2020-2021学年广东省某校高一（上）期中数学试卷

一．选择题（每小题5分，共40分）

1.  设集合，，则（ ）

A. B. C. D.

2.  已知命题，，那么命题为(         )

A.， B.，
C.， D.，
 

3.  若，，则“”是“”的(        )

A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要
 

4.  已知函数，则

A.是偶函数，且在上是增函数

B.是奇函数，且在上是增函数

C.是偶函数，且在上是减函数

D.是奇函数，且在上是减函数

5.  如果方程的两个实根一个小于，另一个大于，那么实数的取值范围是(         )

A. B. C. D.

6.  函数的图象的大致形状是(        )

A. B.
C. D.
 

7.  设，，，则（ ）

A. B. C. D.

8.  若，，是正实数，满足，试比较，，大小(        )

A. B. C. D.

二、多选题（每小题5分，共20分）

  下列各组函数中，两个函数是同一函数的有(       )

A.与

B.与

C.与

D.与

E.与

  为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），则(        )

A.当时，

B.当时，

C.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下

D.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下

  已知定义域为的奇函数满足下列叙述正确的是(        )

A.当时，但有

B.存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根

C.对任意实数，方程都有解

D.若当时，的最小值为，则

E.若关于的方程和的所有实数很之和为零，则

  对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是(        )

A.，

B.，

C.若，使得，，，，同时成立，则正整数的最大值是

D.，，

E.函数的值域为

三、填空题（共20分）

  函数恒过定点________．

  若，则的最小值为________．

  若，则________．

  已知函数．若对任意的有，则实数的取值范围是________．

四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）

 已知函数．
 

判断函数的奇偶性；

写成分段函数的形式，并在坐标系中作出函数的图象；

根据图象写出单调增区间．

 已知幂函数＝的图象过点．  

求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；

函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围．

 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．  

写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．

 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．  

求函数的解析式；

求及的值；

若存在实数，使得不等式有解，求实数的取值范围．

 已知定理：“实数，为常数，若函数满足，则函数的图象关于点成中心对称”．  

已知函数的图象关于点成中心对称，求实数的值；

已知函数满足，当时，都有成立，且当时，，求实数的取值范围．

 已知函数且函数是偶函数，设．  

求的解析式；

若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．

若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．