初中数学一课一练

这是一份初中数学一课一练，共34页。试卷主要包含了已知点A，如图，几何体的左视图是等内容，欢迎下载使用。
1．如图，一个小球沿倾斜角为a的斜坡向下滚动，csa＝．当小球向下滚动了2.5米时，则小球下降的高度是（ ）
A．2.5米B．2米C．1.5米D．1米
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°．分别以点A，B为圆心大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，直线DE交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（ ）
A．62°B．60°C．58°D．56°
3．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
4．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连接OC交AB于点D，若CD＝2OD，则△BDC与△ADO的面积比为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．（108﹣24）cm2B．（108﹣12）cm2
C．（54﹣24）cm2D．（54﹣12）cm2
6．某商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，它们的尺码与销售量如表所示：
则这15双鞋的尺码组成的数据中，中位数为（ ）
A．23.5cmB．24cmC．24.5cmD．25cm
7．已知点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）均在一次函数y＝﹣2x+k的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
8．如图，将图一中的等腰直角三角形纸片ABC，依次沿着折痕DE，FG翻折，得到图二中的五边形ADEGF．若图二中，DF∥EG，点C′，B′恰好都是线段DF的三等分点，GC′交EB′于点O，EG＝4﹣2，则等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为（ ）
A．4+6B．4﹣6C．8+4D．8﹣4
9．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y＝x2沿射线OC平移得到新抛物线y＝（x﹣m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（ ）
A．2，6，8B．0＜m≤6
C．0＜m≤8D．0＜m≤2或6≤m≤8
10．如图，几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共8小题）
11．小明有5把钥匙，其中有2把钥匙能打开教室门，则小明任取一把钥匙，恰好能打开教室门的概率是 ．
12．如果式子有意义，则x的取值范围是 ．
13．如图所示，在扇形AOC中，∠AOC＝120°，OA＝4，以点O为圆心在其同侧画扇形BOD，∠BOD＝60°，OB＝2，且△AOB≌△COD，则阴影部分的面积是
14．如图，以菱形ABCD的对角线AC为边，在AC的左侧作正方形ACEF，连接FD并延长交EC于点H．若正方形ACEF的面积是菱形ABCD面积的1.4倍，CH＝6，则EF＝ ．
15．若分式的值为零，则x的值为 ．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1的⊙O，则的长为 ．
17．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为 ．
18．如图，将一块含30°角的直角三角板ABC和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的直角边BC与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切于点D，若圆心O对应的刻度为2cm，量角器的边缘E对应的刻度为9.5cm，则线段BD的长度为 cm．
三．解答题（共9小题）
19．如图，这是一张6×6的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在格点上．请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；
②保留作图痕迹．
（1）请以线段AB为斜边作等腰直角△ABC（作出一个即可）．
（2）在（1）的基础上，作出BC边上的中线AD．
20．如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CD并延长交AB于点F，连接BD，CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数．
21．如图，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x轴正半轴于点A，将抛物线M，平移得到抛物线M2：y＝﹣x2+bx+c，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C，点C的横坐标为6，且OB＝BC．
（1）①直接写出点B，点C的坐标；
②求抛物线M2的表达式；
（2）点P是抛物线M1上AB间一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ，设点P的横坐标为m．当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值．
22．为关注学生出行安全，调查了某班学生出行方式，调查结果分为四类：A﹣骑自行车，B﹣步行，C﹣坐社区巴士，D﹣其它，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，并将条形统计图补充完整．
（3）若从被调查的A类和D类学生中分别随机选取一位同学进行进一步调查，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，点A在点B的左侧，点M为AB的中点，PQ∥x轴交抛物线于点P，Q，点P在点Q的左侧，点Q在第一象限，以PQ，PM为邻边作▱PMNQ．设点P的横坐标为m．
（1）当m＝0时，求▱PMNQ的周长；
（2）连接MQ，若MQ⊥QN时，求m的值．
