8、湖南省雅礼中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（教师版）

这是一份8、湖南省雅礼中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题（教师版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019~2020学年度高一年级模块检测试题

高一数学
满分150分　时间:120分钟

第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(★)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=(　　)
A.{1,6} B.{1,7}
C.{6,7} D.{1,6,7}
1.
考点　交集和补集的运算.
解析　由题意知∁UA={1,6,7},所以B∩∁UA={6,7},故选C.
答案　C
2.(★)函数f(x)=x+3+1x+1的定义域为(　　)
A.{x|x≥-3且x≠-1} B.{x|x>-3且x≠-1}
C.{x|x≥-1} D.{x|x≥-3}
2.
考点　函数的定义域.
解析　由x+3≥0且x+1≠0,得x≥-3且x≠-1,所以f(x)=x+3+1x+1的定义域为{x|x≥-3且x≠-1},故选A.
答案　A
方法技巧　当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时,确定定义域的方法为:1.确定所有的限制条件,不能遗漏,2.分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合,3.求这些集合的交集.
3.(★)若a、b不全为0,则必须且只需(　　)
A.ab≠0
B.a、b中至多有一个不为0
C.a、b中只有一个为0
D.a、b中至少有一个不为0
3.
考点　量词的理解.
解析　a、b不全为0,即a≠0,b=0或a=0,b≠0或a≠0,b≠0,所以必须且只需a、b中至少有一个不为0,故选D.
答案　D
易错警示　一定要区分至少有一个和至多有一个的区别,切勿弄混.
4.(★★)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)
A.MN
C.M=N D.不确定
4.
思路分析　利用作差法或特值法求解.
解析　解法一:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N,故选B.
解法二:令a1=0.5,a2=0.5,则M=0.25,N=0,所以M>N,故选B.
答案　B
5.(★★)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.
考点　充分、必要条件的判定.
解析　充分性:若A∩B=A,则A⊆B,故充分性成立.
必要性:若A⊆B,则A∩B=A,故必要性成立.
故“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.
故选C.
答案　C
6.(★★)给出下列四个命题:
①有理数是实数;
②有些平行四边形不是菱形;
③∀x∈R,x2-2x>0;
④∃x∈R,2x+1为奇数.
以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①④ B.②④
C.①②③④ D.③
6.
考点　命题的否定,命题真假的判断.
思路分析　先写出各个命题的否定,然后判断其真假.
解析　“有理数是实数”的否定为“有的有理数不是实数”,为假命题;
“有些平行四边形不是菱形”的否定为“所有的平行四边形都是菱形”,为假命题;
“∀x∈R,x2-2x>0”的否定为“∃x∈R,x2-2x≤0”,为真命题;
“∃x∈R,2x+1为奇数”的否定为“∀x∈R,2x+1不是奇数”,为假命题.故选D.
答案　D
方法技巧　在写含有一个量词命题的否定时,要将“∀”改成“∃”,将“∃”改成“∀”,对于一些量词不是很明显的,可以先将其改写成含有量词的命题,然后写其否定.
7.(★★)设命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
考点　全称量词命题,充分、必要条件.
思路分析　先求出使命题p为真命题的m的取值,然后进行判断即可.
解析　若命题p为真命题,则Δ=16-8m≤0,所以m≥2.所以“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件,故选B.
答案　B
误区警示　一定要看清谁是谁的什么条件,切勿弄混.
8.(★★)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
8.
考点　解一元二次不等式.
思路分析　本题考查了不等式的解法,利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出.
解析　∵关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),
∴a>0,ba=1,
∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,
∴x<-1或x>3.
∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A.
答案　A
方法技巧　由一元一次不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)得出a>0和ab=1是关键,然后转化所求不等式.
9.(★★★)设a,b,c∈(0,+∞),则三个数a+1b,b+1c,c+1a的值(　　)
A.都大于2
B.都小于2
C.至少有一个不大于2
D.至少有一个不小于2
9.
考点　基本不等式
思路分析　利用基本不等式即可求解.
解析　∵a,b,c都是正数,
∴a+1b+b+1c+c+1a
=a+1a+b+1b+c+1c
≥2+2+2=6,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
故三个数a+1b,b+1c,c+1a中,至少有一个不小于2(否则这三个数的和小于6).
答案　D
方法技巧　将三个数的和变形,利用基本不等式是关键,本题也可以用反证法求解(以后讲到).
10.(★★★)定义集合A与B的运算“*”为:A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}.设X是偶数集,Y={1,2,3,4,5},则(X*Y)*Y=(　　)
A.X B.Y
C.X∩Y D.X∪Y
10.
考点　集合的新定义问题.
思路分析　根据A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}分析出X*Y中的元素,进而可得(X*Y)*Y中的元素.
解析　∵A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B},
∴X*Y的元素包括除2,4以外的偶数和1,3,5,
故(X*Y)*Y=X,故选A.
