2020届二轮复习平面向量的数量积及应用教案（全国通用）

2020届二轮复习  平面向量的数量积及应用   教案（全国通用）例1．已知向量的夹角为（        ）A．30°        B．60°   C．120° D．150°【解析】∵，∴是共线向量，∴，∴，∴向量和所成角为，又与共线且方向相反，∴向量和所成角为，从而选项C正确.【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，是共线向量，从而将和的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量与的夹角为120°，，则________【答案】7【解析】 ,∴.【变式2】已知, , 夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为________.【答案】【解析】由向量的数量积的定义，得∵，, ∴设与的夹角为，则∴即向量与的夹角的余弦值为.【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤.  其中正确的式子有（    ）A．2个    B．3个    C．4个    D．5个【答案】B【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.例2. 若、、均为单位向量，且，，则的最大值为（    ）A．    B．1    C．    D．2【答案】B【解析】方法一：，，又、、均为单位向量，且，，，的最大值为1.方法二：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则x2+y2=1， =（1―x，―y）， =（―x，1―y），则=(1―x)(―x)+(―y)(1―y)=x2+y2―x―y=1―x―y≤0，即x+y≥1.又 =（1―x，1―y），∴，    ①思路一：如图:=（x，y）对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.思路二：                 ，由x+y≥1，∴，最大值为1.【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力.  注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若、、均为单位向量，且，的最大值为________【答案】【解析】因为、、均为单位向量，且，设=（1，0），=（0，1），,,故的最大值为.【变式2】设向量，，满足，，则的最大值等于（    ）A．2    B．    C．    D．1【答案】A【解析】由得，设，，，则∠AOB=120°，，，∵，∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B四点共圆。的最大值应为圆的直径2R，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以，由正弦定理得.  故选A.【变式3】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;的最大值为________.【答案】1；1【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1 .例3. 已知平面向量、（，）满足||=1，且与―的夹角为120°，则||的取值范围是________。【答案】【解析】  如图，数形结合知，，|AB|=1，C点在圆弧上运动，∠ACB=60°，设∠ABC=θ，由正弦定理知，∴，当时，取最大值.∴.【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.举一反三：【变式1】若，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ 　）。A.  　　B.（2，+）    C.    D.【答案】A；【解析】∵与的夹角为钝角，∴且与不能反向，即且故【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】【变式2】已知、都是非零向量，且+3与75垂直， 4与72垂直，求与的夹角。【答案】【变式3】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题         其中的真命题是（    ）A．p1，p4    B．p1，p3    C．p2，p3    D．p2，p4【答案】A【解析】∵，且，若，则,∴，即，∴，∴；若，同理求得，∴，∴，故p1，p4正确，应选A.类型二、数量积的综合应用例4.设向量，，.（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥.【解析】（1）∵与垂直，∴，即，∴.（2），       ，∴最大值为32，∴的最大值为.（3）证明：由，得，即，故∥.【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.举一反三：【变式1】已知向量．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值．【解析】（Ⅰ）若，则，由此得，所以；（Ⅱ）由得当时，取得最大值，即当时，最大值为.【变式2】已知A、B、C为△ABC的三个内角，=（sinB+cosB，cosC），=（sinC，sinB―cosB）.（1）若，求角A；（2）若，求tan2A.【解析】（1）由已知，得，化简 ，即sinA+cosA=0，tanA=－1.而A∈（0，π），∴（2）∵，即，∴.    ①对①平方得，∵∴，.   ②联立①②得，，，∴，∴.【变式3】已知| |＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n (m，n∈R)，则等于（  ）                                         A. 　　　　　　B．3            C.              D.【答案】B【解析】| |＝1，| |＝，·＝0，∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，又∵∠AOC＝30°，∴⊥.∴(m＋n)·(－)＝0，∴－m2＋n2＝0，∴3n－m＝0，即m＝3n，∴＝3.