辽宁省朝阳市2021年中考数学一模试卷附答案

这是一份辽宁省朝阳市2021年中考数学一模试卷附答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


中考数学一模试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.2020的相反数是（  ）
A.   2020                               B.                                C.                                D. 
2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）
A.                   B.                   C.                   D. 
3.下列各运算中，计算正确的是（  ）
A. a2+2a2=3a4             B. a10÷a2=a5             C. （a﹣b）2=a2﹣b2             D. （﹣2a2）3=﹣8a6
4.如图是由7个大小相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是   

A.                         B.                         C.                         D. 
5.下列说法，错误的是（  ）
A. 为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
B. 一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根
C. 一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限
D. 正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍
6.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果 ，那么  2的度数是（     ）

A. 120°                                    B. 115°                                    C. 105°                                    D. 100°
7.为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：
月用水量（吨）
4
5
6
8
13
户数
4
5
7
3
1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（  ）
A. 中位数是5                           B. 平均数是5                           C. 众数是6                           D. 方差是6
8.如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧 的长度为（  ）

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
9.如图，点A在双曲线y═ （x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于 OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（   ）

A. 2                                     B.                                      C.                                      D. 
10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（  ）

A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
二、填空题（共6题；共7分）
11.港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35．578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币．720亿用科学记数法可表示为________元．
12.因式分解： ________.
13.不等式组 的解集是________.
14.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有________个.
15.如图，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，再将△CDN沿DN折叠．使点C恰好落在MN上的点F处．若MN＝5，则AD的长为________．

16.如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1 ， △P2A1A2 ， △P3A2A3 ， …都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2 ， P3 ， …均在直线 上．设△P1OA1 ， △P2A1A2 ， △P3A2A3 ， …的面积分别为S1 ， S2 ， S3 ， …，依据图形所反映的规律，Sn＝________．

三、解答题（共9题；共81分）
17.先化简，再求值： ，其中a= ﹣2sin60°+（π﹣3）0+（﹣ ）﹣1 ．
18.某单位在疫情期间用 元购进 两种口罩 个，购买 种口罩与购买 种口罩的费用相同，且 种口罩的单价是 种口罩单价的 倍.
（1）求 两种口罩的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过 元的资金再次购进 两种口罩共 个，已知 两种口罩的进价不变，求 种口罩最多能购买多少个？
19.某校为了解学生安全意识强弱，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查．将调查结果汇总分析，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查一共抽取了________名学生，将条形统计图补充完整；
（2）求扇形统计图中，“较强”层次所占扇形的圆心角度数；
（3）若该校有1900名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要接受强化安全教育的学生人数．
20.一个不透明的口袋里装着分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀．
（1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为________；
（2）从中任取一球，将球上的数字记为x，然后再从剩余的球中任取一球，将球上的数字记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能的结果，并求点（x，y）在反比例函数 图象上的概率．
21.西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为30°，然后向教学楼正方向走了5米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°，已知教学楼高BM＝16米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（结果保留根号）

22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE.

（1）求证：DF是⊙O的切线.
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长.
23.每年九月开学前后是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了 天的销售数量和销售单价，其中销售单价 （元/个）与时间第 天（ 为整数）的数量关系如图所示，日销量 （个）与时间第 天（ 为整数）的函数关系式为:

（1）直接写出 与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
（2）设日销售额为 （元） ，求 （元）关于 （天）的函数解析式;在这 天中，哪一天销售额 （元）达到最大，最大销售额是多少元；
（3）由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于 元，文具盒专柜将亏损，直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态
24.如图1所示，边长为4的正方形 与边长为 的正方形 的顶点 重合，点 在对角线 上．

（1）（问题发现）
如图1所示， 与 的数量关系为________；
（2）（类比探究）
如图2所示，将正方形 绕点 旋转，旋转角为 ，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
（3）（拓展延伸）
若点 为 的中点，且在正方形 的旋转过程中，有点 、 、 在一条直线上，直接写出此时线段 的长度为________
25.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；
（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：2020的相反数是-2020；
故答案为：B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2.【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断即可.
3.【解析】【解答】A、a2+2a2=3a2 ， 故此选项不符合题意；
B、a10÷a2=a8 ， 故此选项不符合题意；
C、（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，故此选项不符合题意；
D、（﹣2a2）3=﹣8a6 ， 符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方分别进行计算，然后判断即可.
4.【解析】【解答】从左边看第一层是两个小正方形，第二、三层左边一个小正方形．
故答案为：C．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
5.【解析】【解答】A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；
B、一元二次方程 中， ，方程有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；
C、一次函数 的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；
D、正六边形每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ，则正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据调查方式的选择、根的判别式、一次函数的图象及正方形的性质分别进行判断即可.
6.【解析】【解答】如图，

