专题21 导数解决函数零点交点和方程根的问题(解析版)

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专题21 导数解决函数零点交点和方程根的问题
【知识总结】
根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝f(x)在区间[0,1]上零点的个数。
解　(1)因为f(x)＝ex－ax－1，
所以f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)lna，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞)。
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，
先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数，
当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，
所以f(x)在[0,1]上有一个零点；
当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且f(0)＝0，
所以f(x)在[0,1]上有一个零点；
当1