数学九年级上册4 探索三角形相似的条件随堂练习题

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2021-2022北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》优生辅导训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　                　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．2．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝　              　．3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　                　．4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　     　；AF的长为　     　．5．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　                　．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　                　．7．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　    　s时△APR∽△PRQ．8．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝　                　时，△ADE与△CMN相似．9．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长． 13．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．14．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．15．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．17．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．18．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．19．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．20．如图，AD、CE是△ABC的高，AD与CE相交于点F，连接ED．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）求证：△ABC∽△DBE． 21．如图所示，已知∠ABD＝∠ACD，求证：△AOD与△BOC相似．22．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．
参考答案1．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当＝时，即＝，解得：t＝；②当＝时，即＝，解得：t＝；综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．2．解：当，△ADE∽△ABC时，＝此时AE＝＝＝；故答案为：．3．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝8，∴CE＝8﹣BE，当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，故答案是：或．4．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC． （2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故答案为：．5．解：∵∠C＝∠BCD，∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．6．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，①若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝2，②若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝，综上所述，AE的长为2或．故答案为：2或．7．解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵QR∥BA∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°∴△CRQ为等边三角形∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t∵QR∥BA∴∠QRP＝∠APR若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°∴∠BPQ＝∠ARP又∵∠A＝∠B∴△APR∽△BQP∴＝∴＝解得t＝1.2故答案为1.2．8．解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+CM2＝4，解得：CM＝；②CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM＝．综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．故答案是：或．9．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解，BP＝28﹣＝16.8；当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，解得x1＝4，x2＝24，经检验，x＝4或24是分式方程的解，BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．10．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．×2x（8﹣x）＝×8×10×．解得x1＝x2＝4．答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：①＝，即＝，解得t＝；②＝，即＝．解得t＝．答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．11．解：（1）如图1中，点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA，∴，∴t＝，②当时，即，∴t＝2，当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．12．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当时，△ABE∽△CDE，即，解得x＝，当时，△ABE∽△EDC，即，整理得x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．13．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，∴∠ABE＝∠ACD又∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC∴∠DAC＝∠EAB∴△ABE∽△ACD．14．证明：∵AC2＝AD⋅AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．15．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°．∴∠AEB+∠ABE＝90°．∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∴∠ABE＝∠DEF．在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：∵△ABE∽△DEF，∴．∵△ABE∽△EBF，∴．∴．∴DE＝AE．∴点E为AD的中点．16．解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD； （2）证明：∵△BDE∽△CAD，∴∠BED＝∠CDA，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA即∠AED＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD．17．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE•DF＝7.5∴（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．18．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，在△ABD与△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，又∵∠ABC＝∠BAC，∴∠ABE＝∠EAF，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△BEA；（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，∴△ABD∽△BFD，∴，∴BD2＝AD•DF＝（AF+DF）•DF＝8，∴BD＝2．19．证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．20．（1）证明：∵AD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE．（2）证明：∵△ABD∽△CBE，∴＝，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBE．21．证明：∵∠ABO＝∠OCD，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴＝，∴＝，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC．22．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．