高考物理一轮复习第一章运动的描述匀变速直线运动第4课时运动学图像和追及相遇问题学案新人教版

第4课时　运动学图像和追及相遇问题

1．(2019·全国卷Ⅰ)如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)

A．1<<2  B．2<<3

C．3<<4  D．4<<5

解析：选C　空气阻力不计，运动员竖直上升过程做匀减速直线运动，位移为H时的速度为0。逆向观察，如图所示，运动员做初速度为0的匀加速直线运动，则通过连续相等位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。由题意知，t2∶t1＝1∶(2－)＝2＋，可知选项C正确。

2.(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等

B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

解析：选CD　x­t图像斜率表示两车速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，故A错误；由两图线的纵轴截距知，出发时甲车在乙车前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，故B错误；t1和t2时刻两图线相交，表明两车均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等；在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，即该时刻两车速度相等，故C、D正确。

3．(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)

A．两车在t1时刻也并排行驶

B．在t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小

D．乙车的加速度大小先减小后增大

解析：选BD　由题图知，t1～t2时间内，v甲＞v乙，t2时刻两车相遇，则t1时刻甲车在乙车的后面，故A错误，B正确；由图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，故C错误，D正确。

4．(2021年1月新高考8省联考·湖南卷)(多选)甲、乙两同学相约去参观博物馆，两人同时从各自家中出发，

沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们在这段时间内的速

度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化的图线为两段四分之一圆弧。则(　　)

A．在t1时刻，甲、乙两人速度相同

B．0～t2时间内，乙所走路程大于甲

C．在t3时刻，甲、乙两人加速度大小相等

D．0～t4时间内，甲、乙两人平均速率相同

解析：选BCD　因为两个人是相向运动的，说明运动方向相反，因此t1时刻速度方向相反，A错误；v­t图像与横轴围成的面积表示物体运动的位移大小，因此可得0～t2时间内乙的路程大于甲的路程，B正确；v­t图像的斜率表示加速度，t3时刻两v­t图像的交点恰好等分甲图线在t2～t4时间内的圆周，因此由几何关系可得过该交点圆的切线的斜率和乙的斜率大小相等，都为，C正确；通过观察可以看出甲的图线与横轴围成的面积等于乙图线与横轴围成的面积，说明甲、乙的路程相等，则平均速率相同，D正确。

5. (2016·全国卷Ⅲ)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　质点在时间t内的平均速度v＝，设时间t内的初、末速度分别为v1和v2，则v＝，故＝。由题意知：mv＝9×mv，则v2＝3v1，进而得出2v1＝。质点的加速度a＝＝＝。故选项A正确。

高考对运动学图像的考查频率较高，且大多考查vt图像或xt图像，题型多为选择题，有时在计算题中需要借助运动图像解决问题。at图像、xy图像等有时也会考查，复习时应引起重视。　　

命题视角一　三类运动学图像的理解和应用

1．位移—时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图像并非物体运动的轨迹。

2．位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图像。

3．位移—时间图线上每一点的斜率表示物体在该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。　　

[例1]　(2021年1月新高考8省联考·辽宁卷)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x随时间t的变化如图所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。下列说法正确的是(　　)

A．甲做匀减速直线运动

B．乙做匀加速直线运动

C．第4 s末，二者速度相等

D．前4 s内，二者位移相等

[解析]　如果甲做匀减速直线运动，其位移－时间图像应为抛物线，A错误；乙做匀速直线运动，B错误；图像的斜率表示速度，第4 s末，二者的斜率不相等，所以速度不等，二者的初末位置相同，所以位移相同，C错误，D正确。

[答案]　D

1．速度—时间图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况。

2．速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。斜率的大小表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动，斜率为负则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动。

3．速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。t轴上方的面积表示位移沿正方向，t轴下方的面积表示位移沿负方向，如果上方与下方的面积大小相等，说明物体恰好回到出发点。　　

[例2]　(多选)甲、乙两质点同时沿同一直线运动，速度随时间变化的v­t图像如图所示。关于两质点的运动情况，下列说法正确的是(　　)

A．在t＝0时，甲、乙的运动方向相同

B．在0～2t0内，甲的位移大于乙的位移

C．在0～2t0内，乙的平均速度等于甲的平均速度

D．若甲、乙从同一位置出发，则t0时刻相距最远

[解析]　在t＝0时，甲的速度为正，乙的速度为负，说明甲、乙的运动方向相反，故A错误。根据图像与坐标轴围成的面积表示位移，在时间轴上方的位移为正，下方的面积表示位移为负，则知在0～2t0内，乙的位移小于甲的位移，则乙的平均速度小于甲的平均速度，故B正确，C错误。若甲、乙从同一位置出发，甲一直沿正向运动，乙先沿负向运动，两者距离增大，后沿正向运动，在t0时刻前甲的速度大于乙的速度，两者间距增大，t0时刻后乙的速度大于甲的速度，两者间距减小，所以t0时刻相距最远，故D正确。

