专题05 函数与方程（零点问题、嵌套函数）（学生版+教师版）

专题5 函数与方程

一、考情分析

零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性

质,达到化难为易,化繁为简的目的.

许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.

二、考点梳理

1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．

(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

2.导数研究函数图象交点及零点问题 

利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数；

②求导；

③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

三、题型突破

重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间

例1．（1）（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）

函数的一个零点所在的区间是(　 )

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

（2）、（2020·淮北市树人高级中学高一月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（    ）

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

【变式训练1-2】．（2020·全国高一课时练习）f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（    ）

A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数

例2．（1）函数的零点个数为（    ）

A．1      B．2       C．3       D．4

（2）函数的零点个数为

A．0        B．1          C．2         D．3

【变式训练2-1】．（2020·张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式训练2-2】．（2020·北京大兴高三期末）已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.

重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围

例3．（1）、（2022·全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

（2）．（2020·昭通市昭阳区第一中学高一月考（理））若函数有且仅有一个零点，则实数的取值为________．

【变式训练3-1】．（2021·全国）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______

【变式训练3-2】．（2021·陕西高二期末（文））已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.

重难点题型突破4 根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系

例4．（1）．（2021·安徽安庆·高三月考（文））已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（    ）

A．-4 B．-3 C．-2 D．-1

（2）．（2021·普宁市第二中学高三月考）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练4-1】．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心）已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是___________.

【变式训练4-2】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.

重难点题型突破5 “嵌套”函数的零点问题

例5．（1）、（2021·吉林长春外国语学校（理））已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

（2）．（2022·全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为__________.

【变式训练5-1】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数则函数的所有零点之和为___________.

【变式训练5-2】．（2022·全国高三专题练习（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（    ）

A．若没有零点，则

B．当时，恰有1个零点

C．当恰有2个零点时，的取值范围为

D．当恰有3个零点时，的取值范围为

重难点题型突破5 复合函数的零点问题（与二次函数有关）

例6．（1）、（2021·河北保定·高三月考（理））已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

（2）、（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知函数的值域为，且，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练6-1】．（2020·南通市海门实验学校高一期末）已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________．

【变式训练6-2】．（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

四、迁移应用

A卷 基础巩固

1．（2011·北京东城区·高三（理））已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是

A． B．

C． D．

2．（2021·息县第一高级中学高三月考）已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国高二课时练习）如图是函数的大致图象，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·东莞市光明中学高二月考）已知函数，要使函数有三个解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·咸丰春晖学校）定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

8．（2021·湖南）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·云南高一期末）函数零点的个数为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·贵州省思南中学（理））已知函数，若方程有4个零点，则的可能的值为（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·陕西省洛南中学高二月考（理））函数有三个零点，则的取值范围为_______.

12．（2021·山西祁县中学高三月考（理））关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间单调递减；

③在有4个零点；

④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是______．

13．（2021·全国高三开学考试（理））已知函数是定义域在R上的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是__________．

B卷 能力提升

14．（2022·浙江高三专题练习）设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

15．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

17．（2021·湖南周南中学高一开学考试）已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

18．（2021·河北保定·高三月考（理））已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

19．（2022·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝，若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得，则实数k的取值范围是________.

20．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）已知函数，若a､b､c互不相等，且，则的取值范围是___________.

21．（2021·天津滨海高新技术产业开发区第一学校高二期末）已知函数是偶函数，当时，，关于x的方程有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是__________.