2020-2021学年7.4 二项分布与超几何分布精品同步达标检测题

这是一份2020-2021学年7.4 二项分布与超几何分布精品同步达标检测题，共23页。试卷主要包含了4二项分步与超几何分步同步练习，0分），1，P
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7.4二项分步与超几何分步同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数X∼B(5,14)，则P(X=k)=C5k(14)k⋅(34)5−k取最大值时k的值为(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 设随机变量X～B6,12，则P(X=3)的值为(    )
A. 516 B. 1116 C. 58 D. 716
3. 位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是(    )
A. 123 B. C52125 C. C53123 D. C52C53125
4. 已知随机变量X服从二项分布X∼Bn,p，且E(X)=2,D(X)=1，则P(X=3)=(    )
A. 14 B. 13 C. 38 D. 12
5. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.1，P(X=4) A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3
6. 2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家。“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂。高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以12的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为(    )
A. 1128 B. 7128 C. 21128 D. 35128
7. 重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(    )
A. 2027 B. 5281 C. 1627 D. 79
8. 1654年，法国贵族德⋅梅雷骑士偶遇数学家布莱兹⋅帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是(    )
A. 肖恩 B. 尤瑟纳尔 C. 酒吧伙计 D. 酒吧老板
9. 抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为(    )
A. 0.93 B. C53×0.93×0.12
C. 1−(1−0.9)3 D. C53×0.92×0.13
10. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为                                      (  )
A. 19 B. 827 C. 1627 D. 1781
11. 若随机变量X～B(3,p)，Y～N(2,σ2)，若P(X⩾1)=0.657，P(04=
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
12. 下列正确命题的序号有(    )
①若随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则D12X+1=5．
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件．
③一只袋内装有m个白球，n−m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，P(ξ=2)等于n−mAm2An3．
④由一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…(xn,yn)得到回归直线方程y=bx+a，那么直线y=bx+a至少经过(x1,y1)，(x2,y2)，…(xn,yn)中的一个点．
A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①④
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的4个红球，3个白球和2个黑球．若不放回地摸球，每次摸1个球，摸取4次，则恰有3次摸到红球的概率为          ；若有放回地摸球，每次摸1个球，摸取3次，则摸到红球的次数X的均值为          ．
14. 一个盒子里有1个红1个绿4个黄六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X．
(Ⅰ)若取球过程是无放回的，则事件“X=2”的概率为          ；
(Ⅱ)若取球过程是有放回的，则E(X)=          ．
15. 若血色素化验的准确率为p，则在10次化验中，有两次不准确的概率为          ，最多有一次不准确的概率是          ．
16. 某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有          种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ表示他遇到红灯的次数，则E(ξ)=          (用数字作答)
17. 甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X.若E(X)=95，则m=          ，P(X=2)=          ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：
(1)有放回地抽取时，取到黑球的个数X的分布列;
(2)不放回地抽取时，取到黑球的个数Y的分布列．







19. 2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1 质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
利润y(元)
6t
8t
4t
2t
−53et
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)．







20. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天数x
x≤5
5 x≥20
人数
15
60
25
(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松运动训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松运动训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．







21. 某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级．某采购商从采购的产品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：

(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；
(2)按分层抽样从这100个产品中抽取10个．现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；
(3)某生产商提供该产品的两种销售方案给采购商参考．
方案1：产品不分类，售价为22元/个；
方案2：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级
1等品
2等品
3等品
4等品
售价(元/个)
24
22
18
16
根据样本估计总体的思想，从采购商的角度考虑，应该接受哪种方案？请说明理由．







22. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1:不分类卖出，单价为20元/kg．
方案2:分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg)
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．







23. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，概率的最大值的求法，考查计算能力，属一般题．
通过k=0，1，2，3，4，5，分别求出结果，即可得到选项．
【解答】
解：当k=0时，P(X=k)=C50(14)0⋅(34)5=2431024
当k=1时，P(X=k)=C51(14)1⋅(34)4=4051024
当k=2时，P(X=k)=C52(14)2⋅(34)3=2701024
当k=3时，P(X=k)=C53(14)3⋅(34)2=901024
当k=4时，P(X=k)=C54(14)4⋅(34)1=151024
当k=5时，P(X=k)=C55(14)5⋅(34)0=11024．
P(X=k)=C5k(14)k⋅(34)5−k取最大值时k的值为：1．
故选B．  
2.【答案】A

