专题08 函数零点问题面面观（解析版）

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专题08  函数零点问题面面观【热点聚焦与扩展】函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大.一、基础知识：1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个② 若，那么在不一定有零点③ 若在有零点，则不一定必须异号3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点.二、零点存在与判断方法、技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内.例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围.缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡.（作3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个.因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调.4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点.如果单调，那么“一定”没有零点（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响.如果单调，则一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，.三、函数零点的性质及应用1、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，2.常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有.将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系【经典例题】例1．【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【思路导引】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案．【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点．因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以．综上，的取值范围为，故选D．         【专家解读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．例2．（2020·陕西省洛南中学高三三模）已知函数，若函数有2个零点，则实数的取值范围为（    ）A．(0，1) B． C．(-1，0) D．【答案】B【解析】如图，若要有2个零点，即和有两个交点即可.故选：B.例3．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三三模）已知函数若函数有四个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数有四个零点等价于方程有四个解，即直线与函数的图象有四个交点，因为直线过定点，在同一直角坐标系中作出直线与函数的图象，如下图所示，当直线过原点时，；当直线与函数的图象相切时，对函数求导得，设切点为，则，解得，，数形结合可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，即函数有四个零点.故选：B.
 例4．（2020·山西大同·高三三模）已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】在区间上方程有两个不同的实根，即在区间上有两个不同的实根，等价于与图象在区间上有两个不同的交点，设，则，当时，，所以，故， 即，又恒过定点，与 图象如图：当过点时，斜率，当过点时，斜率，由图可知：当时，两图象有两个不同的交点，在区间上方程有两个不同的实根，故选：B例5．（2020·江苏宝应中学高三三模）已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】设函数，，则，所以函数为定义域上的为偶函数，作出函数与的图象，如图所示，当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，两函数有1个交点，即1个零点；当时，，，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.故选：D.例6．（2020·安徽省怀宁县第二中学高三三模）定义在上的偶函数，满足，，则函数在区间内零点的个数为（    ）A．4个 B．2个 C．至少个 D．至多2个【答案】C【解析】，得到函数的周期是3，是定义在上的偶函数，且周期是3，，即．，，所以函数在区间内零点的个数至少有4个解．故选：．例7．（2020·河南罗山县高三三模）已知方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有4个不同的实数根，即函数有四个零点，易见是偶函数，故时有两个零点，因为，故当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当时的根为，即在上递增，在递减，故时，取得极大值，也是最大值，要使时有两个零点，只需，即，即.故实数的取值范围是.故选：D.例8．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】∵函数是奇函数∴函数的图象关于点对称∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，即满足又∵∴，从而∴，即∴函数的周期为2，且图象关于直线对称.画出函数的图象如图所示：结合图象可得区间内有8个零点.故选：A.【精选精练】1．（2020·吉林长春外国语学校高三三模）函数在的零点个数为（  ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，得或，，．在的零点个数是3，故选B．2．（2020·河南罗山·高三三模）已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（    ）A．12 B．10 C．6 D．5【答案】B【解析】由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，是偶函数，作出函数与时，的图象，由图象可知，当时，两函数图象有5个交点.又函数与均为偶函数，所以函数的零点个数是10.，即函数的零点个数是10．故选：B．3．（2020·四川阆中中学高三三模）函数一定存在零点的区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由复合函数的单调性知是增函数，又，，，，，所以根据零点的存在性定理得函数在区间上一定存在零点.故选：D.4．（2020·山东省实验中学高三三模）已知函数，若恰好有3个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恰好有3个零点，转化为与两个函数的图象有3个交点，作出,的示意图如图所示：当时，与两个函数的图象有3个交点.故选：D.5．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）已知函数是定义在上连续的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为函数是定义在上连续的奇函数，，所以在上是连续的奇函数.因为，当时，，所以，即在上的增函数，又由为上连续的奇函数，且，则为上的增函数，所以只有1个零点.故选：B6．（2020·定远县育才学校高三三模）已知函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根， 则实数的取值范围是 A． B．， C．， D．，【答案】A【解析】设g（x），又g′（x），当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（0，e）为增函数，在（e，+∞）为减函数，又x→0+时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0+，g（e），即直线y＝k与函数g（x）的图象有两个交点时k的取值范围为（0，），故选A．7．（2020·南开大学附属中学高三三模）已知函数函数，其中.若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，即，所以，由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b=0.得b=f(x)+f(2-x)，令h(x)=f(x)+f(2-x)=，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，所以实数b的取值范围是，故选：D.8．（2020·浙江平阳·浙鳌高级中学高三三模）已知关于的方程有唯一实数解，则实数（    ）A．，-3 B． C．1，-3 D．-1，-3【答案】A【解析】令，可知的定义域为，且，即是偶函数，方程有唯一解，即有唯一零点，关于轴对称，所以的唯一零点为0，，解得或3.故选：A.9．（2020·四川省泸县第二中学高三三模）已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由绝对值的几何意义知，作出函数的图象，作直线和，则函数图象位于直线和之间的部分有三个横坐标为整数的点，时，，（），时，，由双勾函数的单调性可知在上递减，在上递增，，又，，，，且，要使得函数图象位于直线和之间的部分有三个横坐标为整数的点，则，即，解得．故选：A．10．（2020·四川省新津中学高三三模）已知函数在定义域内单调且对任意时，都有，若方程在区间上有2个解，则实数的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数在定义域内单调且对任意时，满足，∴必存在唯一的正实数，满足，则f（t）＝3，①，∴②由①②得： ，左增，右减，有唯一解t＝2，故，由方程在区间上有两解，即有在区间上有两个交点，由g（x）＝在递增，在递减，得g（x）在x＝1处取得最大值1+a，g（0）＝a，g（2）＝a，函数y＝在递减，在递增，当，当x＝1时，，当时，.由题意，得，解得.故选：A．11．（2020·莆田第二十五中学高三三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）①的图象关于直线对称；②是周期函数，且2是其一个周期；③；④关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12.A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③【答案】A【解析】由可知的图象关于直线对称，①正确；因为是奇函数，所以，所以，所以是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是的周期，故②错误；由的周期性和对称性可得.又当时，，所以在时单调递增，所以，即，③错误；又时，，则可画出在区间上对应的函数图象变化趋势，如图易得（）即（）在区间上的根分别关于1，5对称，故零点之和为，④正确.故选：A.12．（2020·黑龙江鹤岗·高三三模）设的定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对任意，都有，所以函数是一个周期函数，且周期为，当时，，且函数是上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则函数与函数在区间上的图象恰有个不同的交点，如下图所示：又，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.