山东省实验中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学【试卷+答案】

这是一份山东省实验中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学【试卷+答案】，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省实验中学高二（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单项选择题：共8小题，每小题6分，共48分.
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，﹣2，4）关于y轴对称的点为（　　）
A．（﹣1，﹣2，﹣4） B．（﹣1，﹣2，4） C．（1，2，﹣4） D．（1，2，4）
2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（　　）
A． B． C．9 D．
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
4．已知三棱锥A﹣BCD的各棱长均为1，且E是BC的中点，则•＝（　　）
A． B． C． D．﹣
5．若直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0和直线l2：6x+ay+2＝0平行，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2或3 C．3 D．不存在
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为（　　）

A．1 B． C． D．
8．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）
A．[，1） B．[，1] C．（，1） D．[，1）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知向量，，，下列等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为＝
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）

A．
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
12．已知三棱锥A﹣BCD的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，AB⊥平面BCD，CD＝2AB＝2BC＝4，AD＝2，则下列说法中正确的是（　　）
A．CD⊥平面ABC
B．球O的体积是
C．直线BD与平面ABC所成角的正弦值是
D．平面BMN被球O所截的截面面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分.
13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为　 　．
14．已知向量＝（1，2，2），＝（﹣2，1，1），则向量在向量上的投影向量的坐标为 　 　．
15．已知点A（2，﹣1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为 　 　．
16．设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，1），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．
18．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M﹣EC﹣F的余弦值，若不存在，说明理由．



参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，﹣2，4）关于y轴对称的点为（　　）
A．（﹣1，﹣2，﹣4） B．（﹣1，﹣2，4） C．（1，2，﹣4） D．（1，2，4）
【分析】空间直角坐标系中，点关于y轴对称，则y值不变，x和z的值改变符号．
解：空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，﹣2，4）关于y轴对称的点为P′（﹣1，﹣2，﹣4）．
故选：A．
2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（　　）
A． B． C．9 D．
【分析】根据题目中所给的两个点的坐标，把点的坐标代入求两点之间的距离的公式，进行式子的加减和平方运算，得到结果．
解：∵A（﹣3，4，0），B（2，﹣1，6）
∴代入两点间的距离公式可得：|AB|＝＝
故选：D．
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意画出图形，取BC的中点F，连接A1F，可得四边形A1D1EF为平行四边形，则A1F∥D1E且A1F＝D1E，用表示即可．
解：如图，

取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥EF，且A1D1＝EF，
∴四边形A1D1EF为平行四边形，则A1F∥D1E且A1F＝D1E，
∴，又，
∴＝．
故选：B．
4．已知三棱锥A﹣BCD的各棱长均为1，且E是BC的中点，则•＝（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】先求出DE的长，再根据向量的三角形法则把•转化为；再结合数量积计算公式即可得到结论．
解：在△BDC中，得DE＝
∵＝＝＝
＝||•||cos∠ADC﹣||•||cos∠EDC
＝1×1×﹣1××
＝﹣．
故选：D．
5．若直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0和直线l2：6x+ay+2＝0平行，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣2或3 C．3 D．不存在
【分析】由（a﹣1）a﹣6＝0，即a2﹣a﹣6＝0，解得a．经过验证即可得出．
解：由（a﹣1）a﹣6＝0，即a2﹣a﹣6＝0，解得a＝3或﹣2．
经过验证：a＝﹣2时两条直线重合，舍去．
∴a＝3．
故选：C．
6．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
解：以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设BC＝1，则B（0，1，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），B1（0，1，2），
，，
cos＜＞＝，
故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为．
故选：A．
7．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BQD的法向量，由向量法的点到直线的距离公式求解即可．
解：由题意，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则B（3，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），Q（0，0，1），
所以，
设平面BQD的法向量为，
则，即，
令x＝4，则y＝3，z＝12，
故，
所以点P到平面BQD的距离为＝．
故选：D．