24．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，CA＝CB，过点A作AE∥BC，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线交AE的延长线于点D，已知AB＝6，BE＝3．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）延长AO交DC的延长线于点F，求AF的长．
25．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．
（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；
（2）当m＝2时，求BE的长度；
（3）在点B的整个运动过程中，
①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．
②连接EH，FH，当tan∠FHE＝时，直接写出△FHD与△EFH面积比．
26．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C，D两点，与斜边AB交于点E，连接BO，ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于点G，连接DF
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝，求EF的长．
27．如图是一个由1×1的正方形点阵组成的点阵图，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）
（2）如图2，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）
2021年浙江省温州市永嘉县东方双语学校中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，一个小球沿倾斜角为a的斜坡向下滚动，csa＝．当小球向下滚动了2.5米时，则小球下降的高度是（ ）
A．2.5米B．2米C．1.5米D．1米
【分析】根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，csa＝csB＝，
则＝，
解得，BC＝2，
由勾股定理得，AC＝＝1.5（米）
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°．分别以点A，B为圆心大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，直线DE交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（ ）
A．62°B．60°C．58°D．56°
【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，则点F为AB的中点，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到FE＝FB，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角和计算∠AFC的度数．
【解答】解：作法得DE垂直平分AB，
∴点F为AB的中点，
∵∠ACB＝90°，
∴FB＝FA＝FC，
∴∠FCB＝∠B＝28°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCB＝28°+28°＝56°．
故选：D．
3．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【分析】根据根的判别式得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：要使一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，必须Δ＝（﹣4）2﹣4×4×c＝0，
解得：c＝1，
故选：C．
4．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连接OC交AB于点D，若CD＝2OD，则△BDC与△ADO的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过C作CE⊥x轴于E，依据AB⊥x轴于点B，即可得出S△AOD＝S四边形BDCE，设△BDO的面积为S，即可得到△BDC的面积为2S，△BOC的面积为3S，进而得到四边形BDCE的面积为6S+2S＝8S，即△AOD的面积为8S，即可得出△BDC与△ADO的面积比．
【解答】解：如图所示，过C作CE⊥x轴于E，
∵AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝S△COE，
∴S△AOD＝S四边形BDCE，
设△BDO的面积为S，
∵CD＝2OD，
∴△BDC的面积为2S，△BOC的面积为3S，
∵BD∥CE，
∴BE＝2OB，
∴△BCE的面积为6S，
∴四边形BDCE的面积为6S+2S＝8S，
即△AOD的面积为8S，
∴△BDC与△ADO的面积比为2：8＝1：4，
故选：B．
5．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．（108﹣24）cm2B．（108﹣12）cm2
C．（54﹣24）cm2D．（54﹣12）cm2
【分析】设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，由题意得到a＝2，h＝9﹣2，再由六棱柱的侧面积是6ah求解；
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：（2h+2a）﹣（h+2a+a）＝5，（4a+a）﹣4a＝1，
∴a＝2，h＝9﹣2，
∴六棱柱的侧面积是6ah＝6×2×（9﹣2）＝108﹣24；
故选：A．
6．某商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，它们的尺码与销售量如表所示：
则这15双鞋的尺码组成的数据中，中位数为（ ）
A．23.5cmB．24cmC．24.5cmD．25cm
【分析】利用中位数的定义求解．
【解答】解：排序后位于中间位置的数是24cm，
所以中位数是24cm，
故选：B．