答案]　BD

(三)位置坐标(xy)图像

表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动轨迹，在坐标图上能表示出物体运动的位移，以及某点速度的方向(切线)，但无法确定速度的大小，图线的斜率也没有意义。　　

[例3]　(多选)如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的位置坐标图像，下列说法正确的是(　　)

A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线

B．甲、乙、丙三个分队的位移大小相等

C．甲、乙、丙三个分队的平均速度大小相等

D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等

[解析]　位置坐标图像显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移大小相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动时间的大小关系，故无法比较三个分队平均速度的大小关系，C错误。

[答案]　AB

消除对运动学图像的“误会”

(1)无论x­t图像、v­t图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹。

(2)xt图像中两图线的交点表示两物体相遇，vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。

(3)位置坐标(xy)图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系。　　

[集训冲关]

1．(2021·泰安模拟)a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的x­t图像如图所示，图像c是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是(　　)

A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同

B．a、b两物体都做匀变速直线运动，两个物体的速度大小相等，方向相反

C．物体c一定做变速直线运动

D．物体c一定做曲线运动

解析：选C　位移—时间图像中倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，则知a、b两物体都做匀速直线运动。由题图斜率看出，a、b两图线的斜率大小相等、正负相反，说明两物体的速度大小相等、方向相反，速度不同，故A、B错误；匀加速直线运动位移时间公式为x＝v0t＋at2，可见，x­t图像是抛物线，所以物体c一定做匀加速直线运动，故C正确，D错误。

2．厦门地铁1号线被称作“最美海景地铁”，列车跨海飞驰，乘客在车厢内可观赏窗外美丽的海景。设列车从高崎站至集美学村站做直线运动，运动的v­t图像如图所示，总位移为s，总时间为t0，最大速度为vm，加速过程与减速过程的加速度大小相等，则下列说法正确的是(　　)

A．加速运动时间大于减速运动时间

B．从高崎站至集美学村站的平均速度为

C．匀速运动时间为－t0

D．加速运动时间为－t0

解析：选C　加速过程与减速过程的加速度大小相等，速度变化量大小相等，则根据a＝，知加速运动的时间等于减速运动的时间，故A错误；从高崎站至集美学村站的平均速度＝>，故B错误；设匀速运动时间为t，因为图像的面积代表位移，故总位移s＝(t＋t0)vm，所以t＝－t0，故C正确，D错误。

命题视角二　三类非常规运动学图像

[典例]　(2021·莆田模拟)如图所示为物体做直线运动的相关图像，下列说法正确的是(　　)

A．甲图中，物体在0～t0这段时间内的位移小于v0t0

B．乙图中，物体的加速度为2 m/s2

C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量

D．丁图中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s

[解析]　由v­t图线与时间坐标轴围成的面积表示位移可知，题甲图中物体在0～t0这段时间内的位移大于v0t0平均速度大于v0，选项A错误；根据v2＝2ax可知，题乙图中2a＝1 m/s2，则物体的加速度为0.5 m/s2，选项B错误；根据Δv＝at可知，题丙图中阴影部分的面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，结合题丁图可知a＝5 m/s2a前面的易被忽视，即a＝10 m/s2，则v0＝－5 m/s，故t＝3 s时物体的速度为v3＝(－5＋10×3)m/s＝25 m/s，选项D正确。

[答案]　D

[集训冲关]

1．一物体的运动图像如图所示，横、纵坐标截距分别为n和m，在图像所示的运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．若该图像为x­t图像，则物体速度一直减小

B．若该图像为a­t图像，且物体的初速度为零，则物体的最大速度为mn

C．若该图像为a­x图像，且物体的初速度为零，则物体的最大速度为

D．若该图像为a­x图像，且物体的初速度为零，则物体最终静止

解析：选C　若该图像为x­t图像，则图像的斜率表示速度，可知物体速度不变，选项A错误。若该图像为a­t图像，且物体的初速度为零，则图像与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量，可得物体的最大速度为mn，选项B错误。若该图像为a­x图像，把物体的位移分为N等份，每一等份的位移为Δx，若N很大，则Δx很小，在Δx内，物体可视为做匀加速直线运动，则第1个Δx内有v－0＝2a1Δx；第2个Δx内有v－v＝2a2Δx；第3个Δx内有v－v＝2a3Δx…第N个Δx内有v－v＝2aNΔx，将上述N个等式左右两边分别相加可得v＝2(a1Δx＋a2Δx＋…＋aNΔx)，即最大速度的平方等于a­x图像与坐标轴围成的面积的2倍，v＝2××mn，即vmax＝，选项C正确。若该图像为a­x图像，且物体的初速度为零，则物体最终的加速度为零，速度不为零，选项D错误。

