2022年高考数学一轮复习之不等式

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2022年高考数学一轮复习之不等式
一．选择题（共12小题）
1．（2021春•凉山州期末）若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．＞2
2．（2021春•龙泉驿区期末）区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（　　）
A．3+2 B．2+2 C．6 D．3﹣2
3．（2021春•上饶期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的a的值之和是（　　）
A．13 B．15 C．21 D．26
4．（2020秋•慈溪市期末）已知点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，则实数b的取值范围为（　　）
A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．b＞1或b＜0
5．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．
6．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
7．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+
C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+
8．（2021•漳州模拟）已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2021•三模拟）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab，则ab的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2021•全国Ⅰ卷模拟）若不等式2x+1﹣2＜ax的解集中有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2021•青岛一模）若f（x）＝，则不等式f（x）＞的解集为（　　）
A．（﹣1，0）∪（﹣1，+∞） B．（﹣∞，1﹣）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（0，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）
12．（2021•一模拟）已知函数f（x）＝，则不等式f（3a﹣1）≥f（a2）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•南明区校级模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x2+y2的最大值为 　 　．
14．（2021•佛山二模）已知函数f（x）＝x（2x﹣2﹣x），则不等式2f（x）﹣3＜0的解集为　 　．
15．（2021•浙江模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为　 　；2a2+b2的最小值为　 　．
16．（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为 　 　．
17．（2021•凉山州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，则不等式f（x）≤x的解集用区间表示为　 　．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•南明区校级模拟）若a＞0，b＞0，且．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝5？并说明理由．
19．（2021•湖南模拟）某公司计划2021年在甲、乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超过90万元，已知甲、乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
20．（2021•内江模拟）已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．
（1）求a+b的最小值；
（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
21．（2021•浦东新区校级三模）已知．
（1）解不等式：f（x）≤﹣1；
（2）若y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为﹣2，求实数a的值．
22．（2021•凉山州模拟）已知a+b＝1，∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立．
（1）若a＞0，b＞0，求+的最小值；
（2）求x的取值范围．

2022年高考数学一轮复习之不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021春•凉山州期末）若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．＞2
【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：A：∵a＜b＜0，∴﹣＝＞0，故A不正确；
B：∵a＜b＜0，∴a＜0，∴a2＞ab，故B不正确；
C：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，故C不正确；
D：∵a＜b＜0，∴＞0，＞0，则≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，
∵a≠b，故则＞2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
2．（2021春•龙泉驿区期末）区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，则2a+b的最小值为（　　）
A．3+2 B．2+2 C．6 D．3﹣2
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的关系式，再利用基本不等式求出2a+b的最小值．
【解答】解：区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣x+1＜0的解集，
所以a、b是方程mx2﹣x+1＝0的实数根，且m＞0；
由根与系数的关系知，，
所以a+b＝ab，且a＞0，b＞0，所以＝+＝1，
所以2a+b＝（2a+b）（+）＝2+1++≥3+2＝3+2，
当且仅当b＝a时取等号，所以2a+b的最小值为3+2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次不等式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
3．（2021春•上饶期末）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的a的值之和是（　　）
A．13 B．15 C．21 D．26
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，利用二次函数的对称性可得，从而解出所有符合条件的a的值之和．
【解答】解：设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，
因为f（x）≤0解集中有且仅有5个整数，结合二次函数的对称性可得，
，解得0＜a≤5，又a∈Z，
所以a＝1，2，3，4，5，
所以符合题意的a的值之和1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了二次函数的对称性，属于难题．
4．（2020秋•慈溪市期末）已知点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，则实数b的取值范围为（　　）
A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．b＞1或b＜0
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用点和直线的位置关系的应用判断b的取值范围．
【解答】解：由于点A（1，﹣1），B（﹣2，3）在直线x+y﹣b＝0的两侧，
所以（1﹣1﹣b）（﹣2+3﹣b）＜0，整理得b（b﹣1）＜0，
解得：0＜b＜1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：线性规划中不等式与直线的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
5．（2021•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
立，解得A（﹣1，1），
化目标函数z＝x﹣为y＝2x﹣2z，由图可知，当直线y＝2x﹣2z过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1﹣．
故选：B．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析．
【分析】不等式即 2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），数形结合可得结论．
【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1．
由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、
（1，2），如图所示：
不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：D．

