专题10 求函数的单调区间（原卷版）

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专题10  求函数的单调区间【热点聚焦与扩展】从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)证明不等式、研究函数的零点等.（5）考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．2、导数与单调区间的联系（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.（2）函数在可导，则在上单调递减（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定.5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）.（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.【经典例题】例1. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数，则 （   ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．（1）当时，讨论的单调性；例3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．（1）当时，讨论的单调性；例4.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．（1）设，讨论函数的单调性．例5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．（1）讨论在区间的单调性；例6.【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数．（1）讨论的单调性：例7. （2019·天津高三期中（理））已知函数，.（Ⅰ）若 ，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性.例8.（2019·北京高考模拟（理））已知函数 ．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，（ⅰ）求的单调区间；（ⅱ）若在区间内单调递减，求的取值范围．【精选精练】1．（2020·安徽肥东·高三三模）已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为（  ）A． B． C． D．2．（2020·浙江柯桥·高三三模）已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（     ）A． B．C． D．3．（2020·四川宜宾·高三三模）定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．4．（2020·湖南高三三模）若函数 ，则f(x)A．在(-2，+ ),内单调递增 B．在(-2，+)内单调递减C．在(2，+)内单调递增 D．在(2，+)内单调递减5．（2020·江苏崇川·南通一中高三三模）如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)A．[1，＋∞) B．[0，]C．[0，1] D．[1，]6．（2020·聊城一中高三三模）若直线是曲线的一条切线，则函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．和7．（2020·全国高三三模）函数的单调递增区间是____________.8．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）函数的单调递减区间是_________9．（2020·贵州毕节·高三三模）已知函数，则的单调递减区间为______.10．（2020·五华·云南师大附中高三三模）函数的单调增区间为_____________.11．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．12．（2020·湖南高三三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.