2.一辆汽车做直线运动，其v2x图像如图所示。关于汽车的运动，下列说法错误的是(　　)

A．汽车的初速度为4 m/s

B．汽车的加速度大小为0.5 m/s2

C．汽车在第4 s末的速度为2 m/s

D．汽车前10 s内的位移为15 m

解析：选D　由题图可知，初始时速度的平方为16 m2/s2，则汽车的初速度v0＝4 m/s，A项正确；v2与x的关系式为v2－42＝－x，与公式v2－v＝2ax对比，可知汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－0.5 m/s2，B项正确；由v＝v0＋at，可得汽车在第4 s末的速度为v4＝4 m/s－0.5×4 m/s＝2 m/s，C项正确；因＝8 s，则知第8 s末汽车停止，汽车前10 s内的位移x＝＝16 m，D项错误。

3.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示。取物体开始运动的方向为正方向，则选项图中关于物体运动的v ­t图像正确的是(　　)

解析：选C　根据题图图像可得，0～1 s内物体做匀加速直线运动，速度v＝at＝t，速度为正方向，选项D错；第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此物体做匀减速直线运动，v′＝1 m/s－a(t－1)，第2 s 末，速度减小为0，选项B错；2～3 s内加速度为正值，初速度为0，物体沿正方向做匀加速直线运动，v＝a(t－2)＝t－2，即从第2 s末开始重复前面的运动，图像如C，选项C对，A错。

命题视角三　追及相遇问题

1．一个条件、两个关系

2.三种常见的情景

假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情景：

(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

(2)要使A、B恰好不相撞，A、B同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

(3)若使A、B保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。

3．解题思路和方法

⇒⇒⇒

[典例]　(2021·银川月考)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。

(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？

(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。

[解析]　(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，

总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。

(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，

设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，

则有v0－aΔt＝v1，

解得Δt＝2.8 s，

出租车的位移为x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt，

代入数据可解得x1＝116.4 m。

电动车的位移为x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m，

因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。

设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有

v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)，

代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。

[答案]　(1)120 m　(2)电动车会被撞　刹车后经过0.6 s二者相撞

[集训冲关]

1．(2021·东营模拟)(多选)物体A以10 m/s的速度做匀速直线运动。物体A出发后5 s，物体B从同一地点由静止出发，做匀加速直线运动，加速度大小是2 m/s2，且A、B运动方向相同。则(　　)

A．物体B追上物体A所用的时间为5 s

B．物体B追上物体A所用的时间为(5＋5)s

C．物体B追上物体A前，两者的最大距离为75 m

D．物体B追上物体A前，两者的最大距离为50 m

解析：选BC　设物体B出发后经时间t追上物体A，则：xA＝xB，vA(t＋5)＝at2，解得t＝(5＋5)s，物体B追上物体A所用的时间为(5＋5)s，故A错误，B正确；相遇前相距最大距离时vA＝vB，用时为Δt，则2Δt＝10，解得Δt＝5 s，则xA＝vA(5＋Δt)＝10×(5＋5)m＝100 m，xB＝aΔt2＝×2×52 m＝25 m，故Δx＝xA－xB＝75 m，故C正确，D错误。

2．甲、乙两辆汽车沿平直公路同向匀速行驶，甲车在乙车前面，它们之间相距s＝40 m，速度均为v0＝10 m/s。某时刻，甲车刹车做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2。从此时刻起，求：

