人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第1课时习题

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第1课时 函数的单调性
问题导学
一、根据图象求函数的单调区间
活动与探究1
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，并写出其单调区间．
迁移与应用
1．如图是定义在区间[－4,7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是______________，单调减区间是______________．
2．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3， x≤1，,(x－2)2＋3， x>1))的图象，并指出函数的单调区间．
利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后画出它的草图，最后根据函数的定义域与草图确定函数的单调区间．
二、函数单调性的证明
活动与探究2
证明函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上为减函数．
迁移与应用
1．证明函数f(x)＝3x－1在R上是增函数．
2．证明函数f(x)＝eq \f(2,x)在(0，＋∞)上是减函数．
根据定义证明函数的单调性可按如下步骤进行：
(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1＜x2；
(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、配方、通分等方法变形；
(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
(4)结论：根据差的符号得出单调性的结论．
其中(2)是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的积的形式或几个完全平方和的形式．
三、常见函数单调性的简单应用
活动与探究3
已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.
(1)函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
迁移与应用
1．若函数y＝－eq \f(b,x)在(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________．
2．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是__________．
这类题目中所给的单调区间应是该函数对应单调区间的一个子集，所以可利用子集关系列出不等式或等式求解．
四、函数单调性的应用
活动与探究4
已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求实数x的取值范围．
迁移与应用
已知f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x＋1)＞f(1－x)，求实数x的取值范围．
若函数f(x)在定义域上是增函数，且 f(a)＞f(b)，则有a＞b；若函数f(x)在定义域上是减函数，且f(a)＞f(b)，则有a＜b.
当堂检测
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
2．函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．一次函数y＝(a－2)x＋1在R上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
4．函数y＝|3x－6|的单调递增区间是______．
5．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)＞f(5＋6a)，则实数a的取值范围是______．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．任意两个自变量的值 f(x1)＜f(x2) 任意两个自变量的值 f(x1)＞f(x2)
预习交流1 (1)提示：不能，如图所示：虽然f(－1)＜f(2)，但原函数在[－1,2]上不是增函数．
(2)f(x1)＜f (x2) x1＞x2
2．增函数或减函数 单调区间
预习交流2 (1)提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
(2)提示：函数f(x)＝eq \f(1,x)在 (－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调函数．
预习交流3 (1)增函数 减函数
(2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) (3)(－∞，0)
(0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：首先将原函数去掉绝对值号，利用分段函数的解析式的特征画出函数的图象，并根据图象的上升与下降的趋势写出函数的单调区间．
解：当x＞eq \f(1,2)时，f(x)＝2x－1；
当x≤eq \f(1,2)时，f(x)＝－2x＋1，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x>\f(1,2)，,－2x＋1，x≤\f(1,2).))
画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
迁移与应用 1．[－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]
2．解：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3， x≤1，,(x－2)2＋3， x>1))图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
活动与探究2 思路分析：利用函数单调性的定义，设出(0,1)上的任意两个实数x1，x2，然后推导出f(x1)－f(x2)的符号即可得到结论．
证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))
＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))
＝eq \f((x1－x2)(x1x2－1),x1x2).
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0，x1x2＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上为减函数．
迁移与应用 1．证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝(3x1－1)－(3x2－1)＝3(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f (x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝3x－1在R上是增函数．
2．证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,x1)－eq \f(2,x2)＝eq \f(2(x2－x1),x1x2).因为x2＞x1＞0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
活动与探究3 (1)(－∞，－4] (2)－4 解析：y＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
∴该函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]．
(1)∵函数y＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，∴3≤－a－1，即a≤－4.
(2)由题意得－a－1＝3，a＝－4.
迁移与应用 1．(－∞，0) 解析：由反比例函数的单调性知，－b＞0，∴b＜0.
2．a≤－3
解析：二次函数的对称轴为x＝1－a.由题意知1－a≥4，∴a≤－3.
活动与探究4 思路分析：充分利用原函数的单调性及其定义域，建立关于x的不等关系求解x的取值范围．
解：因为f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x≤3，,0≤x≤2，,x<\f(3,2)，))即实数x的取值范围是1≤x＜eq \f(3,2).
迁移与应用 解：∵f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且f(2x＋1)＞f(1－x)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x＋1≤2，,0≤1－x≤2，,2x＋1>1－x，))解得0＜x≤eq \f(1,2).
∴实数x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
【当堂检测】
1．C 解析：结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．B
3．D 解析：由题意知a－2＞0，解得a＞2.
4．[2，＋∞) 解析：可画出函数的图象，由图象可知函数的单调递增区间是[2，＋∞)．
5．(－∞，－4) 解析：由题意得，4a－3＞5＋6a，即a＜－4.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.