高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值课文课件ppt

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这是一份高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值课文课件ppt，共22页。

　　如果函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y= f(x)在这一区间上具有(严格的)⑥　单调性    ,区间D叫做函数y= f(x)的⑦　单调区间    .
3 | 函数的最大值与最小值
1.已知f(x)= ,因为f(-1)f(3). (　√　)3.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3].    ( ✕　)提示:函数在某区间上单调与函数的单调区间,不是同一个概念,函数在某区间上单调是函数在这个区间上的单调性,而函数的单调区间是函数在定义域上的单调性. 如设函数f(x)=-x,则函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,但函数f(x)的单调递减区间是R.4.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. (    ✕　)提示:题中函数f(x)在区间(1,3)上不一定是增函数.例如,函数f(x)= 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,但由图象(图略)知函数f(x)在区间(1,3)上不是增函数.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
5.如果f(x)的最大值、最小值分别为M、m,则f(x)的值域为[m,M]. (    ✕　)提示:例如:f(x)=x(x∈{1,2,3,4,5}), f(x)的最大值为5,最小值为1,但值域不是[1,5].6.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).(　√　)提示:由于f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).
含参数的函数单调性问题的解法
　　含参数的函数单调性问题常见的解法:1.常见函数的单调性:一次函数的单调性取决于一次项系数,二次函数的单调性取决于二次项系数与其图象的对称轴,反比例函数的单调性取决于定义域与分子.解题时可结合图象解决问题.2.分段函数在定义域上单调,除了要保证在各段上单调外,还要考虑分段点处的单调问题.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.
(★★★)已知函数f(x)= 是R上的增函数,则a的取值范围是 (    C　)A.-3≤a<0　　　    B.a≤-2C.-3≤a≤-2　　　    D.a<0解析    当x≤1时, f(x)=-x2-ax-5,依题意知f(x)=-x2-ax-5在(-∞,1]上是增函数,由二次函
数在(-∞,1]上单调递增可知,函数图象的对称轴x=- 在x=1右侧或与x=1重合,于是有- ≥1,即a≤-2;当x>1时,f(x)= ,依题意知f(x)= 在(1,+∞)上是增函数,由反比例函数的单调性知a<0;当x=1时,由函数单调递增可知,-12-a-5≤a,解得a≥-3.综上所述,a的取值范围是-3≤a≤-2.故选C.
跟踪训练1(★★☆)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围.思路点拨确定二次函数图象的对称轴结合函数图象确定函数的单调区间将所求出的单调区间与已知的单调区间进行比较求得参数范围.
解析　由题易得,函数图象的对称轴为x=a.由于二次函数图象(图略)开口向上,故其增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],而f(x)在区间[1,2]上单调,所以[1,2]⊆[a,+∞)或[1, 2]⊆(-∞,a],即a≤1或a≥2.
解题模板　已知函数的单调性求参数的关注点:1.视参数为已知数,依据简单函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义, 确定函数的单调区间,与已知的单调区间进行比较,求得参数的范围;2.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处函数值的大小关系.
　　已知函数f(x)的单调性,则由x1,x2的大小,可得f(x1), f(x2)的大小,由此解决比较大小的问题;反过来,由f(x1), f(x2)的大小,可得x1,x2的大小,由此解决含抽象函数的不等式问题. (★★☆)已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)取值范围是      -1,     .解析    由题意得解得-1≤x< .所以实数x的取值范围是 -1, .答案     -1,
跟踪训练2(★★☆)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)解析　由函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,得解得二次函数的最大(小)值问题有两种题型1.二次函数在R上的最大(小)值问题,解题时只需确定图象的开口方向与顶点坐标, 直接回答问题即可;2.二次函数在指定区间上的最大(小)值问题,解题时不仅要确定图象的开口方向与顶点坐标,而且要借助函数图象,分析函数在指定区间上的单调性,从而找出最大 (小)值. 含参数的二次函数在指定区间上的最大(小)值问题,利用图象的开口方向、对称轴与指定区间的关系,作出图象,借助图象的直观性,分析解决问题,解题时通常根据区间端点和图象的对称轴的相对位置进行分类讨论.此类问题,一般有如下几种类型:
含参数二次函数的最大(小)值问题的解法
1.区间固定,图象的对称轴变动(含参数),求最大(小)值;2.图象的对称轴固定,区间变动(含参数),求最大(小)值;3.区间固定,最大(小)值也固定,图象的对称轴变动,求参数.
(★★☆)已知函数f(x)=2x2-4ax-6,若x∈[0,2],求函数的最小值.解析    f(x)=2x2-4ax-6的图象的对称轴为x=a.(1)当a≤0时,f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)min=f(0)=-6;(2)当02时,f(x)在[0,2]上为减函数,∴f(x)min=f(2)=2-8a.综上所述,当a≤0时,最小值为-6;当02时,最小值为2-8a.
跟踪训练3(★★★)(1)求函数y=2x+ 的最小值;(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最大(小)值.思路点拨(1)换元得y=2t2+t+2 确定y=2t2+t+2在定义域内的单调性求出函数的最小值.(2)确定f(x)图象的开口方向及对称轴分类讨论函数图象的对称轴x=1与区间[t,t+2]的关系求出函数的最大(小)值.
解析　(1)令 =t,则t≥0,x=t2+1,∴y=2t2+t+2=2 + ,在t≥0时是增函数,∴当t=0,即x=1时,ymin=2,故函数的最小值为2.(2)由题易知,函数图象开口向上,图象的对称轴为x=1,
①当1≥t+2,即t≤-1时, f(x)在[t,t+2]上是减函数,则f(x)max=f(t)=t2-2t-3,f(x)min=f(t+2)=(t+2)2-2(t+2)-3=t2+2t-3;②当t<1　　不等式恒成立的问题通常转化为函数的最大(小)值问题,记住以下结论:1.任意x∈D, f(x)>a恒成立,一般转化为最小值问题,即f(x)min>a来解决;2.任意x∈D, f(x)利用函数最大(小)值解决不等式恒成立问题
(★★★)已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.解析    ∵x>0,∴ax2+x≤1可化为a≤ - .要使a≤ - 对任意x∈(0,1]恒成立,只需a≤ .设t= ,∵x∈(0,1],∴t≥1,∴ - =t2-t.
令f(t)=t2-t(t≥1),∵f(t)= - 在[1,+∞)上是增函数,∴f(t)min=f(1)=0,即当x=1时, - 的最小值为0,∴a≤0,∴实数a的取值范围是(-∞,0].
解题模板解决不等式恒成立的问题,常转化为含参数的函数最大(小)值问题,解题时常要分类讨论,此时要根据不等式的特点,进行变量分离,可避免分类讨论.
跟踪训练4(★★★)已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(1)=1,若f(x)≤- 2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.思路点拨将已知条件中的恒成立问题转化成f(x)max≤-2at+2恒成立,再构造新的函数y=-2at+1,利用新函数的最值,求得实数t的取值范围.

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