一轮复习专题5.2 平面向量数量积及其应用（解析版）教案

这是一份一轮复习专题5.2 平面向量数量积及其应用（解析版）教案，共18页。教案主要包含了必备知识，题型训练，强化培优等内容，欢迎下载使用。
5.2平面向量的数量积及其应用一、必备知识：1．数量积的概念：已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于__________________________________．2．数量积的运算律及常用结论：(1)数量积的运算律：①交换律：_____________；②数乘结合律：_______________；③分配律：_____________．(2)常用结论：①(a±b)2＝________________；　 ②(a＋b)·(a－b)＝_____________；③ a2＋b2＝0⇔______________； ④|－|________＋.3．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则① e·a＝____________.② a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或＝____________.④ cosθ＝____________.⑤≤____________.4．数量积的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝________________；＝________________.② a⊥b⇔____________________.③≤________________________.自查自纠：1.cosθ　a·b　|a||b|cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c　(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④≤3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b|　|a|2　　　④　⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2　x＋y　　②x1x2＋y1y2＝0　③二、题型训练：题组一：1．已知向量，则的值为（　）A．-1        B．7         C．13            D．11【答案】B【详解】因为，所以应选．2．已知向量，则　　　　　。【答案】5【详解】因为，所以．3．已知向量，满足，，则 (    )A．  B．   C．    D．【答案】D【详解】，，则.题组二：4．在边长为的正三角形中，设，则    .【答案】-3【详解】5．已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于（    ）．A．1  　　B．2－    C．3      D．4－【答案】C【详解】，选C．6．已知向量满足，且与的夹角为60°，且，则＝（    ）A、2   B、－6   C、6   D、－2【答案】B【详解】，，故选B．题组三：7．在中，．点满足，则______,【答案】3【详解】根据题意，设,根据，可知，此时有．8．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）A、      B、      C、      D、【答案】B【详解】法一（坐标化）：由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，．法二（基底化）：9．在中，，，，点满足，则（  ）A．0 B．2 C． D．4【答案】A【详解】法一（基底化）：由题可得：，，所以由于，，，则，，所以，故答案选A法二（坐标化）：10．在如图的平面图形中，已知,则的值为（  ）A．             B．      C．              D．0【答案】C【详解】如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是       ．【答案】22【详解】，所以．12．已知向量，则=　　　　　　．【答案】9【详解】，又，所以课后巩固：13．已知向量，则（    ）A．     B．     C．      D．9【答案】D【详解】∵，∴，∴．14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，）的图象如图所示， 则·=（  ） A．8     B．-8      C．   D． 【答案】C【详解】根据题意有，所以有，从而求得，故选C．15．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）A、      B、      C、      D、【答案】B【详解】由，知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，．16．已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（    ） A．      B． C．       D．【答案】B【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,所以，故选B17．平行四边形中，，则（  ）A． B． C． D．【答案】B【详解】平行四边形ABCD中，，∴2，∵，∴，，则（）•（） ＝3故选：B．题组五：18．在边长为的菱形中，，则在方向上的投影为（   ）A．     B．    C．     D．【答案】C【详解】 在方向上的投影为；故选C．19．在中，，则在方向上的投影是（　　）A．4 B．－4 C．3 D．－3【答案】B【详解】△ ABC中，∵，∴ ，∴ ，∴ 又AB＝3，AC＝4，∴ 在方向上的投影是=＝﹣4；如图所示．故选：B．20．已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则＋在上的投影为  （     ）A．1       B．2      C．        D．【答案】B【详解】＋在上的投影为，选B．21．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为         。【答案】【详解】因为，，解得.所以在上的投影为.22．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得： ，则向量在向量方向上的投影为 .23．已知点，则向量在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，向量在方向上的投影为，故选A．24．设单位向量的夹角为，则向量在方向上的投影为_______．【答案】【详解】因为单位向量的夹角为，所以，所以，同理，，设向量与的夹角为，故向量在方向上的投影为.课后巩固：25．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】在上的投影为，故选：B.26．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】投影为.27．