根据题意可得：∠3=90°－25°=65°，根据平行线的性质可得：∠2+∠3=180°，则∠2=180°－65°=115°，故答案为：B．
【分析】根据平角的定义首先求出∠3的度数，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可得出答案。
7.【解析】【解答】解：A、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2＝6，故本选项不符合题意；
B、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项不符合题意；
C、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项符合题意；
D、方差是：S2＝ [4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，据此计算即可；
B、利用这组数据中所有数据之和再除以数据的个数所得的商，即得平均数；
C、 众数：是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可；
D、根据方差公式先计算，然后判断即可.
8.【解析】【解答】连接OB，

∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴劣弧 的长为 π，
故答案为：D．
【分析】连接OB，根据菱形的性质求出△OBC是等边三角形，求得∠COB＝60°，利用弧长公式计算即得.
9.【解析】【解答】解：如图，设OA交CF于K．

由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF= ，
∴AK=OK= ，
∴OA= ，
由△FOC∽△OBA，可得
，
∴ ，
∴OB= ，AB= ，
∴A（ ， ），
∴k= ．
故答案为：B．
【分析】如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，故OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，利用勾股定理算出CF，根据面积法得出OK,的长，进而得出OA的长，由△FOC∽△OBA，可得根据比例式即可得出OB,AB,的长，从而得出A点的坐标，利用待定系数法即可求出k的值。
10.【解析】【解答】∵抛物线开口向下，则 a＜0．
对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵抛物线的对称轴是直线 x=1，则 =1，b=﹣2a，
∴2a+b=0，故②符合题意；
由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在 x=﹣1 时，y＜0，故③不符合题意；
当 x=﹣1 时，有 y=a﹣b+c＜0，故④符合题意；
由 2a+b=0，得 a=﹣ ，代入a﹣b+c＜0得﹣ +c＜0，两边乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤不符合题意．
综上，正确的选项有：①②④．
所以符合题意结论的个数是3个．
故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向下，则 a＜0．由对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b＞0．由抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0，据此判断①；由抛物线的对称轴是直线 x=1，则 =1，据此判断②；由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，据此判断③；当 x=﹣1 时，有 y=a﹣b+c＜0，据此判断④；由 2a+b=0及y=a﹣b+c＜0进行判断⑤即可.
二、填空题
11.【解析】【解答】720亿＝72000000000＝
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
12.【解析】【解答】原式
【分析】先提公因式-a，再用平方差公式分解因式即可.
13.【解析】【解答】解：由不等式 可得 ；
由不等式 可得 ；
故不等式组的解集是
故答案为： .
【分析】根据一元一次不等式组的解法求解即可．
14.【解析】【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得： ，
解得：x＝7，
经检验：x＝7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7.
【分析】设袋中红球有x个，根据袋中红色小球的数量比上袋中小球的总数量等于从袋中随机摸出一个小球是红色小球的频率，列出方程，求解并检验即可.
15.【解析】【解答】解：由折叠可知：
点B与点D重合，
∴∠EDN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDM+∠MDN＝∠CDN+∠MDN ，
∴∠EDM＝∠CDN ，
∵∠E＝∠C＝90°，
DE＝DC ，
∴△DEM≌△DCN（ASA），
∴DM＝DN ，
由折叠，
∠BNM＝∠DNM ， ∠DNC＝∠DNM ，
∴∠BNM＝∠DNM＝∠DNC＝ 180°＝60°，
∴△DMN是等边三角形，
∴DM＝MN＝5，
点C恰好落在MN上的点F处可知：
∠DFN＝90°，即DF⊥MN ，
∴MF＝NF＝ MN＝ ，
∴CN＝ME＝AM＝ ，
∴AD＝AM+DM＝ ．
故答案为 ．
【分析】根据ASA可证△DEM≌△DCN，由折叠的性质可得∠BNM＝∠DNM，∠DNC＝∠DNM，从而可得∠BNM＝∠DNM＝∠DNC＝ 180°＝60°，即证△DMN是等边三角形，可得DM＝MN＝5，由点C恰好落在MN上的点F处可知DF⊥MN，继而得出MF＝NF＝ MN＝ ，由AD＝AM+DM即可求出结论.
16.【解析】【解答】如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，

∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设A1D=a，则P2D=a，
∴OD=6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y=- x+4，得：- （6+a）+4=a，
解得：a= ，
∴A1A2=2a=3，P2D= ，
同理求得P3E= 、A2A3= ，
∵ 、……
∴Sn= （或 ）．
故答案为 （或 ）．
【分析】分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，先根据等腰三角形直接三角形的性质求出前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，利用三角形的面积公式分别求出三角形的面积，利用其结果求出面积规律即可.
三、解答题
17.【解析】【分析】根据分式的混合运算将原式化简，再利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、0指数幂及负整数幂的性质求出a值，最后代入计算即可.
18.【解析】【分析】（1）设B口罩的单价为x元/个，则A口罩单价为1.2x元/个， 利用购进  两种口罩  个， 列出方程，求解并检验即可；
（2）设购进A口罩m个，则购进B口罩（2600−m）个，根据AB两种口罩的费用≤7000，列出不等式，求出解集即得.
19.【解析】【解答】解：（1）这次共抽取了90÷45%＝200名学生，具有“较强”意识的学生有200－20－30－90＝60（人）．
补全条形统计图如解图所示：

【分析】（1）利用“很强”意识的人数除以其百分比即得抽取的总人数，利用抽查总人数分别减去另外三类人数即得“较强”意识的学生人数，利用数据补图即可；
（2） 利用360°乘以“较强”人数的百分比，即得“较强”层次所占扇形圆心角度数；
（3）利用1900乘以 “淡薄”与“一般”的学生所占百分比之和即得结论.
20.【解析】【解答】解：（1）共有四个数，其中两个负数，则抽取的数字恰好为负数的概率为 ；
故答案为：
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2） 利用列表法列举出共有12种等可能出现的结果，其中点（x，y）在反比例函数  图象上的有4种， 然后利用概率公式计算即可.
21.【解析】【分析】 过点C作CG⊥AM于G，可得矩形CDMG和矩形EFMG，得出MG＝CD＝EF＝1 （米），从而求出GB=15米，设AB为x，可得EG＝AG＝15+x，CG＝20+x，在 Rt△CBG中，由tan30°＝ ， 可得关于x的方程，求出x值即可.
22.【解析】【分析】（1）连接BD，根据90°的圆周角所对的弦是直径得BD是⊙O的直径，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BCE＝∠BDE，则∠BDE＋∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， 根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线结论得证；
（2）先利用勾股定理求出AC长，再根据含30°直角三角形的边之间的关系求DE长，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD长，在Rt△BED中利用勾股定理求出BE长，进而判断出△FDE∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式就可算出DF的长.
23.【解析】【解答】解：（1）当 时，设直线的表达式为
将 代入到表达式中得
 解得
∴当 时，直线的表达式为
∴ y＝ ，
【分析】（1）分段函数，当1≤x≤5时或当5＜x≤15时，利用待定系数法求解析式即可；
（2） 分三种情况，当1≤x≤5时或当5＜x≤9时或当9＜x≤15时，根据日销售额=销售单价×日销量，分别求出函数关系式，并根据二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最大值，然后比较即可；
（3）利用（2）中解析式，先判断出这三段内哪一段会出现亏损，然后由每天的营业额低于 1800元列不等式求解即可；
24.【解析】【解答】（1）AE= BF，理由如下：
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ，CE= CF， ，
∴ ，
∴ ，
∴AE= BF；
故答案为：AE= BF；
（3）分两种情况：①如图3所示：连接 交 于 ，

∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ，AC= AB=4 ，GF=CE= CF， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，GF=CE=2 ，GH=HF=HE=HC= ，
∴
∴AG=AH+HG= ；
②如图4所示：连接 交 于 ，

同①得：GH=HF=HE=HC= ，
∴ ，
∴AG=AH-HG= ；
故答案为： 或 ．
【分析】（1）先证出， 利用平行线分线段成比例定理得出， 从而得出结论；
（2） 连接   ， 如图2所示，证明， 可得 ， 从而求出结论；
（3）分两种情况：①如图3所示：连接 交 于 ，②如图4所示：连接 交 于 ，根据正方形的性质及勾股定理进行解答即可.
 
25.【解析】【分析】（1）设函数表达式为   ， 将C点坐标代入求出a值即可；
（2）当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，先求出直线AC的函数解析式，将m的横坐标代入解析式中求出纵坐标，即得结论；
（3） 连结AC， 利用勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， 由cos∠ADC= 即可求出结论；
（4） 根据平行四边形的判定定理画出图形，利用二函数图象上点的坐标特征解答即可.