高考一轮复习专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(原卷版)无答案

专题15 已知函数的单调区间求参数的范围

【知识总结】

一般地，在不等式中如同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的积或商的新函数来求解，再借助导数考查新函数的性质，继而获得解答。如本题已知条件“2f(x)＋xf′(x)>0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x>0时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决。

【例题讲解】

【例1】设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)时，f′(x)>2x。若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，1] B．[1，＋∞)

C．(－∞，2] D．[2，＋∞)

【例2】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　)

A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)

C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)

【变式训练】1．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________。

【变式训练】定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，则e x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系为(　　)

A．ex1f(x2)>e x2f(x1)

B．e x1f(x2)<e x2f(x1)

C．e x1f(x2)＝e x2f(x1)

D．e x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系不确定

【例题训练】

一、单选题

1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．函数是上的单调函数，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．对任意的，都有，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

8．函数单调递增的必要不充分条件有（    ）

A． B． C． D．

9．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数的单调递增区间是，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

13．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

14．已知函数，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

17．若函数在是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、解答题

18．已知函数，.

（1）当时，求在上的最大值和最小值；

（2）若在上单调，求的取值范围.

19．设函数，其中为自然对数的底数.

（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；

（2）若直线是函数的切线，求实数的值；

20．已知a＞0，函数．

（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；

（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）

21．已知函数，.

（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；

（2）证明：.

22．已知函数的图象过点，且在P处的切线恰好与直线垂直．

（1）求的解析式；

（2）若在上是减函数，求m的取值范围．

23．已知，函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围.

24．已知函数，是偶函数．

（1）求函数的极值以及对应的极值点．

（2）若函数，且在上单调递增，求实数的取值范围．

25．已知函数，.

（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.

26．已知三次函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；

（3）当时，若，求的取值范围.

27．设函数，其中.

（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；

（2）若在处取得极值，求a的值；

（3）若在上为增函数，求a的取值范围.

28．已知函数，其中.

（1）若在内为减函数，求实数a的取值范围；

（2）求函数在上的最大值.

29．已知函数．

（1）令，若函数在其定义域上单调递增，求实数的取值范围；

（2）求证：．

30．已知：函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.

31．已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间与极值；

（2）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.

32．设函数（为常数）．

（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点、，且，求证：．

33．已知函数.

（1）若在单调递增，求的取值范围：

（2）若，证明：当时，.

34．已知函数

（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；并求函数的单调区间；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.

35．已知函数在的切线与直线垂直，函数．

（1）求实数a的值；

（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

36．设函数，，.

（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的单调性；

（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围.

37．已知函数（，常数）.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.

38．已知，函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围.

39．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围.

40．已知函数

（1）若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.