2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2含解析

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一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）
1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，．
解：（1）函数的定义域为，，
令，
当时，，此时在上单调递减；
当时，为二次函数，△，
①若△，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；
②当△，即或时，令，解得，
当时，的图象为开口向下的抛物线，，
当，，时，，则，单调递减，当，时，，则，单调递增；
当时，的图象为开口向上的抛物线，，
当，，则，单调递减，当，，，则，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
因此对任意恒有（1），即，
又，要证，只需证，
令，则，，
，
，则在，上单调递增，又（1），
当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），
对任意恒有（1），即，即得证．
2．已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：．
解：（1），
，，
故时的切线方程是，
即；
（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，
，，
当时，方程有2个实根，，则，，
令，
则，
令，则，
故在递增，故，
故在递增，故，故，
故，
故，
故时，，故，
故．
3．已知函数与．是自然对数的底数，
（1）讨论关于的方程根的个数；
（2）当，时，证明：．
解：（1）令，，，
当时，不满足
当时，，
，，，
因此在区间上单调递增，
（1），在区间上单调递减，
，，根据零点定理，在上存在唯一零点．
当，，，
，，，，在上单调递增，
（1），（e），
根据零点定理，在上存在唯一零点，
因此，根的个数为2个．
（2）
设，，，
在，上单调递减，在，上单调递减，，
所以，，
要证明，仅需要证明，
设，
，
当，，
在该区间上单调递增，
所以，，
所以，，
综上所述，当，时，．
4．已知．
（1）求的单调区间；
（2），若有两个零点，，且．求证：．（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）
解：（1），
当时，，在单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：，令，则，
设，则，
易知函数在单调递减，在单调递增，且时，，当时，，（1），
，
又，则，
①若证所证不等式的左边，即，即证，
又（b），则，故即证，即证，
设（b），，则，
（b）在上单调递减，
（b）（1），即得证；
②若证所证不等式的右边，即，即证，即证，
又（a），即，故即证，即证，
设（a），，则，
（a）在单调递减，故（a）（1），即得证．
5．已知函数，且函数与有相同的极值点．
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．
解：（1）令，解得，
易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，
令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，
故实数的值为1；
（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
当时，（1），（3），
①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为；
②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为，
综上，实数的取值范围为，，；
（3）证明：所证不等式即为，
下证：，即证，
设，则，，
易知函数在上单调递减，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，
在单调递减，
又时，，故，即；
再证：，即证在上恒成立，
设，，
在单调递增，则，故，
综上，，即得证．
6．已知函数．
（1）讨论的极值情况；
（2）若时，，求证：．
解：（1）的定义域是，，
①时，，在上单调递增，无极值，
②时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，无极大值；
综上：时，在上单调递增，无极值，
时，，无极大值；
（2）证明：①时，，使，
则，，此时成立，
②时，由（1）得时，，
，则，解得：，
故，
设，则，
为上的减函数，且，，
则存在唯一实数，，使得，，
当时，，递增，
当，时，，递减，
故当时，的最大值是，
为，上的增函数，
时，，则，
故（a），原结论成立．