答案　A
11.(★)某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则(　　)
A.x=a+b2 B.x≤a+b2
C.x>a+b2 D.x≥a+b2
11.
考点　基本不等式.
思路分析　先利用条件列方程(1+a)(1+b)=(1+x)2,然后利用基本不等式即可求解.
解析　由题意得A(1+a)(1+b)=A(1+x)2⇒(1+a)(1+b)=(1+x)2,
∵(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22.
当且仅当a=b时等号成立,
∴1+x≤2+a+b2=1+a+b2⇒x≤a+b2.故选B.
答案　B
方法技巧　对于实际应用问题,能正确根据题意列出等式(或不等式),并结合基本不等式求解是关键.
12.(★★★)设函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,则a的值为(　　)
A.-2 B.-4
C.-6 D.不能确定
12.
考点　函数的定义域与区间表示;函数的值域.
解析　由于所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,
所以对于函数f(x),其定义域x的长度和值域的长度是相等的.
f(x)的定义域为ax2+bx+c≥0(a<0)的解集,
设x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a<0)的根,且x1 则定义域的长度为
|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=b2-4aca2,
则f(x)的值域为0,4ac-b24a,
则有b2-4aca2=4ac-b24a,
所以a=-4,故选B.
答案　B
方法技巧　本题的关键是定义域的长度与值域的长度相等.

第Ⅱ卷(非选择题,90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(★)命题“∃x∈R,x2<0”的否定是　　　　. 
13.
考点　存在量词命题的否定.
解析　命题“∃x∈R,x2<0”的否定为“∀x∈R,x2≥0”.
答案　∀x∈R,x2≥0
方法技巧　写含有量词命题的否定时,一定要将“∀”改为“∃”,将“∃”改为“∀”.
14.(★)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=　　　　. 
14.
考点　集合交集的运算.
思路分析　找出两个集合的公共元素即可.
解析　由题意知A∩B={1,6}.
答案　{1,6}
15.(★★)不等式5−xx2-2x-3≤-1的解集为　. 
15.
考点　分式不等式的解法.
思路分析　移项,通分可得(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,再利用分子、分母异号且分母不为0可得不等式组,从而可解.
解析　∵5−xx2-2x-3≤-1,
∴5−xx2-2x-3+1≤0.
∴5−x+x2-2x-3x2-2x-3≤0,
∴x2-3x+2x2-2x-3≤0,即(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,
∴(x-1)(x-2)≤0,(x-3)(x+1)>0,或(x-1)(x-2)≥0,(x-3)(x+1)<0,
∴-1 答案　{x|-1 16.(★★★)若关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0,ai∈R,i=0,1,2,3)的3个实根为x1,x2,x3,那么x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=　　　　. 
16.
考点　函数解析式的求法.
思路分析　根据题意可得a3x3+a2x2+a1x+a0=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),展开等号右边的代数式,比较等式两边多项式对应的系数可得所求代数式的值.
解析　因为关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0的3个实根为x1,x2,x3,
所以a3x3+a2x2+a1x+a0=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),
而a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)
=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3,
所以a3(x1x2+x2x3+x3x1)=a1,-a3x1x2x3=a0,
所以x1x2+x2x3+x3x1=a1a3,x1x2x3=-a0a3,
故x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=a1-a0a3.
答案　a1-a0a3
方法技巧　利用对应项的系数相等列式是解题的关键.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明的演算步骤)
17.(★★)(本小题满分10分)
已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.
17.
考点　根据集合间的关系求参数的取值范围.
思路分析　先求出集合A,然后根据A∩B=B求得集合B的可能取值,然后即可求实数a的取值范围.
解析　由x2+4x+4=0可得x1=x2=-2,
∴A={x|x2+4x+4=0}={-2}.
∵A∩B=B,
∴B⊆A,
∴B=⌀或B={-2},
∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0,
解得a≤-1.
当a=-1时,B={0},舍去.
综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-1).
方法技巧　利用性质A∩B=B↔B⊆A来转化,要特别注意当A∩B=B时,往往需要分B=⌀和B≠⌀两种情况来讨论,而这一点在解题时很容易被忽视.
18.(★★)(本小题满分12分)已知集合A={x||x-2|0},集合B=x2x-2x+3<1.
(1)若a=1,求A∩B;
(2)若A⫋B,求实数a的取值范围.
18.
考点　交集运算,由集合间的关系求参数的范围.
思路分析　(1)由绝对值的几何意义求出集合A,再按照分式不等式的解法求出集合B,利用交集的含义求A∩B.
(2)由条件A⫋B,结合数轴,表示出集合A和集合B的位置,转化为关于a的不等式组求解即可.