【解析】略

3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查n次独立重复试验与二项分布，属于基础题．
依题意得到向右移动的次数X～B5,12，由此即可得到P(X=2)=C 52122123．
【解答】
解：质点P由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，
所以质点P移动5次后位于点(2,3)的概率即为质点P的5次移动中恰有2次向右移动的概率，
而每一次向右移动的概率都是12，
所以向右移动的次数X～B5,12，
所以所求的概率为P(X=2)=C 52122123=C 52125．
故选B．  
4.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了二项分布知识，属基础题．
由X∼Bn,p可得n=4，p=12，则P(X=3)=C43123×121．
【解答】
解：因为X服从二项分布X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1，
所以np=2，np(1−p)=1，
即n=4，p=12，
则P(X=3)=C43123×121=14，
故选：A．  
5.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了二项分布的概率与方差计算问题，是基础题．
利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】
解：因为某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p且各成员的支付方式相互独立，
所以该群体的10位成员中使用移动支付的人数X可满足X～B(10,p)，
故由P(x=4) 化简得1−2P<0，解得P>12；
因为D(X)=2.1，可得10P(1−P)=2.1，
解得p=0.7或p=0.3(舍去)；
所以P的值为0.7．
故选：A．  
6.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查n次独立重复试验与二项分布，属于中档题．
分析白球向下降落的过程中分别向左、向右滚下次数，利用公式求解即可．
【解答】
解：由题意知，白球落在第③个格子时，经过了5次向左滚下，2次向右滚下，
其概率为C72(12)5(1−12)2=21128．
故选C．  
7.【答案】A

【解析】解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，
∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：
P=(23)4+C43(23)3(13)+23C31(23)(13)2
=2027．
故选：A．
比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．
本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

8.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查概率的计算，考查二项分布，属于中档题．
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
P(X=4)，P(X=5)，P(X=6)，P(X=7)，可得P(X=4) 可得最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔．
【解答】
解：由题意，肖恩每局获胜的概率为2020+40=13，尤瑟纳尔每局获胜的概率为4020+40=23，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
P(X=4)=C44(13)4+C44(23)4=1781，P(X=5)=C43(13)4×23+C43(23)4×13=72243，
P(X=6)=C53(13)4×(23)2+C53(23)4×(13)2=200729，P(X=7)=C63(13)3×(23)3=160729，
显然有1781<160729<200729<72243，即P(X=4) 所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔．
故选B
  
9.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了二项分布，考查n次独立重复试验成功k次的概率，属于基础题．
5个人各抽奖一次中奖人数X～B(5,0.9)，所以P(X=3)=C530．93(1−0.9)2，
【解答】
解：依题意，5个人各抽奖一次中奖人数X～B(5,0.9)，
所以P(X=3)=C530．93(1−0.9)2，
故选：B．  
10.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查互斥事件、相互独立事件同时发生的概率以及n次独立重复试验，属于中档题；
设甲以3:0获胜为事件A，甲以3:1获胜为事件B，则A，B互斥，分别求出P(A)和P(B)，
再由P(A+B)=P(A)+P(B)即可求解；
【解答】
解：设甲以3:0获胜为事件A，甲以3:1获胜为事件B，则A，B互斥，
且P(A)=(23)3=827，P(B)=C32(23)2⋅13×23=827，
所以P(A+B)=827+827=1627，
故选C．  
11.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，是基础题
推导出P(X≥1)=1−1−p3=0.657，从而p=0.3，由此能求出P(Y>4)．
【解答】
解：依题意有P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−p)3=0.657，解得p=0.3，
则可知P(Y>4)=1−2P0 故选A．  
12.【答案】A

【解析】
【分析】
本题主要考查的是二项分布的期望与方差、互斥事件与对立事件、古典概型概率求法、回归直线方程，属于中档题．
结合选项依次判断即可．
【解答】
解：①若随机变量X～B(100,p)，且E(X)=20，则100p=20，p=15，
则DX=100×15×45=16，D(12X+1)=14DX=4，故错误；
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，
因为0.2+0.2+0.3+0.3=1，所以A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件．故正确；
③依题意，ξ=2表示一共取出了3个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球，
因为袋中一共有m+n−m=n个球，从中任意取出3个球有An3种不同方法，前两次取出白球，第三次取出黑球有(n−m)Am2种不同方法，所以P(ξ=2)=n−mAm2An3，故正确；
④回归直线方程必经过样本中心点，不一定经过样本数据中的各点，故错误．
故选A．  
13.【答案】1063　
43