7．已知点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）均在一次函数y＝﹣2x+k的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【分析】根据一次函数的系数﹣2＜0知，y随x的增大而减小，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+k中的系数﹣2＜0，
∴该一次函数是y随x的增大而减小；
又∵点A（﹣1，a），B（1，b），C（2，c）均在一次函数y＝﹣2x+k的图象上，
∴﹣1＜1＜2，
∴c＜b＜a．
故选：D．
8．如图，将图一中的等腰直角三角形纸片ABC，依次沿着折痕DE，FG翻折，得到图二中的五边形ADEGF．若图二中，DF∥EG，点C′，B′恰好都是线段DF的三等分点，GC′交EB′于点O，EG＝4﹣2，则等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为（ ）
A．4+6B．4﹣6C．8+4D．8﹣4
【分析】根据折叠得：FC＝FC′，DB＝DB′，∠C＝∠FC′G＝45°，进而得出四边形CFC′G是菱形，设DC′＝x，表示其它的边长，在等腰直角三角形中，利用边角关系，表示边长，再在等腰直角三角形ABC中，依据边角关系，距离方程求出未知数，进而求出斜边BC的长．
【解答】解：由折叠得：FC＝FC′，DB＝DB′，∠C＝∠FC′G＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠FC′G＝∠C′GE＝∠C＝45°，
∴C′G∥AC，
∴四边形CFC′G是菱形，
∴CF＝FC′＝C′G＝GC，
同理：BE＝BD＝DB′＝EB′，
设DC′＝x，则DF＝3x，BE＝CG＝2x，
在等腰直角三角形ADF中，AF＝AD＝DF＝，
∴AC＝AF+FC＝+2x＝，
在在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝BC，
∴＝（4x+4﹣2），
解得：x＝2，
∴BC＝4x+4﹣2＝4+6，
故选：A．
9．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y＝x2沿射线OC平移得到新抛物线y＝（x﹣m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（ ）
A．2，6，8B．0＜m≤6
C．0＜m≤8D．0＜m≤2或6≤m≤8
【分析】抛物线y＝x2沿射线OC平移，则新的抛物线的顶点在OC上，分别求出C（2，﹣2），B（2，2），进而可得OC的直线解析式为y＝﹣x；则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝m，将点B（2，2）代入y＝（x﹣m）2+m中，将点A（4，0）代入y＝（x﹣m）2+m中，则可确定0＜m≤2或6≤m≤8；
【解答】解：∵抛物线y＝x2沿射线OC平移，
∴新的抛物线的顶点在OC上，
∵点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，
∴C（2，﹣2），B（2，2），
∴OC的直线解析式为y＝﹣x，
则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝﹣m，
将点B（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m中，
∴m＝0或m＝6；
将点A（4，0）代入y＝（x﹣m）2﹣m中，
∴m＝2或m＝8；
∵新抛物线与正方形的边AB有公共点，
∴0＜m≤2或6≤m≤8；
故选：D．
10．如图，几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．小明有5把钥匙，其中有2把钥匙能打开教室门，则小明任取一把钥匙，恰好能打开教室门的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，让所求情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：∵共有5把钥匙，其中有2把钥匙能打开教室门，
∴任取一把钥匙，恰好能打开教室门的概率是；
故答案为：．
12．如果式子有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】二次根式有意义，被开方数大于或等于0，列不等式并解不等式即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴4﹣2x≥0，解得x≤2．
13．如图所示，在扇形AOC中，∠AOC＝120°，OA＝4，以点O为圆心在其同侧画扇形BOD，∠BOD＝60°，OB＝2，且△AOB≌△COD，则阴影部分的面积是 π﹣4
【分析】根据S阴＝S扇形OAC﹣2•S△AOB﹣S扇形OBD，计算即可．
【解答】解：如图，作BH⊥OA于H．
∵△AOB≌△COD，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOC＝120°，∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝∠COD＝30°
在Rt△OBH中，∵∠OHB＝90°，∠BOH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB＝1，
∴S△AOB＝•OA•BH＝2，
∴∵∠BOD＝60°，
∴S阴＝﹣2×2﹣＝π﹣4，
故答案为π﹣4．
14．如图，以菱形ABCD的对角线AC为边，在AC的左侧作正方形ACEF，连接FD并延长交EC于点H．若正方形ACEF的面积是菱形ABCD面积的1.4倍，CH＝6，则EF＝ 14 ．
【分析】连接BD交AC于G，由菱形性质可的AC与BD互相垂直平分，菱形面积等于AC与BD的积的一半，其中由正方形性质的AC＝EF可用EF代入计算．因为G是AC中点且DG∥EC∥AF，根据平行线分线段定理可知点D也是FH中点，故DG是梯形ACHF中位线，DG＝（CH+AF）＝（6+EF），因此菱形ABCD面积可用含EF的式子表示．用EF2表示正方形ACEF面积，以正方形面积为菱形面积的1.4倍为等量关系列方程，即求出EF的长．
【解答】解：连接BD，交AC于点G
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，DB＝2DG，AG＝CG
∴S菱形ABCD＝AC•DB＝AC•DG
