第30讲-复数（解析版）学案

这是一份第30讲-复数（解析版）学案，共21页。
第30讲-复数
一、 考情分析
1.通过方程的解，认识复数；
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
二、 知识梳理
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)

共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)

复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).
[微点提醒]
1.i的乘方具有周期性
in＝(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
三、 经典例题
考点一　复数的相关概念
【例1-1】（2020·江苏省马坝高中高二期中）为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】是纯虚数，
，即，故选C．
【例1-2】（2020·广东省高三二模（文））已知复数，i为虚数单位，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
【例1-3】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知复数，（为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】是纯虚数，
所以且，可得
【例1-4】（多选题）（2020·山东省高三开学考试）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数，则．
B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．
C．若复数，满足，则．
D．复数的虚部是3．
【答案】ABC
【解析】由，故A正确；
由在复平面内对应的点为，则，即，
则，故B正确；
设复数，则，所以，故C正确；
复数的虚部是-3，故D不正确.
【例1-5】（2020·上海高三专题练习）已知复数.当实数为何值时，复数为
(1)实数；(2)纯虚数；(3)零.
【解析】(1)为实数的充要条件是的虚部为0，即
，解得或，
所以当或时，为实数.
(2)为纯虚数的充要条件是的虚部不为0，而实部为0，即
，解得，
所以当时，为纯虚数.
(3)为零的充要条件是的实部与虚部同时为零，即
，解得，
所以当时，.
规律方法　1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

考点二　复数的几何意义
【例2-1】（2020·江西省江西师大附中高三三模（理））若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【解析】∵
又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，
∴，得﹣1＜a＜1．
∴实数a的值可以是0．
【例2-2】（2020·山西省高三其他（文））设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，∵，∴，
即，化简得．
【例2-3】（2020·湖北省高三月考（理））设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
因为，
所以，
经验证不满足，故选：D.
【例2-4】（2020·陕西省高二期末（文））复数的共轭复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意可知：
，
所以解得，
即实数a的取值范围是．
【例2-5】（2020·苏州大学附属中学高二月考）已知复数，其中为虚数单位.
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【解析】解：（1）∵复数是纯虚数，
∴，解得，故，
（2）∵复数在复平面内对应的点在第一象限
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
规律方法　1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

考点三　复数的运算
【例3-1】 （2020·汉中市龙岗学校高三其他（理））设是虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由于，
所以．
【例3-2】 （2020·吉林省高三其他（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
.
【例3-3】 （2020·陕西省高三三模（文））已知复数 （其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数
的共轭复数是.
【例3-4】 （2020·重庆南开中学高三其他（理））（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
【例3-5】 （2020·广西壮族自治区高三一模（文））（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
规律方法　复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.

[方法技巧]
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.
3.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
4.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.

四、 课时作业
1．（2020·辽宁省高三三模（文））已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D.
2．（2020·浙江省镇海中学高三其他）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，其虚部为．
3．（2020·巩义市教育科研培训中心高三其他（文））在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】的共轭复数为
对应点为，在第四象限，故选D.
4．（2020·福建省厦门一中高三其他（文））已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（ ）
A． B．复数z对应的点在第一象限
C． D．复数z的虚部与实部互为相反数
【答案】D
【解析】解：由，得，
所以复数z对应的点在第二象限，，实部为虚部为，
故选：D
5．（2020·陕西省高二期末（文））已知复数的实部为，虚部的绝对值为，则下列说法错误的是（ ）
A．是实数 B．
C． D．在复平面中所对应的点不可能在第三象限
【答案】B
【解析】复数的实部为，虚部的绝对值为，，
当时，对应的点在第四象限，
，
当时，对应的点在第一象限，
，
所以选项A，C，D正确，选项B错误.
故选：B.
6．（2020·陕西省高三其他（理））若是纯虛数，则在复平面内复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】为纯虚数，则，解得，
，
因此，复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
7．（2020·山西省高三其他（文））设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，∵，∴，
即，化简得．
8．（2020·湖北省高三月考（理））设复数满足，在复平面内对应的点为，则不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
因为，
所以，
经验证不满足，故选：D.
9．（2020·重庆巴蜀中学高二期中）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由，
得，
则，
∴复数在复平面内对应的点为，
∴复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.
10．（2020·重庆八中高三其他（理））（ ）
A． B．i C． D．
【答案】B
【解析】.
11．（2020·河南省高三三模（文））已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
12．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（文））复数的共轭复数是（ ）
A．i +2 B．i -2 C．-i -2 D．2 - i
【答案】B
【解析】，所以其共轭复数是．
13．（2020·河南省高三其他（文））已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
14．（2020·河南省高三其他（理））已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
15．（2020·辽宁省高三其他（理））已知复数为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为纯虚数，
，解得，根据
可得．
则．
16．（2020·四川省高三三模（理））复数z满足（4+3i）z＝3﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意，对应点为，在第四象限．
17．（2020·河南省高三三模（理））已知复数z＝，则＝（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
【答案】D
【解析】，
∴,故选：D.
18．（2020·甘肃省高三其他（文））在复平面内，表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由复数除法运算，可得


