专题13 利用导数证明或求函数的单调区间(解析版)

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 专题13 利用导数证明或求函数的单调区间
【知识总结】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。
【例题讲解】
【例1】　(1)已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
(2)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，其中a∈R。
①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－y＋3＝0平行，求a的值；
②求函数f(x)的单调区间。
(1)解析　令y′＝(1＋x)ex≥0。因为ex>0，所以1＋x≥0，所以x≥－1。故选A。
答案　A
(2)解　①由f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx可知，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f′(x)＝2x－(a＋2)＋，
依题意，f′(2)＝4－(a＋2)＋＝1，解得a＝2。
②依题意，f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝(x>0)。
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝。
(ⅰ)当a≤0时，≤0，由f′(x)>0，得x>1；
由f′(x)