∵四边形ACEF是正方形
∴EF＝AF＝AC＝CE，AF∥EC，AC⊥EC
∴DB∥CE∥AF
∴＝1
∴DH＝DF，即DG为梯形ACHF的中位线
∴DG＝（CH+AF）＝（CH+EF）
∵CH＝6，S正方形ACEF＝1.4S菱形ABCD
∴EF2＝1.4AC•DG
∴EF2＝1.4EF•（6+EF）
解得：EF＝14
故答案为：14．
15．若分式的值为零，则x的值为 1 ．
【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝0，x+1≠0，
∴x＝1．
故答案为：1．
16．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1的⊙O，则的长为 ．
【分析】由正六边形的性质求出圆心角∠AOB的度数，得出所对的圆心角度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：连接OA、OE、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°×＝60°，
∴所对的圆心角为60°×4＝240°，
∴的长为＝；
故答案为：．
17．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为 ．
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，得∠C＝∠D＝90°，再利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，然后利用∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED得△BEC∽△AED，根据相似三角形的性质得比例式，进而得关于DE和CE的方程组，解方程组即可得答案．
【解答】解：如图，连接AD，BC
∵AB为直径
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝1，BD＝7，
∴AB＝＝＝5
∵点C为半圆的中点，
∴AC＝BC
∴AC2+BC2＝AB2
∴2BC2＝50
∴BC＝AC＝5
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED
∴△BEC∽△AED
∴＝＝＝
∴
∴
故答案为：．
18．如图，将一块含30°角的直角三角板ABC和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的直角边BC与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切于点D，若圆心O对应的刻度为2cm，量角器的边缘E对应的刻度为9.5cm，则线段BD的长度为 cm．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠BDO＝90°，求得OD＝OE＝9.5﹣2＝7.5，∠B＝30°，由直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵斜边与半圆相切于点D，
∴∠BDO＝90°，
∵OD＝OE＝9.5﹣2＝7.5，∠B＝30°，
∴BD＝OD＝cm，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
19．如图，这是一张6×6的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在格点上．请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；
②保留作图痕迹．
（1）请以线段AB为斜边作等腰直角△ABC（作出一个即可）．
（2）在（1）的基础上，作出BC边上的中线AD．
【分析】（1）直接利用网格结合等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用矩形的性质得出BC的中点，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：中线AD即为所求．
20．如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CD并延长交AB于点F，连接BD，CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△ABD；
（2）由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求∠BDF＝70°，即可得∠ABD＝20°，由全等三角形的性质可得∠ACE＝20°，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠CAB＝60°
∵将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE
∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°
∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD
∴△ACE≌△ABD（SAS）
（2）∵CF⊥AB，AC＝BC
∴DF垂直平分AB，∠ACF＝∠ACB＝30°
∴AD＝DB，且DF⊥AB
∴∠ADF＝∠BDF＝∠ADB＝70°
∴∠ABD＝20°
∵△ACE≌△ABD
∴∠ABD＝∠ACE＝20°
∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50°
21．如图，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x轴正半轴于点A，将抛物线M，平移得到抛物线M2：y＝﹣x2+bx+c，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C，点C的横坐标为6，且OB＝BC．
（1）①直接写出点B，点C的坐标；
②求抛物线M2的表达式；
（2）点P是抛物线M1上AB间一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ，设点P的横坐标为m．当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）①作如图所示辅助线，证△OBE≌△BCD得OE＝BD＝EF＝3，求出x＝3时y的值，据此知B点坐标及BE＝DF＝CD＝3，从而得出点C坐标；