【点评】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．
7．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4的是（　　）
A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+
C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+，
当且仅当，即|sinx|＝2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到，
所以y＝|sinx|+＞4，故选项B错误；
对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，
当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x＝时，，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．
8．（2021•漳州模拟）已知实数x，y满足x2+3y2＝3，则x+y的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设t＝x+y，则y＝t﹣x，则可得到4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，此方程有解，根据判别式的意义得到△≥0，解得t的范围，于是可求出x+y的最大值．
【解答】解：设t＝x+y，则y＝t﹣x，
∵x2+3y2＝3，
∴x2+3（t﹣x）2＝3，整理得4x2﹣6tx+（3t2﹣3）＝0，
∵x为实数，
∴△＝（﹣6t）2﹣4×4（3t2﹣3）≥0，
∴﹣2≤t≤2，
∴x+y的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，本题属于基础题．
9．（2021•三模拟）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab，则ab的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用已知条件推出，然后利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立，故ab的最小值．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
10．（2021•全国Ⅰ卷模拟）若不等式2x+1﹣2＜ax的解集中有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；直观想象．
【分析】令g(x)＝2x+1﹣2；f(x)＝ax，显然≤0时不符合题意；当≥0时，根据两个函数的图象结合题意易得，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：设g(x)＝2x+1﹣2；f(x)＝ax,显然当a≤0时，在（0，+∞）g（x）＞f（x）恒成立，即不等式2x+1﹣2＜ax没有正整数解，
当a＞0时，g（x）与f（x）的大致图象如图所示，两个函数的图象均过原点，则原不等式的解集中的两个正整数解必然是x＝1和x＝2，
所以，即，解得3＜a≤，所以实数a的取值范围是（3，].
故选：D．

【点评】本题主要考查不等式与函数的图象问题；考查的核心素养是逻辑推理、直观想象，属于基础题．
11．（2021•青岛一模）若f（x）＝，则不等式f（x）＞的解集为（　　）
A．（﹣1，0）∪（﹣1，+∞） B．（﹣∞，1﹣）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（0，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）
【考点】指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用分段讨论法，分别求出x≥0和x＜0时不等式f（x）＞的解集即可．
【解答】解：因为f（x）＝，
当x≥0时，不等式f（x）＞化为log3（x+1）＞，
所以x+1＞，解得x＞﹣1；
当x＜0时，不等式f（x）＞化为2x＞，
解得x＞﹣1，即﹣1＜x＜0；
综上知，不等式f（x）＞的解集为（﹣1，0）∪（﹣1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
12．（2021•一模拟）已知函数f（x）＝，则不等式f（3a﹣1）≥f（a2）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】瞎由题意判断f（x）在R上单调递减，故由不等式可得3a﹣1≤a2，由此求得a的范围．
【解答】解：由于当x＜0时，f（x）＝x2﹣3x+1，故f（x）在（﹣∞，0）上，单调递减；
当x＞0时，f（x）＝e﹣x，故f（x）在（0，+∞）上，单调递减；
当x＝0时，x2﹣3x+1＝1＝e﹣x，故f（x）在R上单调递减．
由不等式f（3a﹣1）≥f（a2），可得3a﹣1≤a2，
解得a≥1 或a≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用单调性解不等式，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
13．（2021•南明区校级模拟）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x2+y2的最大值为 　10　．
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【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．
【解答】解：根据约束条件画出可行域如图，

