高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时课时作业

课时作业11　等式性质与不等式性质

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．若x<a<0，则一定成立的不等式是(　B　)

A．x2<ax<0  B．x2>ax>a2

C．x2<a2<0   D．x2>a2>ax

解析：取x＝－2，a＝－1，则x2＝4，a2＝1，ax＝2，

∴x2>ax，可排除A，显然C不正确．

又a2＝1，∴ax>a2.∴排除D，故选B.

2．若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　B　)

A．若a>b，则ac2>bc2

B．若a<b<0，则a2>ab>b2

C．若a<b<0，则<

D．若a<b<0，则>

解析：∵a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错．

∵a<b<0，∴a2>ab，b2<ab，>，>1，<1，即<，∴B正确，C，D错误．

3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　D　)

A.>   B.<

C.>   D.<

解析：方法1：∵c<d<0，∴－c>－d>0，

∴>>0.

又a>b>0，∴>，∴<.

方法2：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.

则＝－1，＝－1，排除选项A，B.

又＝－，＝－，

∴<，排除选项C.

4．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　C　)

A.<   B．a2>b2

C.>   D．a|c|>b|c|

解析：当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，a2<b2，排除A、B；因为>0，a>b⇒>，故C是正确的；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选C.

5．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　A　)

A．d>b>a>c   B．b>c>d>a

C．d>b>c>a   D．c>a>d>b

解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.

6．已知a>0，b>0，c>0，若<<，则有(　A　)

A．c<a<b   B．b<c<a

C．a<b<c   D．c<b<a

解析：由<<可得＋1<＋1<＋1，即<<.因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c，可得a>c.由b＋c>c＋a，可得b>a.于是有c<a<b.

7．已知若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac>0.(填“>”“<”或“＝”)

解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，

∴b2＝a2＋c2＋2ac.

∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.

∵a>c，∴(a－c)2>0，∴b2－4ac>0.

8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是{z|3≤z≤8}．

解析：∵z＝2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，

－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，

∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，

∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}．

9．设a，b为正实数，有下列命题：

①若a2－b2＝1，则a－b<1；

②若－＝1，则a－b<1；

③若|－|＝1，则|a－b|<1；

④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.

其中正确的命题为①④(写出所有正确命题的序号)．

解析：对于①，由题意a，b为正实数，

则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，

故a＋b>a－b>0.

若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b，

这与a＋b>a－b>0矛盾，

故a－b<1成立．

对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1.

对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.

对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，

∴a≠b，不妨设a>b>0.

∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，

∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2，

即a3－b3>(a－b)3>0，

∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，

∴0<a－b<1，

即|a－b|<1.因此正确．

10．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．

解：答案不唯一．

命题一：若ab>0，且>，则bc>ad.

证明：因为>，且ab>0，

所以·ab>·ab，即bc>ad.

命题二：若ab>0，且bc>ad，则>.

证明：因为ab>0，所以>0，又bc>ad，

所以bc·>ad·，即>.

11．已知a>b>c>0，求证：>>.

证明：∵b>c，∴－b<－c.∴a－b<a－c.

∵a>b>c，∴0<a－b<a－c.

∴>>0.

又b>0，∴>.

∵b>c>0，>0，∴>.

∴>>.

——能力提升类——

12．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　B　)

A．一定是正数   B．一定为负数

C．可能为0   D．正负不定

解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，且a2＋b2＋c2>0(由abc>0知abc均不为0)．

∴ab＋bc＋ac<0.

∴＋＋＝<0.

13．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(　B　)

A．甲   B．乙

C．同时到达   D．无法判断

解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度v1，跑步速度v2，则

甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，

t1－t2＝＋－＝s

＝·s＝>0，

∴甲用时多．

14．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围是－6≤9x－3y≤9.

解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，

∴⇒

∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，

∵－1≤4x－y≤5，

∴－2≤2(4x－y)≤10，

又－4≤x－y≤－1，

∴－6≤9x－3y≤9.

15．已知a>b>0，c>d>0，求证：

(1)>；

(2)>.

证明：(1)因为c>d>0，所以>>0.

又a>b>0，所以>.

(2)因为a>b>0，c>d>0，

所以>>0，>>0，

所以＋>＋>0，

即>>0，所以>.