a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2(x>0),令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).
(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)0,当x>1a时,f'(x)0时,f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴x>0,2a-x>0,a>0,∴00,f(x)单调递增.
因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调,
所以m-10,所以g'(x)>0恒成立,
所以函数g(x)在0,π4上单调递增,
可得g(x)>g(0)=0,所以a≤0.
方法技巧　利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.
17.解析　(1)当a=-14时,f(x)=-14x2+ln(x+1)(x>-1),
则f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)2(x+1)(x>-1).
令f'(x)>0,解得-10,∴f'x1+x22>f'(x1),即F'(x1)>0.
∴关于x1的函数F(x1)单调递增,
∴F(x1)