②把B、C坐标代入解析式求解可得；
（2）作CH⊥PQ，交PQ延长线于点H，由PQ＝（﹣m2+10m﹣18）﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，CH＝6﹣m得S△CPQ＝＝﹣3m2+27m﹣54，再根据二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）①过点B作x轴的平行线BD，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于D，
则∠OEB＝∠OFC＝∠BDC＝90°，
又∵∠BOE＝∠CBD，OB＝BC，
∴△OBE≌△BCD（AAS），
∴OE＝BD＝EF＝3，
当x＝3时y＝﹣x2+4x＝﹣9+12＝3，即B（3，3）；
则BE＝DF＝CD＝3，
∴C（6，6）；
②把B（3，3），C（6，6）代入抛物线M2：y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得，
∴y＝﹣x2+10x﹣18；
（2）如图2，过点C作CH⊥PQ，交PQ延长线于点H，
∴PQ⊥x轴，
∴PQ＝（﹣m2+10m﹣18）﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，CH＝6﹣m，
∴S△CPQ＝＝﹣3m2+27m﹣54，
由于P是抛物线M1上AB段一点，
故3≤m≤4，
m＝﹣＝，不在3≤m≤4范围内，
∵a＝﹣3，开口向下，在对称轴的左侧，S随着m的增大而增大，
∴当m＝4时，S有最大值，且最大值为6，
22．为关注学生出行安全，调查了某班学生出行方式，调查结果分为四类：A﹣骑自行车，B﹣步行，C﹣坐社区巴士，D﹣其它，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名学生？
（2）C类女生有 3 名，D类男生有 1 名，并将条形统计图补充完整．
（3）若从被调查的A类和D类学生中分别随机选取一位同学进行进一步调查，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）用步行的人数除以所占的百分比即可得出调出的总人数；
（2）用调查的总人数乘以所占的百分比，即可求出C类和D类的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图得出所以等情况数和恰好是一位男同学和一位女同学的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生数＝10÷50%＝20（名）；
（2）C类女生数有20×25%﹣2＝3名；
D类男生数有20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）﹣1＝1名，
条形统计图为：
故答案为：3，1；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好是一位男同学和一位女同学的结果数为3种，
所以所选A，D两类同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是＝．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，点A在点B的左侧，点M为AB的中点，PQ∥x轴交抛物线于点P，Q，点P在点Q的左侧，点Q在第一象限，以PQ，PM为邻边作▱PMNQ．设点P的横坐标为m．
（1）当m＝0时，求▱PMNQ的周长；
（2）连接MQ，若MQ⊥QN时，求m的值．
【分析】（1）求得P（0，3），Q（2，3），则PQ＝2，由勾股定理得PM长，则▱PMNO的周长可求出；
（2）由题意知△PQM为等腰直角三角形，P（m，﹣m2+2m+3），有Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），则PQ＝2﹣2m，可得关于m的方程，解方程可求出m的值．
【解答】解：（1）令x＝0得，y＝3
∴P（0，3），
∵抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，
∴M（1，0），
∵PQ∥x轴，
∴Q（2，3），即得PQ＝2，
PM＝＝，
∵▱PMNQ
∴QN＝PM＝，MN＝PQ＝2
∴▱PMNQ的周长为：QN+PM+MN+PQ＝4+2．
（2）如图，连接MQ，
∵▱PMNQ，
∴PM∥QN，
∵MQ⊥QN，
∴MQ⊥PM，
∵P，Q关于对称轴对称，
∴MP＝MQ，
∴△PQM为等腰直角三角形，
∴，
∵P（m，﹣m2+2m+3），
∴Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），
∴PQ＝2﹣2m，
∴﹣，
解得，m2＝，
∵P在Q左侧，
∴m＝．
24．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，CA＝CB，过点A作AE∥BC，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线交AE的延长线于点D，已知AB＝6，BE＝3．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）延长AO交DC的延长线于点F，求AF的长．
【分析】（1）连接CO并延长交AB于H，如图1，利用切线的性质得OC⊥DC，再证明CO为AB的中垂线，则CO⊥AB，所以AB∥CD，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）如图2，利用平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，则＝，所以＝，于是得到CB＝CA＝BE＝3，利用垂径定理得到AH＝3，则根据勾股定理可计算出CH＝9，设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，在Rt△OAH中利用（9﹣r）2+32＝r2得r＝5，然后证明△AOH∽△FOC，利用相似比求出OF，从而得到AF的长．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交AB于H，如图1，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∵OA＝OB，CA＝CB