【解析】
【分析】
本题主要考查超几何分布的概率计算，二项分布的数学期望的计算，属于中档题．
根据超几何分布的概率计算可得空1的答案，方法一，先根据二项分布的概率公式求对应概率，再计算期望，得空二结果；方法二，根据二项分布的期望公式可得空二结果．
【解答】
解：方法一，若不放回地摸球，
恰有3次摸到红球的概率为C43C51C94=20126=1063；
若有放回地摸球，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=1−493=125729，P(X=1)=C31×49×592=100243，
P(X=2)=C32×492×59=80243，P(X=3)=C33×493=64729，
∴E(X)=0×125729+1×100243+2×80243+3×64729=43；
方法二，若不放回地摸球，
恰有3次摸到红球的概率为C43C51C94=20126=1063，
若有放回地摸球，则X～B3,49，
∴E(X)=3×49=43．
故答案为1063；43．  
14.【答案】35
2


【解析】
【分析】
本题考查了离散型随机变量的概率，超几何分布，二项分布．离散型随机变量的期望，属于基础题．
(Ⅰ)若取球过程是无放回的，则X服从超几何分布，根据PX=k=C4kC23−kC63(k=0,1,2,3)，将k=2代入即可得到概率；
(Ⅱ)若取球过程是有放回的，则随机变量X～B(3,23)，利用二项分布的期望E(X)=np计算即可．
【解答】
解：(Ⅰ)依题意，PX=2=C42C21C63=1220=35；
(Ⅱ)若取球过程是有放回的，每次取到黄球的概率为46=23，
由题意可得，随机变量X～B(3,23)，
E(X)=3×23=2．
故答案为35；2．  
15.【答案】45(1−p)2p8
10p9−9p10


【解析】
【分析】
本题考查互斥事件与对立事件及n次独立重复试验的概率，属于中档题. 
由题得不准确的概率为1−p，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率公式求解．
【解答】
由题意知，血色素化验的准确率为p，则不准确的概率为1−p，
所以有两次不准确的概率为C102 (1−p)2p8=45(1−p)2p8；
最多一次不准确包括一次不准确和全部准确，则所求概率为C1010p10+C101(1−p)p9=10p9−9p10．
故答案为45(1−p)2p8；10p9−9p10．
  
16.【答案】15
2


【解析】
【分析】
本题考查组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题．
先用组合数表示出所有的分布情形，计算出结果即可；
随机变量ξ～B(6,13)，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可．
【解答】
解：经过6个红绿灯路口，遇到2次红灯的分布情形有C62=15种，
随机变量ξ～B(6,13)，∴E(ξ)=6×13=2．
故答案为：15；2．  
17.【答案】2
54125  


【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的期望与方差，n次独立重复实验与二项分布，是基础题．
根据二项分布的数学期望公式列方程计算m，再求解P(X=2)即可．
【解答】
解：显然X服从二项分布B3,33+m，
∴E(X)=3×33+m=95，则m=2，
∴P(X=2)=C32P21−P3−2，P=33+m=35，
∴P(X=2)=3×352×25=54125  
18.【答案】解：(1)有放回地抽取时，取到的黑球个数X的所有可能取值为0，1，2，3．
∵每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，
∴X∼B(3,15).
∴P(X=0)=C30(15)0×(45)3=64125，
P(X=1)=C31(15)1×(45)2=48125，
P(X=2)=C32(15)2×(45)1=12125，
P(X=3)=C33(15)3×(45)0=1125，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
(2)不放回地抽取时，取到的黑球个数Y的所有可能取值为0，1，2，
P(Y=0)=C20C83C103=715，
P(Y=1)=C21C82C103=715，
P(Y=2)=C22C81C103=115，
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
715
715
115



【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题.解题时要认真审题，仔细解答，判断出X服从二项分布，注意排列组合和概率知识的灵活运用.超几何分布是不放回抽样，正确理解超几何分布与二项分布的联系与区别是解决此类题目的关键．
(1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，求出X的分布列;
(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0，1，2，可求出Y的分布列．
  
19.【答案】解：(1)设事件A的概率为PA，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P=0.04+0.02×5=0.3，
则PA=1−C330.33=1−0.027=0.973．
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈85,90的频率为0.08×5=0.4；
m∈90,95的频率为0.04×5=0.2；
m∈95,100的频率为0.02×5=0.1．
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈85,90的有4件，m∈90,95的有2件，m∈95,100的有1件．
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈90,95的件数X的所有可能取值为0，1，2，
PX=0=C53C73=27，PX=1=C21C52C73=47，PX=2=C22C51C73=17，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
27
47
17
所以EX=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示1 质量指标值m
70,75
75,80
80,85
85,90
90,100
利润y
6t
8t
4t
2t
−53et
频率P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的平均利润y=0.3t+0.8t+0.6t+0.8t−0.5et=2.5t−0.5et1 则y′=2.5−0.5et，令y′=2.5−0.5et=0得t=ln5，
故当t∈1,ln5时，y′>0，函数y=2.5t−0.5et单调递增；
当t∈ln5,4时，y′<0，函数y=2.5t−0.5et单调递减．
所以当t=ln5时，y取得最大值，为2.5×ln 5−0.5eln 5≈1.5．
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值1.5元．