所以在复平面内对应点的坐标为，即位于第二象限
19．（2020·江西省南昌十中高三其他（文））复数z的共轭复数满足，则z＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．l+2i D．1﹣2i
【答案】A
【解析】由5，得，
∴z＝2+i.
20．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知复数，（为虚数单位），若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】是纯虚数，
所以且，可得
21．（2020·梅河口市第五中学高三其他（理））已知，若，则a=( )
A．1 B． C． D．5
【答案】A
【解析】，
∴，a＞0，解得.
22．（2020·陕西省高二期末（文））若复数，满足，，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数对应的点为，因为，所以，即，所以点的轨迹是一条直线．
复数对应的点为，因为表示点到定点的距离为2，所以点的轨迹表示以为圆心、半径为2的圆，
表示圆上一点到直线上一点的距离，最小值为．
23．（2020·上海曹杨二中高二期末）设复数是实系数方程的根，又为实数，则点的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】，
其虚部为，
又为实数，所以，
复数是实系数方程的根，
也是实系数方程的根，
所以，
所以，此时，
即点的轨迹在抛物线上.
24．（2020·上海曹杨二中高二期末）复数，，，，则（ ）
A．、、三数都不能比较大小 B．、、三数的大小关系不能确定
C． D．
【答案】C
【解析】，，，
，当且仅当时，取等号

25．（2020·河南省高三其他（理））在复平面内，复数的共轭复数对应的向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，复数，
则，共轭复数对应的向量，故选：A．
26．（多选题）（2020·山东省高三其他）已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．
D．的实部为
【答案】BCD
【解析】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；
当时，复数z是实数，故B选项正确；
，故C选项正确；
，的实部是，故D选项正确；
27．（多选题）（2020·山东省高三开学考试）已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数，则．
B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．
C．若复数，满足，则．
D．复数的虚部是3．
【答案】ABC
【解析】由，故A正确；
由在复平面内对应的点为，则，即，
则，故B正确；
设复数，则，所以，故C正确；
复数的虚部是-3，故D不正确.
28．（多选题）已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是( )
A．z12|z2|2 B． C．z1+z2∈R D．
【答案】BC
【解析】由题意，复数与是共轭虚数，设，
则，当时，由于复数不能比较大小，所以A不正确；
又由，，所以，所以B正确；
由，所以C正确；
由不一定是实数，所以D不一定正确.
29．（多选题）（2020·山东省高三其他）设复数，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】，，
，，
则，
所以，A选项错误，B选项正确，C选项正确，D选项正确.
30．（多选题）（2020·福建省高三月考（文））欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】AB
【解析】：，A对；，B对：
，C错；依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限；D错；
31．（2020·上海高三专题练习）已知复数，当为何实数时，复数是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.
【解析】（1）若复数为实数，则，解得或；
（2）若复数为虚数，则，解得且；
（3）若复数为纯虚数，则，解得；
（4）若复数在复平面内对应的点位于实轴的上方，则，解得或.
32．（2020·宁波市北仑中学高一期中）设是虚数，是实数，且．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
（2）若，求证：为纯虚数．
【解析】(1)解:设.则
,
因为.所以，又，所以.所以.
所以,
又,即.解得.
所以的实部的取值范围的取值范围为.
(2)证明:,
因为.所以,
所以为纯虚数.
33．（2020·全国高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

(1) 所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
【解析】(1) ，所以所表示的复数为－3－2i.
因为，所以所表示的复数为－3－2i.
(2) ，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3) ，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
34．（2020·全国高三课时练习）设复数满足.
（1）若满足，求.
（2）若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由，可得，
代入已知方程得，
即.令，
所以，
即，
所以，解得或.
所以或.
（2）由已知得，又，
所以，所以，
所以，
整理得，所以，
即，所以存在常数，使得等式恒成立.
35．（2020·上海高三专题练习）已知复数z=x+yi，w=x′+y′i，z0=1−mi(m>0)，z，w，z0满足w=z0z，|w|=2|z|．
（1）若z所对应点(x,y)在圆x2+y2−4x=0上，求w所对应点的轨迹；
（2）是否存在这样的直线l，z对应点在l上，w所对应点也在直线l上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为w=z0z，|w|=2|z|，所以z0=2，所以m=3．
由w=z0z，得x′+y′i=(1+3i)(x−yi)．
所以x−yi= x′+y′i1+3i=x′+3y′4+y′−3x′4i．
∴x=x′+3y′4，y=−y′+3x′4．
∵x2+y2−4x=0，
∴x′+3y′42+−y′+3x′42−4x′+3y′4=0．
化简，得x′2+y′2−4x′−43y′=0，
即x′−22+y′−232=16．
所以w所对应点的轨迹是以(2,23)为圆心，4为半径的圆；
（2）由x′+y′i=(1+3i)⋅(x−yi)，得x′=x+3y，y′=3x−y．
假设满足条件的直线l存在，则斜率存在，设为y=kx+b．
因为w对应点在l上，得y′=kx′+b，即3x−y=k(x+3y)+b．
∴y=3−k3k+1x−b3k+1．
所以3−k3k+1=k−b3k+1=b．解方程组，得b=0，k=−3,33，
所以这样的直线l存在且有两条y=−3x或y=33x．