(1)甲车经过多长时间停止运动？

(2)当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为多大？

(3)经多长时间乙车追上甲车？

解析：(1)甲车刹车到停止的时间

t＝＝ s＝2 s。

(2)甲车静止时，甲车的位移x1＝＝10 m，

乙车的位移x2＝v0t＝10×2 m＝20 m，

甲、乙两车之间的距离

Δx＝x1＋s－x2＝10 m＋40 m－20 m＝30 m。

(3)甲车停止后，需继续追及的时间t′＝＝ s＝3 s，

则t总＝t＋t′＝2 s＋3 s＝5 s。

答案：(1)2 s　(2)30 m　(3)5 s

3．一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：

(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？

(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？

解析：(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m

在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t′＝10 m

从汽车刹车开始计时，

自行车的位移为：x自＝v自t

汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2

假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′

代入数据整理得：at2－10t＋10＝0

要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a≤0

解得：a≥5 m/s2。

汽车的加速度至少为5 m/s2。

(2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′

整理得：t2－10t＋10＝0

要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a′－80≤0

解得：a′≥1 m/s2。

自行车的加速度至少为1 m/s2。

答案：(1)5 m/s2　(2)1 m/s2

命题视角四　应用图像解决追及相遇问题

题型1　x­t图像——“交点”为相遇点

1.A、B两小车在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知A车的x­t图像为抛物线的一部分，第7 s 末位移有最大值，B车的x­t图像为直线，则下列说法正确的是(　　)

A．A车的初速度为7 m/s

B．A车的加速度大小为2 m/s2

C．A车减速过程中运动的位移大小为50 m

D．10 s末两车相遇时，B车的速度较大

解析：选B　A车的x­t图像为抛物线的一部分，故A车做匀变速直线运动，设A车的初速度为v0，加速度大小为a，由题图可知t＝7 s时，A车的速度为零，故v7＝v0－7a＝0，t＝10 s 时A车的位移为x10＝40 m－0＝40 m，x10＝v0t10－at＝10v0－50a(以上各物理量的单位均为国际单位制单位)，联立解得a＝2 m/s2，v0＝14 m/s，选项B正确，A错误。0～7 s内，A车做匀减速运动，位移大小为x7＝t7＝×7 m＝49 m，选项C错误。位移—时间图像的斜率表示速度，10 s末两车相遇时，B车的速度大小为vB＝＝4 m/s，A车的速度为vA＝v0－at10＝－6 m/s，A车的速度较大，选项D错误。

2.甲、乙两人同时同地骑自行车出发做直线运动，前1 h内的x­t图像如图所示，下列表述正确的是(　　)

A．0.2～0.5 h内，甲的速度比乙的小

B．0.2～0.5 h内，甲的加速度比乙的大

C．0.6～0.8 h内，甲的位移比乙的小

D．0.8 h时，甲追上乙

解析：选D　x­t图像的斜率表示速度，0.2～0.5 h内，甲的斜率大，则甲的速度比乙的大，故A错误。由题图知，0.2～0.5 h内，甲、乙都做匀速直线运动，加速度均为零，故B错误。物体的位移等于x的变化量，则知0.6～0.8 h内，甲的位移比乙的大，故C错误。0.8 h时，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正确。

题型2　v­t图像——从图像上看“相遇”或“临界”条件

1.(多选)两个质点甲和乙，同时由同一地点沿同一方向做直线运动，它们的速度—时间图像如图所示。则(　　)

A．甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动

B．乙的加速度大小是5 m/s2

C．第4 s末时刻，乙追上甲

D．在第2 s内，乙的平均速度等于甲的速度的一半

解析：选ABC　v­t图像中，与时间轴平行的直线表示做匀速直线运动，倾斜的直线表示匀变速直线运动，故A正确。v­t图像的斜率表示加速度，则a＝＝m/s2＝5 m/s2，故B正确。在第4 s末乙对应的速度为v＝20 m/s，则乙的位移：x乙＝×4×20 m＝40 m，甲的位移x甲＝4×10 m＝40 m，位移相等两者相遇，故C正确。甲做匀速直线运动速度不变为v＝10 m/s，乙做匀加速直线运动，在第2 s内，平均速度为＝ m/s＝7.5 m/s，两者不是二倍的关系，故D错误。

2.如图所示为甲、乙两物体从同一地点沿同一方向开始做直线运动的v­t图像。图中t1＝t2，则在0～t2的运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻，甲的位移是乙的位移的1.5倍

B．甲的加速度大小是乙的加速度大小的1.5倍

C．在t2时刻，甲与乙相遇

D．在到达t2时刻之前，乙一直在甲的前面

解析：选C　由题图可知，在t1时刻，乙的速度为v0，此时甲的位移为t1，乙的位移为t1＝v0t1，甲的位移是乙的位移的2倍，故A错误；甲的加速度大小为a甲＝，乙的加速度大小为，由t1＝t2，则a甲＝2a乙，故B错误；由于在t2时刻，甲、乙的位移相等，即此时乙刚好追上甲，故C正确；相遇前甲一直在乙的前面，故D错误。