【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、利润最大值的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)设事件A的概率为PA，则根据概率分布直方图求出1件产品为废品的概率，由此能求出事件A发生的概率．
(2)由频率分布直方图和分层抽样求出抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系，从而求出每件产品的平均利润y=2.5t−0.5et(1
20.【答案】解：(1)设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A，
则P(A)=25100=14．
设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，
则ξ∼B(4,14)．
所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为P(ξ=2)=C42342142=27128．
(2)用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．
现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y服从超几何分布，Y的所有可能的取值为0，1，2，3．
则P(Y=0)=C30C93C123=2155，P(Y=1)=C31C92C123=2755，
P(Y=2)=C32C91C123=27220，P(Y=3)=C33C90C123=1220．
所以Y的分布列如下：
Y
0
1
2
3
P
2155
2755
27220
1220
所以E(Y)=0×2155+1×2755+2×27220+3×1220=165220=34．

【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望、超几何分布，n次独立重复试验，是中档题．
(1)由表以及二项分布概率公式可知P(ξ=2)=C42(34)2(14)2,计算即可；
(2)Y的可能取值为0，1，2，3，可得对应的概率，从而得出Y的分布列及数学期望E(Y)．

21.【答案】解：(1)从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为ξ，
由已知取1个产品为4等品的概率为20100=15，
依题意，ξ∼B(3,15)，
则P(ξ=1)=C31⋅(45)2⋅(15)1=48125，
即恰好有1个4等品的概率为48125;
(2)由已知10个产品中，1等品的有40100×10=4个，非1等品的有60100×10=6个，
依题意，X=0,1,2,3，
P(X=0)=C40⋅C63C103=16，P(X=1)=C41⋅C62C103=12，
P(X=2)=C42⋅C61C103=310，P(X=3)=C43⋅C60C103=130，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65;
(3)方案2的平均单价为24×40100+22×30100+18×10100+16×20100=21.2，
因为21.2<22，
从采购商角度考虑，应该选择方案2．


【解析】本题考查分层抽样，二项分布等基础知识，考查数据处理能力，属于中档题．
(1)由已知得取到4等品的概率，然后利用独立重复性试验概率计算公式求解即可;
(2)由分层抽样得1等品，非1等品的个数，然后分析X的取值，逐一求出概率得分布列，利用期望公式求出期望即可;
(3)求出方案2的平均单价，比较大小求解即可．

22.【答案】解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，
则P(A)=20100=15，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X ∼B(4,15)，
∴恰好抽到2个礼品果的概率为：P(X=2)=C42(45)2(15)2=96625．
(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：
E(ξ)=16×110+18×310+22×410+24×210=16+54+88+4810=20.6，
∵E(ξ)>20，
∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，
现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3，
则P(X=0)=C63C103=16，P(X=1)=C62C41C103=12，P(X=2)=C61C42C103=310，P(X=3)=C43C103=130，
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
∴E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．

【解析】本题考查概率统计知识的实际运用、随机变量的分布列与期望．
(1)由表格知，抽到礼品果的事件为A，P(A)=20100=15，设抽到礼品果的个数为X，则X ∼B(4,15)，从而得到恰好抽到2个礼品果的概率；
(2)由期望的公式可求得单价的期望值，从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，进而求得X的分布列及数学期望EX．

23.【答案】 解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，
则P(A)=20100=15，
现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为X，则X∼B3,15，
∴恰好抽到2个礼品果的概率为：P(X=2)=C32(45)(15)2=12125;
(2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，
则其中精品果4个，非精品果6个，
现从中抽取2个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，
则P(X=0)=C62C102=13；P(X=1)=C61C41C102=815；
P(X=2)=C42C102=215，
∴X的分布列如下：
X
0
1
2
P
13
815
215
所以E(X)=0×13+1×815+2×215=45．

【解析】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列的求解问题，属于中档题．
(1)计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；
(2)根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X取值对应的概率，从而可得分布列和数学期望．