∴CO为AB的中垂线
∴CO⊥AB，
∴AB∥CD
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：如图2，
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴＝，
∵+＝+，即＝，
∴CB＝CA＝BE＝3
∵CH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝3，
在Rt△ACH中，CH＝＝9，
设⊙O的半径为r，则OH＝9﹣r，
在Rt△OAH中，（9﹣r）2+32＝r2，解得r＝5，
∴OH＝4
∵AH∥CF，
∴△AOH∽△FOC，
∴＝，即＝，
解得OF＝，
∴AF＝AO+OF＝5+＝．
25．如图，∠ACL＝90°，AC＝4，动点B在射线CL，CH⊥AB于点H，以H为圆心，HB为半径作圆交射线BA于点D，交直线CD于点F，交直线BC于点E．设BC＝m．
（1）当∠A＝30°时，求∠CDB的度数；
（2）当m＝2时，求BE的长度；
（3）在点B的整个运动过程中，
①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．
②连接EH，FH，当tan∠FHE＝时，直接写出△FHD与△EFH面积比．
【分析】（1）由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；
（2）当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝2，cs∠ABC＝，过点H作HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；
（3））①要分两种情况：1°．当点E在C右侧时，2°．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；②先证明：EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比等于底之比，再由tan∠FHE＝可求得的值即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵HB＝HD，CH⊥BD，
∴CH是BD的中垂线，
∴CB＝CD，
∴∠CDB＝∠ABC＝60°．
（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，
当m＝2时，BC＝2，
∴AB＝＝2，
∴cs∠ABC＝＝，
∴BH＝BC•cs∠ABC＝，
∴BK＝BH•cs∠ABC＝，
∴BE＝2BK＝；
（3）①分两种情况：
1°．当点E在C右侧时，如图2，连接DE，由BD是直径，得DE⊥BC，
∵BC＝3CE＝m，
∴CE＝m，BE＝m，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴＝＝，
∴DE＝AC＝，
∵CD＝CB＝m，
∴Rt△CDE中，由勾股定理得：+＝m2，
∵m＞0，
∴m＝2，
2°．当点E在C左侧时，如图3，连接DE，由BD是直径，得DE⊥BC，
∵BC＝3CE，
∴CE＝m，BE＝m，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△ACB，
∴＝＝，
∴DE＝AC＝，
∵CD＝CB＝m，
∴Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+CE2＝CD2，
∴+＝m2，
∵m＞0
∴m＝4，
综上所述，①当BC＝3CE时，m＝2或4．
②如图4，过F作FG⊥HE于点G，∵CH⊥AB，HB＝HD
∴CB＝CD
∴∠CBD＝∠CDB
∴＝，即+＝+
∴＝
∴EF∥BD
∴＝
∵在Rt△FHG中，＝tan∠FHE＝，设FG＝5k，HG＝12k，则FH＝＝＝13k
∴DH＝HE＝FH＝13k，EG＝HE﹣HG＝13k﹣12k＝k
∴EF＝＝＝k
∴＝＝．
26．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C，D两点，与斜边AB交于点E，连接BO，ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于点G，连接DF
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE＝，求EF的长．
【分析】（1）连接OE，证OE⊥AB即可．通过证明△BOC≌△BOE得证；
（2）根据垂径定理，EF＝2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED＝90°，∠ECD＝∠F．CD＝10．根据三角函数可求EG得解．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵ED∥OB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠OED．
又OE＝OD，
∴∠2＝∠OED，
∴∠1＝∠3．
又OB＝OB，OE＝OC，
∴△BCO≌△BEO．（SAS）
∴∠BEO＝∠BCO＝90°，即OE⊥AB．
∴AB是⊙O切线．
（2）解：连接CE，
∵∠F＝∠4，CD＝2•OC＝10；
由于CD为⊙O的直径，
∴在Rt△CDE中有：ED＝CD•sin∠4＝CD•sin∠DFE＝10×＝6．
∴CE＝＝8．
在Rt△CEG中，＝sin∠4，
∴EG＝×8＝．
根据垂径定理得：EF＝2EG＝．
27．如图是一个由1×1的正方形点阵组成的点阵图，请用无刻度的直尺按要求作图．
（1）如图1，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）
（2）如图2，点A，B是点阵中的两个点，请作出线段AB的两个三等分点．（保留作图痕迹）
【分析】（1）利用平行线等分线段定理解决问题即可．
（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，点E，点F即为所求．
（2）如图2中，点G，点K即为所求．
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
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销售量/双
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