初中数学青岛版九年级上册4.5 一元二次方程的应用精品当堂达标检测题
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4.5一元二次方程根的判别式同步练习
青岛版初中数学九年级上册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为
A. B. 且 C. D. 且
- 一元二次方程的根的情况为
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
- 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例若为实数是关于的方程，则它的根的情况为
A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根
- 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根
- 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为
A. B. 且 C. D. 且
- 如果关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是
A. B. 且
C. D. 且
- 下列一元二次方程没有实数根的是
A. B.
C. D.
- 已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是
A. 无实数根
B. 有两个相等或不相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 有两个相等的实数根
- 使得方程有两个不相等实根，则的取值范围是
A. B. C. D.
- 若，，为的三边长，且，那么关于的方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
- 当时，关于的一元二次方程的根的情况为
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
- 若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是
A. B.
C. D. 大小关系不能确定
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 一元二次方程根的判别式的值为______．
- 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
- 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值是______ ．
- 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____________．
- 若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 已知关于的一元二次方程，
求证：无论实数取得何值，方程总有两个实数根；
若方程有一个根的平方等于，求的值．
- 已知关于的一元二次方程为常数．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根
若，是方程的两根，，判断，，所构成的三角形的形状，并说明理由．
- 关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
- 已知关于的方程有两个不相等实数根．
求的取值范围；
若是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
- 关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根
如果方程的两根相等，求此时方程的根．
- 已知关于的一元二次方程，
求证：不论为何值，方程总有两个实数根
若方程有一个根小于，求的取值范围．
- 已知：关于的方程．
试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
如果方程有一个根为，试求的值．
- 已知关于的方程
求证：无论取何值时，方程总有实数根；
若等腰的一边长为，另两边长恰好是方程的两个根，求的周长。
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，属于基础题．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】
解：方程可化成：，
关于的一元二次方程有实数根，
解得：且．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：，
，
方程没有实数根，
即一元二次方程的根的情况为没有实数根，
故选：．
根据根的判别式判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
3.【答案】
【解析】解：为实数是关于的方程，
，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
，
解得：，
故原方程中，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，属于基础题．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】
解：方程可化成：，
关于的一元二次方程有实数根，
解得：且．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先根据方程有两个不相等的实数根得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】
解：一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即，
解得且．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．分别求出每一个方程中判别式的值，根据的意义找出的方程即可．
【解答】解：．，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意
B.，方程没有实数根，此选项符合题意
C.，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意
D.，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系和一元二次方程的根的判别式．
首先由一次函数的图象经过第一、三、四象限，可知：，，求出的取值范围，再通过根的判别式来判断根的情况即可．
【解答】
解：的图象经过第一、三、四象限，
，，
，
则，
，
，
，
，
则方程有两个不相等的实数根．
9.【答案】
【解析】解：要使有意义，必须，
解得：，
方程有两个不相等实根，
，
解得：，
的取值范围是，
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出，根据根的判别式得出，求出，再求出答案即可．
本题考查了根的判别式，二次根式有意义的条件和解无理方程，能熟记根的判别式是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】，，为的三边长，且，
，
，
方程有两个相等的实数根．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的根
则有
故选：．
把代入原方程得到两边同乘以，移项，再两边同加上，就得到了．
本题主要应用了对方程转化，配方的方法，向已知条件进行转化的思想．
13.【答案】
【解析】解：一元二次方程根的判别式的值是：．
故答案为：．
直接利用根的判别式求出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
14.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，解得且．
故答案为：且．
先根据关于的一元二次方程有两个实数根得出，，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得且，即，
，
所以原式，
故答案为．
先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到且，则，再将代数式变形后把代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
16.【答案】且
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
解答此题根据关于的一元二次方程有两个实数根，可得，同时还要满足二次项系数不为，根据上述两点可得关于的不等式，解之即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
解得，
又，
，
的取值范围是且．
故答案为且．
17.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值、根的判别式以及整体代入法，熟练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式即可得出，将其代入中即可得出结论．
【解答】
解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
．
故答案为．
18.【答案】证明：，
，
所以无论实数取得何值，方程总有两个实数根；
解：方程有一个根的平方等于，
此根是，
当根是时，代入得：，
即，此时为任何数；
当根是时，，
解得：．
【解析】求出，再判断即可；
求出方程的根是，再代入方程，即可求出答案．
本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
19.【答案】证明：，
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
解：以，，为边所构成的三角形是直角三角形．
理由：由得：
，
，是方程的两个根
，或，
当，时：
即：
以，，为边所构成的三角形是直角三角形．
当，时：
即：
以，，为边所构成的三角形是直角三角形．
【解析】本题考查的是根的判别式及勾股定理的逆定理，熟记这些知识是解答此题的关键．
通过判别式求解；
解关于的一元二次方程得，因为，为方程的两个根，所以，或，，再根据、、三者之间的关系判断三角形的形状即可．
20.【答案】 解：证明：依题意，得．
，
方程总有两个实数根．
由求根公式，得，
，．
方程有一个根小于，
，
，
即的取值范围是．
【解析】本题考查的知识点是根的判别式和公式法解一元二次方程，用好根的判别式是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用公式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，解得，
的取值范围为；
由知：，
的最大整数为，则方程为：，
，
，．
【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程两个不相等的实数根；当，方程两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到的范围；
在中的范围内可得到的最大整数为，则方程变为，然后利用因式分解法解方程即可．
22.【答案】证明： ，方程总有两个实数根．
如果方程的两根相等，那么，解得此时方程为，即，解得．
【解析】见答案
23.【答案】解：证明：依题意，得．
，
方程总有两个实数根．
由求根公式，得，
，．
方程有一个根小于，
，，
即的取值范围是．
【解析】本题考查的知识点是根的判别式和公式法解一元二次方程，用好根的判别式是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用公式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
24.【答案】解：，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
因为方程有一个根为，
所以，即，
所以．
【解析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根的定义，求代数式的值，解题的关键是记住判别式，有两个不相等实数根，有两个相等实数根，没有实数根，属于中考常考题型．
由可得答案；
将代入方程得，整体代入原式计算可得．
25.【答案】证明：
，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
解：，
所以，，
即三角形的另两边长为和，
当时，，不符合三角形三边的关系，
当时，的周长为，
所以的周长为．
【解析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．
先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
依题意有，求出方程的解，分两种情况：，，计算三角形周长．
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