已知向量，则在方向上的射影为（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据投影的定义，得；向量在方向上的射影数量是m＝||•cosθ．故选：D．28．在中,则在方向上的投影为（    ）．A．4 B．3 C．-4 D．5【答案】C【详解】对等式两边平方得，，整理得，，则，，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，故选：C。29．在中，，的平分线AD交边BC于点D，已知，且，则在方向上的投影为(   )A．1     B．     C．3     D．【答案】D【详解】因为，如图设,因为,所以四边形为菱形；因为，，所以,即有;结合比例性质可得,所以;在方向上的投影为.故选：D.题组六：30．，是两个向量，，，且，则，的夹角为（   ）A．  B．       C．   D．【答案】C【详解】．31．若，是夹角为60°的两个单位向量，若＝2＋，＝－3＋2， 则与的夹角为　　.【答案】【详解】 ,,故,所以32．已知向量=（1，3）， =（-2，-6），||=，若（+）·=5，则与的夹角为（  ）   A．30°    B．45°     C．60°      D．120°【答案】D【详解】根据题意得，从而有，所以，所以与的夹角为，故选D．33．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．【答案】【详解】34．若满足，且，则=       ．【答案】6【详解】由得①，，两边平方得②，联立得，，．35.已知向量，，若向量满足与的夹角为，，则（   ）A．1    B．     C．2      D．【答案】D【详解】设向量，则，即，两式相加得，．故选D．36．已知平面向量＝,，若与垂直，则＝（     ）A．－1             B．1                 C．－2               D．2【答案】B【详解】与垂直37．已知，，且与夹角为，若，则　　　　．【答案】【详解】因为，所以，即，即，解得；故选．38．若向量则与一定满足（  ）.A．与的夹角等于   B．⊥    C．∥    D．⊥【答案】B【详解】设夹角为，则，，，A错；，所以，B正确；，不一定等于0，C错，，不一定为0，D错．课后巩固：39．已知，，若，那么的夹角等于____________.【答案】【详解】设与的夹角为.，.40．若向量的夹角为，，，则（   ）A．　　B．　　C．　　D．【答案】 B【详解】因为，所以，因为，所以，所以，即，解得：或（舍去），故选B．41．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，-cosθ），若，则tanθ=      ．【答案】【详解】根据向量垂直的条件可知，结合角的范围，有．42．设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则（  ）A．                 B．                 C．                 D．【答案】C【详解】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．∵向量与满足，在方向上的投影为，，存在实数，使得与垂直，故选：C三、强化培优：1．已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则（   ）A．有最大值为8        B．是定值6    C．有最小值为2    D．与点的位置有关【答案】B【详解】因点P在边BC上，所以存在实数，使，所以．故选B．2．已知为单位向量，若，则　　　　　　．【答案】【详解】,而，两者结合，，当且仅当，，所以.3．已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为　　　　　．【答案】18【详解】由，得，，所以，则即．所以当且仅当时，取得最小值．4．在直角中，，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最小值为______.【答案】【详解】如图，以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，∵ ，，，∴，，，当且仅当即时取“”，.5．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设 , 且因为 将A点坐标代入椭圆，得 所以代入上式可得     所以，所以选A6．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（  ）A．  B．    C．   D．【答案】B【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设 ，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时取得最大值为，当时取得最小值为，故的取值范围是.7．已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（  ）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】∵，∴点O在线段的垂直平分线上．∵点在线段上,且的最小值为1，∴当C是的中点时最小，此时，∴与的夹角为，∴的夹角为．又，当且仅当时等号成立．∴的最小值为3，∴的最小值为．故选B．8．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2 =2[x2+（y﹣）2﹣3]；所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D．9．已知点，动点的坐标满足不等式组，设为向量在向量方向上的投影，则的取值范围为（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则， ，则在向量方向上的投影为，设，则，平移直线，由图象知当直线经过点时直线的截距最小，此时，当直线经过时，直线的截距最大，由，得，即，此时．即，则，即， 即的取值范围是，故选：A．10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是  （   ）A．1                 B．2              C．          D．【答案】C【详解】设与的夹角为，由于，是平面内两个互相垂直的单位向量，所以，由得，即，所以，最大值为，故选C．11．已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是（    ）A．         B．          C．          D．【答案】D【详解】由题设单位向量即（x，y）到A（1，0）和B（0，2）的距离和为，即表示点（1，0）和（0，2）之间的线段，表示（-2，0）到线段AB上点的距离，最小值是点（-2，0）到直线2x+y-2=0的距离，最大值为（-2，0）到（1，0）的距离是3，所以的取值范围是．故选D．12．若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故 ，故，故，故选A．