高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第1课时课时练习
展开1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
问题导学
一、判断函数的奇偶性
活动与探究1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
迁移与应用
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x+;
(2)f(x)=x2-|x|+1;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=3x+1.
函数奇偶性可按如下方法判断:
(1)判断所给函数的定义域是否关于原点对称;
(2)当函数的定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)的关系:
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则函数为偶函数;
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则函数既是奇函数又是偶函数.
如果函数的定义域不关于原点对称,或在函数f(x)定义域内存在一个x,不满足f(-x)=-f(x)也不满足f(-x)=f(x),则函数既不是奇函数又不是偶函数.
二、分段函数奇偶性的判断
活动与探究2
判断函数f(x)=的奇偶性.
迁移与应用
1.已知函数f(x)=则函数f(x)是______函数.(填“奇”或“偶”)
2.判断函数f(x)=的奇偶性.
对于分段函数奇偶性的判断,需特别注意x与-x所满足的对应关系,如x>0,则求f(-x)时,一定要用x<0时对应的解析式.并判断f(-x)与x>0时的f(x)相等还是互为相反数,也可以结合图象的对称性帮助判断.
三、根据奇、偶函数求参数值
活动与探究3
已知函数f(x)=是奇函数,求实数b的值.
迁移与应用
1.若函数f(x)=2x2+(a-1)x+2是偶函数,则实数a的值是______.
2.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=______.
若f(x)是偶函数,则对定义域内的任意x,等式f(-x)=f(x)都成立;若f(x)是奇函数,则对定义域内的任意x,等式f(-x)=-f(x)都成立.由此可列出关于式中参数的方程(组),并求出参数值.
当堂检测
1.已知函数f(x)是定义在区间[a-1,2a]上的奇函数,则实数a的值为( )
A.0 B.1 C. D.不确定
2.函数f(x)=x2+的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1
B.y=-x2
C.y=
D.y=x|x|
4.如图给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)的值是______.
5.若函数f(x)=ax2+3x+b是R上的奇函数,则a=______,b=______.
提示:用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记. |
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答案:
课前预习导学
【预习导引】
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
预习交流 (1)提示:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.
(2)提示:由定义可知,若x在定义域内,则-x也在定义域内,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.
(3)提示:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
当x=0时,有f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).
又f(|x|)=
所以f(-x)=f(x)=f(|x|).
(4)提示:∵f(x)的定义域为[-a,a](a>0),且关于原点对称,
又∵f(x)=0,∴f(-x)=0.
∴f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x).
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析:判断函数的奇偶性,首先要判断函数定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)由得x2=1,即x=±1.
∴函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
迁移与应用 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又f(-x)=-x+=-=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)由得x=2,即函数f(x)的定义域是{2},不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)f(x)的定义域为R,f(1)=4,f(-1)=-2,
∴f(1)≠f(-1),f(-1)≠-f(1).
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
活动与探究2 思路分析:分x>0和x<0两种情况计算f(-x),然后再判断f(-x)与f(x)的关系.
解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).
②当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,
都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
迁移与应用 1.奇 解析:画出函数图象,该函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数.
2.解:函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,- x<0,
f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴对于定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
活动与探究3 思路分析:由f(x)是奇函数可得恒等式f(-x)=-f(x),从而列出关于b的方程,求出b的值.
解:∵f(x)是奇函数,∴f (-x)=-f(x),
即=-,∴-x+b=-(x+b),即2b=0,
∴b=0.
迁移与应用 1.1 解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴2x2-(a-1)x+2=2x2+(a-1)x+2,
即2(a-1)x=0.
∵上式对任意x都成立,∴a-1=0,即a=1.
2.0
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即x2-|-x+a|=x2-|x+a|,
∴|x-a|=|x+a|,即(x-a)2=(x+a)2,
∴x2-2ax+a2=x2+2ax+a2.
∴4ax=0.
因为上式对任意x∈R都成立,所以a=0.
【当堂检测】
1.C 解析:∵奇函数f(x)的定义域为[a-1,2a],
∴a-1+2a=0,a=.
2.D 解析:∵f(x)的定义域是[0,+∞),不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
3.D 解析:y=x+1不是奇函数;y=-x2在[0,+∞)上是减函数;y=在(0,+∞)上是减函数,故A、B、C都错.故选D.实际上,y=x|x|=画出图象,由图象可知,该函数既是奇函数又是增函数.
4.- 解析:由图知f(2)=.
∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-.
5.0 0 解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即ax2-3x+b=-ax2-3x-b.
∴2ax2+2b=0,由于上式对任意x∈R均成立,
∴即
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高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第2课时课时训练: 这是一份高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第2课时课时训练,共4页。试卷主要包含了奇偶函数的图象及应用,利用函数的奇偶性求解析式,函数单调性与奇偶性的综合应用等内容,欢迎下载使用。
人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第1课时习题: 这是一份人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值第1课时习题,共4页。试卷主要包含了))等内容,欢迎下载使用。