初中数学北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形教学课件ppt

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等腰三角形的轴对称性：“三线合一” 等腰三角形的边、角性质：等边对等角
什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？
等腰三角形的轴对称性：“三线合一”
等腰三角形是生活中常见的图形.(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由.
等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴. 等腰三角形的两个底角相等.
性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简写成“三线合一”)．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)试说明：EF＝ED.
(1)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以∠BAD＝∠CAD.所以∠BAC＝2∠BAD＝50°.因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠BAC)＝ (180°－50°)＝65°.(2)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以ED⊥BC，又因为BG平分∠ABC，EF⊥AB，所以EF＝ED.
(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．
如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.
由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，由此连接AC，AD构造等腰三角形．
如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，所以△ABC≌△AED(SAS)．所以AC＝AD.又因为AM⊥CD，所以CM＝MD.
对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：1.如图甲的情形，需作底边上的高；
2. 如图乙的情形，需作顶角平分线；3. 如图丙的情形，需作中线；4. 如图丁的情形，需连接AD并延长再说明其是“三 线”即可．
下面是由大小不同的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴.
解：有3条对称轴，如图．
【中考·咸宁】在下列学习用具中，不是轴对称图形的是(　　)
一个等边三角形的对称轴共有(　　)A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平. 他拿来一个如图所示的测平 仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤.小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点. 如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的. 你能说明其中的道理吗？
能．根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC(即木条)．如果重锤过点A，说明AD所在直线垂直于水平线，那么木条就是水平的．
【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)A．35° B．45° C．55° D．60°
6　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是(　　)A．①　　 B．①②　　C．①②③　　D．①②③④
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．
等腰三角形的边、角性质：等边对等角
性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
〈毕节，易错题〉已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(　　)A．16　　　 B．20或16　　　C．20　　　 D．12
B. 错解分析：本题错在没有对结果进行验证．当腰长为4时，两边之和为4＋4＝8，不大于第三边，不能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍去．周长应为8＋8＋4＝20.
(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形的内角和为180°与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解．
(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.当顶角为70°时，底角为因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，不符合三角形内角和为180°.因此顶角为90°.
(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和为180°.(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．
想一想(1)等边三角形有几条对称轴?(2)你能发现它的哪些特征？
1.等边三角形的三条边都相等；2.等边三角形的内角都相等,且等于 60 °; 3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线 都三线合一.
如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.连接MN.试说明：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.
(1)因为△ACD和△BCE都是等边三角形，所以AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°.因为∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，所以∠DCE＝60°.所以∠ACE＝∠DCB＝120°.所以△ACE≌△DCB(SAS)．所以∠EAC＝∠BDC.又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，所以△ACM≌△DCN(ASA)．
(2)由(1)知△ACM≌△DCN，所以CM＝CN.又因为∠MCN＝60°，所以∠NMC＝∠MNC＝60°.所以∠NMC＝∠ACM.所以MN∥AB.
如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数.
(1)(180°－60°)÷2＝60°；(2)(180°－90°)÷2＝45°；(3)(180°－120°)÷2＝30°.
【中考·赤峰】等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(　　)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
【中考·滨州】如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　)A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【中考·烟台】某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(　　)A．48° B．40° C．30° D．24°
【中考·天津】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(　　)A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC
如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确结论的个数为(　　)A．3 B．2 C．1 D．0
1.等腰三角形的性质总结：(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或 底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对 称轴．(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合(简写成“三线合一”)．(3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边 对等角”)．
2.等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的内角都相等,且等于 60 °; (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称；(4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线 都三线合一.
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有(　　)A．1条 B．2条C．1条或3条 D．不确定
易错点：忽略等腰三角形的特殊情形造成漏解
A等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情形，在解决有关问题时，往往因为忽略这种特殊情形而漏解．等边三角形有3条对称轴．