8．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（　　）
A．[，1） B．[，1] C．（，1） D．[，1）
【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），
G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1＝0，
x∈（0，1），y＝∈（0，），
DF＝＝
当y＝时，线段DF长度的最小值是
当y＝0时，线段DF长度的最大值是 1
而不包括端点，故y＝1不能取；
故选：A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知向量，，，下列等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据条件可得出＝0，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
解：，∴，
A．（•）＝（0，0，0），，∴该等式错误；
B.，，∴该等式正确；
C.，∴该等式正确；
D.＝，＝＝，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
10．下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为＝
D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0
【分析】求出截距得到三角形的面积判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；直线的两点式方程判断C 的正误，利用截距相等判断D 的正误．
解：直线x﹣y﹣2＝0在两坐标轴上的截距分别为：2，﹣2，与坐标轴围成的三角形的面积是：2＝2，所以A正确；
点（0，2）与（1，1）的中点坐标（，）满足直线方程y＝x+1，并且两点的斜率为：﹣1，所以点（0，2）关于直线y＝x+1的对称点为（1，1），所以B正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为，所以C不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或y＝x，所以D不正确；
故选：AB．
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）

A．
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
解：对于A，＝++＝++，
＝+++2•+2•+2•
＝36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°
＝216，
所以||＝6，即AC1＝6，选项A正确；
对于B，•＝（++）•（﹣）
＝•++•﹣﹣•﹣•
＝6×6×cos60°+36+6×6×cos60°﹣36﹣6×6×cos60°﹣6×6×cos60°
＝0，
所以⊥，即C1⊥DB，选项B正确；
对于C，向量与的夹角是180°﹣60°＝120°，
所以向量与的夹角也是120°，选项C错误；
对于D，由＝+﹣，＝+，
得||＝
＝
＝6，
||＝＝＝6，
•＝（+﹣）•（+）
＝•+•﹣++•﹣•
＝18+18﹣36+36+18﹣18＝36，
所以cos＜，＞＝＝＝，所以选项D错误．
故选：AB．
12．已知三棱锥A﹣BCD的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，AB⊥平面BCD，CD＝2AB＝2BC＝4，AD＝2，则下列说法中正确的是（　　）
A．CD⊥平面ABC
B．球O的体积是
C．直线BD与平面ABC所成角的正弦值是
D．平面BMN被球O所截的截面面积是
【分析】由题意作图，根据条件得到AB⊥BC，PA⊥BC，再由线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PAB；
三棱锥P﹣ABC可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得，再求出球O的体积即可；
可判断直线AC与平面PAB所成角的平面角为∠CAB，然后求出直线AC与平面PAB所成角的正弦值即可；
由等体积法求得点O到平面ADE的距离h，得到平面ADE被球O所截的截面圆的半径，再求出平面ADE被球O所截的截面积即可．
解：在Rt△PAC中，A＝2B，AD＝2，则BD＝＝2，
又∵BC＝2，CD＝4，∴△DBC为直角三角形，∴CB⊥CD，
又∵BA⊥平面DBC，∴AB⊥CD，∴CD⊥平面CAB，故A正确；
结合结论（1）知，三棱锥A﹣BCD可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得，
故球O的直径为＝2，
故球O的体积V＝•π•R3＝•π•（）3＝8π，故B正确；
由图可知，直线BD与平面CAB所成角的平面角为∠DBC，
sin∠DBC＝＝，故C错误；
在Rt△PAB中，BD＝AC＝，在△PBC中，DE＝AD＝，
在Rt△DAE中，S△BDE＝××＝，S△BOE＝S△ACD＝××2×4＝，
设点O到平面BDE的距离为h，则×S△DOE×BD＝×S△DBE×h，解得h＝，
故平面ADE被球O所截的截面圆的半径r＝＝，
故平面ADE被球O所截的截面积是S＝π＝，故D正确；
故选：ABD．


