数学九年级上册4.3 用公式法解一元二次方程精品课后复习题

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4.3用公式法解一元二次方程同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知是一元二次方程较大的根，则下面对的估计正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点旋转至边上的点处，点的对应点为点，的延长线恰好经过点，则的长为

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，将横纵坐标之积为的点称为“好点”，则函数的图象上的“好点”共有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且的面积为，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：因此，；按照这个规定，若，则的值是

A.  B. 或 C.  D. 或

6. 形如配方后可得：，欧几里得的原本记载了该方程的图解法：画，使，，，再在斜边上截取则该方程的一个正根是

A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长

7. 一元二次方程的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间   

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 方程的解，正确的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

【答案】

10. 如图，已知等腰三角形中，顶角，平分，则的值是

A.
B.
C.
D.

11. 方程的较小的根为，下面对的估值正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 已知是方程较大的根，则下面对的估计正确的是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在实数范围内因式分解：______．
14. 分解因式与多项式的乘法是互逆运算，利用一元二次方程的根，分解因式的结果是          ．
15. 一元二次方程的解是_________________．
16. 已知，则式子的值是______．
17. 当时，方程的解为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 当为何值时，关于的方程为一元二次方程？求出这个一元二次方程的解？
    
    
    
    
    
    
     
19. 用公式法解下列方程：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 用指定的方法解解下列方程：

    配方法  
 公式法






 

22. 计算：
    ；
    ；
    解方程组：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 计算：；

下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解方程：．

解：．

第一步

，第二步

第三步

，第四步

或第五步

第六步

任务一：

小颖解方程的方法是________；

A.直接开平方法       因式分解法            配方法                   公式法

解方程过程中第二步变形的依据是________；

任务二：请你用“公式法”解该方程．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用．
先求出方程的解，再求出

的范围，最后即可得出答案．
【解答】

解：解方程得，
是方程较大的根，

，
，，．
故选C．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握旋转的性质首先根据查旋转的性质和等腰三角形的性质得到，进而得到，然后证明∽，根据相似三角形的性质得到，，设，则，列出关于的方程，最后解方程即可求解．
【解答】
解：是由绕点顺时针旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
设，则，
，
，
解得，舍去负值，
．
故选B．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分及两种情况，找出关于的一元二次方程是解题的关键．分及两种情况，利用“好点”的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：当时，，
解得：不合题意，舍去，；
当时，，
解得：，．
函数的图象上的“好点”共有个．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】解：在中，令，得，
，
在一次函数的图象上，
，即，
，
的面积为，，
，即，
解得或舍去，
，
故选：．
由已知得，而在一次函数的图象上，可得，即，根据的面积为，可列方程，即可解得．
本题考查反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据的面积为列方程．
 

5.【答案】
 

【解析】解：若，即，则，解得负值舍去；
若，即，则，解得正值舍去；
故选：．
根据新定义分和列出方程，再分别求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查一元二次方程的解法公式法，勾股定理，解答此题的关键是根据勾股定理求出的长并根据方程的特点选择公式法解一元二次方程．首先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后利用求根公式得到方程的解，即可判断该方程的一个正根是的长．
【解答】
解：，，，
，
，
用求根公式求得：
，
，
的长就是方程的正根．
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】略
 

8.【答案】
 

【解析】解：解方程得：，，
即，
，
，
，
即，
故选：．
先求出方程的解，再估算出的范围，求出的范围，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程和估算无理数的大小，能求出方程的解是解此题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．套用求根公式求解可得．
【解答】
解：，，，
，
，
即，
故选B．  

10.【答案】
 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质．注意根据相似三角形的性质列出方程，求出比值；先证∽，根据相似三角形的性质得到：：，再根据等腰三角形的性质得到，等量转换后列出方程求出：的比值．
【解答】
解：假设，
等腰三角形中，顶角，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∽，
：：，
而等腰三角形的性质
设，那么，
：：，
舍负根，得到：，
．
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程解法和无理数的估算，先用公式法解这个方程找出其中较小的根，再根据无理数估算大小的方法进行估算即可求出正确的选项．
【解答】
解：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用．
先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【解答】

解：解方程得，
是方程较大的根，

，
，，．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】解：的解是，，
，
故答案为：，
当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．
本题考查实数范围内的因式分解，解一元二次方程，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：，其中，是方程的两个根．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了利用十字相乘法分解因式，和一元二次方程的解法，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
先解方程，得出方程的根，即可解答．
【解答】
解：


，

故答案为：  

15.【答案】，
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题关键．
直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】
解：
，
则，
故，
解得：，．  

16.【答案】
 

【解析】解：，



，
故答案为：．
把代入代数式，再进行化简即可．
本题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

17.【答案】．
 

【解析】解：当时，显然．
若，方程变为：，得，无解；
若，方程变为：，即．
此时，解得．
，
舍去，
即．
故答案为．
分类讨论：当时，显然若，方程变为：，此方程无解；若，方程变为：，即，利用求根公式解方程，然后取负根即可．
本题考查了一元二次方程为常数的求根公式：同时考查了绝对值的含义和分类讨论思想的运用．
 

18.【答案】解：关于的方程为一元二次方程，
，且，
解得：，
原方程可化为为：，
，
，．
 

【解析】要使关于的方程是一元二次方程，则且系数不为，先确定的值，然后求出一元二次方程的根．
本题主要考查的是一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
移项，得，
，
方程有两个实数根，，
解得：，．
 

【解析】移项后求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，；

方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
 

【解析】先求出的值，再代入公式求出即可；
方程两边都乘以得出，求出，再进行检验即可．
本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能熟记公式是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

21.【答案】




，
，．

，
，，，
，，
，．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
用配方法解答即可；
用公式法解答即可．
 

22.【答案】解：
；




；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是；

，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成，得．
 

【解析】根据多项式除以单项式法则求出答案即可；
先根据零指数幂，负整数指数幂，积的乘方进行计算，再求出答案即可；
根据得出，求出，再把代入求出即可；
去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，实数的混合运算，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
 

23.【答案】解：原式
．
任务一：；
等式的基本性质或等式两边同时或减同一个代数式，所得的结果仍是等式；
任务二：解方程
解方程：．
，，．
，
，
．
，．
 

【解析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，关键是熟练掌握零指数幂，负指数幂公式和公式法解一元二次方程．
先利用零指数幂公式，负指数幂的公式，二次根式的乘法计算，然后计算加减可得结果；
任务一根据解方程的方法可得解法；
根据变形结果可得依据；
任务二，利用公式法，先计算判别式，然后利用求根公式可得方程的解．