联立，解得P（1，3），
由图可知，点P（1，3）到原点O的距离的平方最大，为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
14．（2021•佛山二模）已知函数f（x）＝x（2x﹣2﹣x），则不等式2f（x）﹣3＜0的解集为　（﹣1，1）　．
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【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，然后利用函数的单调性及奇偶性即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝x（2x﹣2﹣x），
所以f（﹣x）＝﹣x（2﹣x﹣2x）＝f（x），即f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x）单调递增，且f（1）＝f（﹣1）＝
则不等式2f（x）﹣3＜0可转化为f（x）＜，
所以﹣1＜x＜1．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查了不等式的求解，函数单调性及奇偶性的应用是求解问题的关键．
15．（2021•浙江模拟）已知正实数a，b满足a+2b＝1，则的最小值为　9　；2a2+b2的最小值为　　．
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【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用乘“1”法可求得+的最小值，利用二次函数的性质的应用可求得2a2+b2的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b＝1，
+＝（）（a+2b）＝1+4++≥5+2＝9，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．故的最小值为9；
由a＝1﹣2b，
故0＜b＜．
2a2+b2＝2（1﹣2b）2+b2＝9b2﹣8b+2＝9（b−）2+，
当b＝时，2a2+b2的最小值是．
故答案为：9；．
【点评】本题考查了基本不等式性质，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16．（2021•鄞州区校级模拟）若实数x，y满足2x2+xy﹣y2＝1，则5x2﹣2xy+2y2的最小值为 　2　．
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【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，而5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2，然后利用基本不等式即可求解，
【解答】解：因为2x2+xy﹣y2＝（2x﹣y）(x+y)＝1，
令t＝2x﹣y,则x+y＝,
则5x2﹣2xy+2y2＝（2x﹣y）2+(x+y)2＝＝2,
当且仅当，即t＝±1时取等号，此时5x2﹣2xy+2y2取最小值2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑，属于基础题．
17．（2021•凉山州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，则不等式f（x）≤x的解集用区间表示为　（﹣∞，﹣2]∪[0，2]　．
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【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据题意知f（x）是定义域R上的奇函数，求出f（x）的解析式，再求不等式f（x）≤x的解集．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，
所以f（x）是定义域R上的奇函数；
当x≥0时，f（x）＝x2﹣x，
所以x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）＝x2+x，
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2﹣x，
所以f（x）＝；
当x≥0时，不等式f（x）≤x可化为x2﹣x≤x，解得0≤x≤2；
当x＜0时，不等式f（x）≤x可化为﹣x2﹣x≤x，解得x≤﹣2；
综上知，不等式f（x）≤x的解集用区间表示为（﹣∞，﹣2]∪[0，2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[0，2]．
【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是基础题．
三．解答题（共5小题）
18．（2021•南明区校级模拟）若a＞0，b＞0，且．
（1）求a3+b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b＝5？并说明理由．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．
（2）根据ab≥2及基本不等式求得2a+3b＞4，从而可得不存在a，b，使得2a+3b＝5．
【解答】解：（1）由，得ab≥2，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立；
故a3+b3的最小值为4，
（2）由（1）知，，
由于，所以不存在a，b，使得2a+3b＝5．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
19．（2021•湖南模拟）某公司计划2021年在甲、乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超过90万元，已知甲、乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲、乙两个网络平台上的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x天、y天，总收益为z万元，根据题目条件列出不等式组，画出可行域，利用线性规划知识求解．
【解答】解：设该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为x天、y天，总收益为z万元，
则，
目标函数为z＝3x+2y，
作出不等式组所表示的可行域，如图所示：
，
由图可知，当直线z＝2x+3y过点A时，目标函数z取得最大值，
联立方程，解得，即A（100，200），
∴z的最大值为2×100+3×200＝800（万元），
即该公司在甲、乙电视台做广告的时间分别为100天、200天，能使公司的收益最大，最大收益是800万元．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，同时考查了学生的作图能力和计算能力，是中档题．
20．（2021•内江模拟）已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．
（1）求a+b的最小值；
（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解；
（2）结合（1）中的最值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化关系，结合零点分段讨论即可求解．
【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，4a+b＝2ab，
所以，
所以a+b＝（a+b）（）＝（5+）＝，
当且仅当且，即a＝，b＝3时取等号，a+b的最小值；
（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则≥|2x﹣1|+|3x+2|，
当x时，原不等式可化为2x﹣1+3x+2，
所以；
当时，原不等式可化为﹣2x+1+3x+2，
所以，
当x时，原不等式可化为﹣2x+1﹣3x﹣2，
所以﹣，
综上，x的取值范围[﹣]．
【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式求解最值，还考查了不等式的恒成立与最值关系的相互转化及利用零点分段求解不等式，分段讨论去绝对值是求解不等式的关键．
21．（2021•浦东新区校级三模）已知．
（1）解不等式：f（x）≤﹣1；
（2）若y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值为﹣2，求实数a的值．
【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式及其应用；指、对数不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；不等式；数学运算．
【分析】（1）根据log（x2﹣6x+10）≤﹣1，可得x2﹣6x+10≥2，然后求出不等式的解集即可；
（2）利用复合函数的性质，分a≥3，a＜2和2≤a＜3三种情况，结合条件求出a的值．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）的定义域为R．
由log（x2﹣6x+10）≤﹣1，得log（x2﹣6x+10）≤log2，
所以x2﹣6x+10≥2，则x2﹣6x+8≥0，解得x≥4或x≤2．
所以不等式f（x）≤﹣1的解集为（﹣∞，2]∪[4，+∞）．
（2）令t＝x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，
因为y＝f（x）在区间[a，a+1]上的最小值﹣2，
所以t＝（x﹣3）2+1，在x∈[a，a+1]上的最大值为4，
又当a≥3时，t＝（x﹣3）2+1，则；
当a+1＜3，即a＜2时，t＝（x﹣3）2+1，则．
当a＜3≤a+1，即2≤a＜3时，显然t的最大值不能取4．
综上，或．
【点评】本题考查了对数不等式的解法和利用函数的最值求参数的值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22．（2021•凉山州模拟）已知a+b＝1，∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立．
（1）若a＞0，b＞0，求+的最小值；
（2）求x的取值范围．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解；
（2）结合（1）中的最值及不等式的恒成立与最值的相互转化即可求解．
【解答】解：（1）因为a+b＝1，a＞0，b＞0，
所以＝＝1+＝3，
当且仅当且a+b＝1，即a＝b＝时取等号，此时取得最小值3；
（2）因为+≥|2x﹣2|+|x+1|恒成立，
由（1）知|2x﹣2|+|x+1|≤3，
即或或，
解得0≤x≤1或1．
故x的取值范围是[0，]．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，及由不等式恒成立求解最值，体现了转化思想的应用，属于中档题．

考点卡片
1．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
2．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
3．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；

＜0⇔f（x）•g（x）＜0；

≥0⇔；

≤0⇔．
4．二元一次不等式（组）与平面区域
【知识点的知识】
二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
1、二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线l：ax+by+c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＝0；
②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；
③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

2、线性规划相关概念
名称
意义
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
可行解
满足约束条件的解（x，y）
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得
二元线性规划问题
如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题
3、线性规划
（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．

4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．
②设z＝0，画出直线l0．
③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的最大值及最小值．

5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
5．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝＝．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
6．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

7．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
8．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
9．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【例题解析】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），
∴当a＞1时，有，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．
【考点点评】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．
10．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
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日期：2021/8/27 17:07:56；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118