三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分.
13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为　x﹣2y+3＝0　．
【分析】直接利用直线的垂直的充要条件和定义性问题的应用求出结果．
解：由题意知：线段AB的中点M（1，2）所以kAB＝﹣2，
所以线段AB的垂直平分线为y﹣2＝，即x﹣2y+3＝0．
由于AC＝BC，所以△ABC的重心，外心垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线方程为x﹣2y+3＝0．
故答案为：x﹣2y+3＝0．
14．已知向量＝（1，2，2），＝（﹣2，1，1），则向量在向量上的投影向量的坐标为 　　．
【分析】由已知求得向量在向量上的投影，设向量在向量上的投影向量为，则（λ＞0）且，由向量的模列式求解λ值，则答案可求．
解：∵＝（1，2，2），＝（﹣2，1，1），
∴，
∴向量在向量上的投影为，
设向量在向量上的投影向量为，则（λ＞0）且．
∴，则，解得．
∴．
故答案为：．
15．已知点A（2，﹣1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为 　[0，]∪[，π）　．
【分析】设直线AB的倾斜角为α，由点A，B的坐标求出直线AB的斜率k，结合m的范围可得k的斜率，即tanα的范围，再利用正切函数的性质即可求出α的取值范围．
解：设直线AB的倾斜角为α，
∵点A（2，﹣1），B（3，m），
∴直线AB的斜率k＝＝m+1，
又∵，
∴m+1∈，
即k的取值范围为，
即tanα∈，又∵α∈[0，π），
∴α∈[0，]∪[，π），
故答案为：[0，]∪[，π）．
16．设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是　（，1）　．
【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．
解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）
∴＝（1，1，﹣1），∴＝（λ，λ，﹣λ），
∴＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）
＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0
∴
∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（，1）
故答案为：（，1）

四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，1），B（﹣2，3），C（﹣3，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．
【分析】（1）直线BC的直线方程为y＝kx+b，将点B，C坐标代入即可求出k，b的值，从而得到直线BC的方程．
（2）由两直线垂直时的斜率公式求出直线AD的斜率，再利用点斜式即可求出直线AD的方程．
解：（1）设直线BC的直线方程为y＝kx+b，
将点B（﹣2，3），C（﹣3，0）代入，可得，
解得，
∴直线BC方程为y＝3x+9，即3x﹣y+9＝0．
（2）∵AD为直线BC的高，
∴AD⊥BC，
∴kAD＝﹣＝﹣，
设直线AD的方程为y＝﹣x+m，将点A（2，1）代入，
解得m＝，
∴直线AD的方程为y＝﹣x+，即x+3y﹣5＝0．
18．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；
（2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M﹣EC﹣F的余弦值，若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则DO∥MN，证得线面平行；
（2）取AE 中点H，以H为原点建立空间坐标系，设AM＝t，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角M﹣EC﹣F的两个面的法向量，利用公式求解即可．
解：（1）延长FM交EA的延长线于O，
∵M为AB中点，AE∥BF，
∴M为OF中点，
又AB∥EF，
∴A为OE中点，
连接DF交CE于N，
则DO∥MN，
又DO⊄平面EMC，MN⊂平面EMC，
∴DO∥平面EMC；
（2）取AE中点H，
由题意可知，EF⊥平面DEA，EF⊥平面CFB，
∴∠DEA＝∠CFB＝60°，
∴△DEA与△CFB是全等的正三角形，
以H为原点建立空间坐标系如图，
设AM＝t，
则D（0，0，），M（1，t，0），E（﹣1，0，0），
C（0，4，），
∴，，，
设是平面EMC的法向量，
则，
，
取y＝1，得，
∵直线DE与平面EMC所成的角为60°，
∴sin60°＝||
∴＝||
得
得4＝，
得t2﹣4t+3＝0，
解得t＝1或t＝3．
故存在点M满足题意，AM＝1或AM＝3．
∴或，
DE中点G坐标为（），A（1，0，0），
得到平面EFCD的一个法向量，
设二面角M﹣EC﹣F的平面角为θ，
当AM＝1时，cosθ＝﹣||＝﹣；
当AM＝3时，cosθ＝||＝．
综上，存在点M，当AM＝1时，二面角M﹣EC﹣F的余弦值为﹣；
当AM＝3时，二面角M﹣EC﹣F的余弦值为．