专题10 求函数的单调区间（解析版）学案

专题10  求函数的单调区间

【热点聚焦与扩展】

从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)证明不等式、研究函数的零点等.（5）考查数形结合思想的应用．单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.高考对单调性的考查有小题，但多出现在大题中，涉及单调性应用的题目较多.

1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.

在上为增函数．

在上为减函数．

2、导数与单调区间的联系

（1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零.

等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内.

（2）函数在可导，则在上单调递减

（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础）

3、利用导数求函数单调区间的步骤

（1）确定函数的定义域

（2）求出的导函数

（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间

（4）列出表格

4、求单调区间的一些技巧

（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解

（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式

（3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）

（4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数

（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定.

5、求单调区间的一些注意事项

（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）.

（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的.

【经典例题】

例1. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数9】设函数，则 （   ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果．

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D．

【专家解读】本题的特点是注重函数性质的综合应用，本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解函数奇偶性、单调性的含义．

例2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）．

【思路导引】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．

【解析】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

∴的减区间为，增区间为．

【专家解读】本题的特点是灵活运用导数研究函数的性质，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是结合函数的图像研究问题．

例3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增;

【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可；

(2)首先讨论的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围．

【解析】(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减；

当时，单调递增．

【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性、极值（最值），考查数形结合、分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数．

【考向总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

(4)考查数形结合思想的应用．

例4.【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．

（1）设，讨论函数的单调性．

【答案】（1）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性．

【解析】（1）且，因此，

设，则有，

当时，，∴，单调递减，因此有，即

，∴单调递减；

当时，，∴，单调递增，因此有，即，∴单调递减，∴函数在区间和上单调递减，没有递增区间．

【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数单调性，考查不等式恒成立的参数取值范围问题，考查转化与化归思想，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用参数分离法解决不等式恒成立的参数取值范围问题．

例5.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．

（1）讨论在区间的单调性；

【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．

【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；

【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．

例6.【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数．

（1）讨论的单调性：

【答案】（1）详见解析；

【思路导引】（1），对分和两种情况讨论即可；

【解析】（1）由题，，

当时，恒成立，∴在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，∴在上单调递减，在，上单调递增．

【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养．

例7. （2019·天津高三期中（理））已知函数，.

（Ⅰ）若 ，求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性.

【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

 (Ⅰ)由题意可得：，故，∴.

(Ⅱ)∵函数，其中a>1，

∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，

令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.

①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.

②若0<a−1<1，即1<a<2时，

由f′(x)<0得，a−1<x<1；

由f′(x)>0得，0<x<a−1，或x>1.

故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.

③若a−1>1，即a>2时，

由f′(x)<0得,1<x<a−1;由f′(x)>0得，0<x<1，或x>a−1.

故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.

综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；

当1<a<2时,f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增；

当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.

例8.（2019·北京高考模拟（理））已知函数 ．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，

（ⅰ）求的单调区间；

（ⅱ）若在区间内单调递减，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）递增区间为，单调递减区间为和，（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时，，

所以

所以曲线在点 处的切线方程为

即；

（Ⅱ）时，

（ⅰ）函数，定义域为 ，

所以，令 ，得

①时，在 和， ；在， ．

②所以的单调递增区间为 和，单调递减区间为；

③当 时，在， ；在和 ， ．

所以 的单调递增区间为，单调递减区间为和；

（ⅱ）由 在区间 内单调递减，

①时，，有，所以 ；

②当时，在 递减，符合题意

综上的取值范围是

【精选精练】

1．（2020·安徽肥东·高三三模）已知为实数，，若，则函数的单调递增区间为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，则

又则，解得a=-2,

解得,

则函数的单调递增区间为故选B.

2．（2020·浙江柯桥·高三三模）已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】结合图象：和时，，即，

而，故在，递减，

故选B．

3．（2020·四川宜宾·高三三模）定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；

若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.

对函数求导得，由得，

由图象可知，满足不等式的的取值范围是，

因此，函数的单调递减区间为.故选：B.

4．（2020·湖南高三三模）若函数 ，则f(x)

A．在(-2，+ ),内单调递增 B．在(-2，+)内单调递减

C．在(2，+)内单调递增 D．在(2，+)内单调递减

【答案】D

【解析】由可得

因为或时，，

在和内是减函数，故选D.

5．（2020·江苏崇川·南通一中高三三模）如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)

A．[1，＋∞) B．[0，]

C．[0，1] D．[1，]

【答案】D

【解析】因为函数的对称轴为x＝1，

所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，

又当x≥1时，，

令(x≥1)，则，

由g′(x)≤0得，

即函数在区间上单调递减，

故“缓增区间”I为，故选D.

6．（2020·聊城一中高三三模）若直线是曲线的一条切线，则函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．和

【答案】A

【解析】设切点为，则可得过该点的切线方程为：

，又知切线为：，

故得：，，则：

，

，令，

解得：，即

又该函数定义域为：，故单调增区间为.故选：A.

7．（2020·全国高三三模）函数的单调递增区间是____________.

【答案】

【解析】因为函数，则，

令，可得，所以单调递增区间是.

故答案为：

8．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）函数的单调递减区间是_________

【答案】或

【解析】，由，又得．

∴减区间为，答也对．

故答案为或．

9．（2020·贵州毕节·高三三模）已知函数，则的单调递减区间为______.

【答案】

【解析】由题意，，

，

所以，故，

，

所以，解得，

故，

，即，解得，，

故的单调递减区间为.

故答案为：

10．（2020·五华·云南师大附中高三三模）函数的单调增区间为_____________.

【答案】和

【解析】因为，所以.令，则，或，所以或，所以函数的单调增区间为和

故答案为和．

11．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）

【解析】（1）由，

得，

①当时，

令，得，

所以，或，即或，

解得或．

令，得，

所以或，即或，

解得或．

所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．

②当时，

令，得，由①可知；

令，得，由①可知或．

所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．

综上可得，

当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．

当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．

（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以不等式有解等价于有解，

即有解，

设，则，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的极小值也是最小值，且最小值为，

从而，

所以实数的取值范围为．

12．（2020·湖南高三三模）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】（1）

若，，在上单调递减；

若，当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增.

（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.

若，由（1）可知，的最小值为

令，，所以在上单调递增，

又，当时，，至多一个零点，不符合题意，

当时，

又因为，结合单调性可知在有一个零点

令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以

当时，

结合单调性可知在有一个零点

综上所述，若有两个零点，的范围是