2021学年1.1 集合的概念第1课时学案

这是一份2021学年1.1 集合的概念第1课时学案，共6页。学案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。

1.1 集合的概念
【素养目标】
1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)
2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理)
3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)
4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)
【学法解读】
在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．
第1课时 集合的含义
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 集合与元素的含义
一般地，我们把研究对象统称为__元素__(element)，把一些元素组成的__总体__叫做集合(set)(简称为集)．
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示__集合__，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的__元素__.
对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．
元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．
总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
知识点2 集合中元素的三个特性
思考2：集合元素的三个特性主要有哪些应用？
提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．
(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．
(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．
知识点3 元素与集合的关系
思考3：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
(2)符合“∈”“∉”的左边可以是集合吗？
提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．
知识点4 常用数集及其记法
思考4：N，N*，N＋有什么区别？
提示： (1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.
(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．
基础自测
1．下列各组对象中不能组成集合的是( C )
A．清华大学2019年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1>0的实数解
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为( A )
A．eq \r(2) B．eq \f(1,2)
C．－2D．－eq \f(1,3)
[解析] eq \r(2)∈R，且eq \r(2)∉Q，故选A．
3．下列元素与集合的关系判断正确的是__①④__(填序号)．
①0∈N；②π∈Q；③eq \r(2)∈Q；④－1∈Z；⑤eq \r(2)∉R.
[解析] π，eq \r(2)为无理数，eq \r(2)为实数，故填①④.
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有__2__个元素．
[解析] 方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 集合的基本概念
例1 下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④eq \r(2)的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②③__.
[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
[归纳提升] 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【对点练习】❶ 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2019年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
题型二 元素与集合的关系
例2 若所有形如3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－2eq \r(2)是不是集合A中的元素．
[分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.
[解析] 因为在3a＋eq \r(2)b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，即可得到6－2eq \r(2)，
所以6－2eq \r(2)是集合A中的元素．
[归纳提升] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
【对点练习】❷ (1)下列关系中，正确的有( C )
①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(5)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
(2)若集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为__2,1,0__.
[解析] (1)eq \f(1,2)是实数，eq \r(5)是无理数，|－3|＝3是自然数，|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
例3 已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
[分析] －3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
[解析] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
当2x2＋5x＝－3时，x＝－eq \f(3,2)或x＝－1(舍去)，
当x＝－eq \f(3,2)时，集合的三个元素分别为－eq \f(7,2)，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－eq \f(3,2).
[归纳提升] 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．
【对点练习】❸ 已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1 __.
[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
课堂检测·固双基
1．下列语句能确定一个集合的是( D )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析] 由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( D )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．
3．用符号“∈”或“∉”填空：
0__∈__N；－3__∉__N；0.5__∉__Z；eq \r(2)__∉__Z；eq \f(1,3)__∈__Q；π__∈__R.
4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__0,1__.
[解析] 因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1.
即A中有两个元素0,1，又t∈A，所以t＝0或1.
5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手．
[解析] (1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的．
(2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．
特性
含义
示例
确定性
作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了
集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A
互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素
集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2
无序性
构成集合的元素间无先后顺序之分
集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a__∈__A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a__不属于__集合A
数集
意义
符号
非负整数集(或自然数集)
全体非负整数组成的集合
N
正整数集
全体正整数组成的集合
N*或N＋
整数集
全体整数组成的集合
Z
有理数集
全体有理数组成的集合
Q
实数集
全体实数组成的集合
R