解析　(1)当a=1时,|x-2|<1,
即-1 则A={x|1 由2x-2x+3<1,即x-5x+3<0,得-3 则B={x|-3 所以A∩B={x|1 (2)由|x-2|0),得2-a 因为A⫋B,
所以2−a≥−3,2+a<5,a>0或2−a>−3,2+a≤5,a>0,解得0 方法技巧　解题时,采用数形结合的方法,确定含参集合的的端点值的位置,并用不等式(组)表示,从而得到参数的取值范围.另外,求解时要特别注意端点值的取舍.
19.(★★)(本小题满分12分)若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若x1x2=12,求k的值.
19.
考点　一元二次方程的参数问题.
思路分析　(1)根据题意得出关于k的不等式组;然后求解即可.
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+1,利用x2=2x1,得3x1=2k+1,2x12=k2+1,所以2×2k+132=k2+1,解此方程得到k1=1,k2=7,然后根据(1)中的结论确定k的值.
解析　(1)由题意得[-(2k+1)]2-4(k2+1)≥0,1−(2k+1)×1+k2+1>0,--(2k+1)2>1,
解得k≥34且k≠1.
(2)根据题意得
x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+1,
∵x1x2=12,∴x2=2x1,
∴3x1=2k+1,2x12=k2+1,
∴2×2k+132=k2+1,
整理得k2-8k+7=0,解得k1=1,k2=7,
结合(1)可知k的值为7.
20.(★★)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求a,b的值;
(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.
20.
考点　三个“二次”之间的关系.
思路分析　(1)利用二次函数图象的开口方向,结合不等式的解集,列出方程组即可求a,b的值;
(2)构造函数,通过不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,结合二次函数的性质,列出不等式求实数c的取值范围.
解析　(1)由题意可知,函数为二次函数,且f(x)的图象开口向下,与x轴交于两点(-3,0)和(2,0).
∴a·(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab=0,a·22+2(b-8)-a-ab=0,
解得a=0,b=8(舍去)或a=−3,b=5.
所以a,b的值分别为-3,5.
(2)令g(x)=-3x2+5x+c,要使g(x)≤0的解集为R,
则需要方程-3x2+5x+c=0的根的判别式Δ≤0,
即Δ=25+12c≤0,
解得c≤-2512,
∴实数c的取值范围为c≤-2512.
方法技巧　在求解一元二次不等式时,数形结合通常使问题更加直观明了,判别式Δ的应用会使求解更加简单.
21.(★★★)(本小题满分12分)某工厂去年某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计产量年递增10万只,第n次投入后,每只产品的固定成本为g(n)=kn+1(k>0,k为常数,n∈Z且n≥0),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求k的值,并求出f(n)的表达式;
(2)问从今年算起第几年的年利润最高?最高利润为多少万元?
21.
考点　基本不等式的实际应用.
思路分析　(1)根据每只产品的固定成本为8元及关系式为g(n)=kn+1,可求k的值,利用第n次投入后的年利润为f(n)万元,可建立函数关系式;
(2)先由(1)可得年利润f(n)的关系式,再用基本不等式求最高利润.
解析　(1)g(n)=kn+1,由题意知,
当n=0时,g(0)=8,可得k=8,
所以f(n)=(100+10n)10−8n+1-100n(n∈Z,n≥0).
(2)f(n)=(100+10n)10−8n+1-100n
=1000-80n+10n+1
=1000-80n+1+9n+1
≤1000-80×29=520.
当且仅当n+1=9n+1,
即n=8时取等号,所以从今年算起第8年工厂的年利润最高,最高为520万元.
方法技巧　本题主要考查利用基本不等式求最值,关键是从实际问题中抽象出数学模型.
22.(★★★)(本小题满分12分)设f(x)=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),若a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,求证:
(1)方程f(x)=0有实根;
(2)-2 (3)设x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,则33≤|x1-x2|<23.
22
考点　三个“二次”之间的关系.
思路分析　(1)针对a进行分类讨论,若a=0,则f(0)f(1)≤0,显然与条件矛盾,a≠0时,f(x)=3ax2+2bx+c为二次函数,只需考虑判别式即可;
(2)由a+b+c=0,f(0)f(1)>0,可构造关于ba的不等式,解不等式可得-2 (3)利用根与系数的关系将(x1-x2)2转化成关于ba的二次函数,根据ba的范围求出值域即可.
证明　(1)当a=0时,b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,与已知矛盾,
所以a≠0.由题意得c≠0.方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4(b2-3ac),
由a+b+c=0,消去b,
得Δ=4(a2+c2-ac)=4a-12c2+34c2>0.
故方程f(x)=0有实根.
(2)由f(0)·f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0.
由a+b+c=0,消去c得(a+b)(2a+b)<0.
因为a2>0,
所以1+ba2+ba<0.故-2 (3)由已知得,x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a=-a+b3a,
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=49ba+322+13.
因为-2 故33≤|x1-x2|<23.
方法技巧　对形如ax2+bx+c=0的方程求解时,一定要对a=0和a≠0进行讨论,结合判别式和根与系数的关系可解决问题.