2017年西安市中考模拟数学试卷（五）

这是一份2017年西安市中考模拟数学试卷（五），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列算式中，运算结果为负数的是
A. −∣−1∣B. −−23C. −−52D. −32

2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 长方体

3. 下列计算中正确的是
A. a⋅a2=a2B. 2a⋅a=2a2C. 2a22=2a4D. 6a8÷3a2=2a4

4. 如图，直线 a∥b，∠1=85∘，∠2=35∘，则 ∠3=
A. 85∘B. 60∘C. 50∘D. 35∘

5. 本市5月份某一周每天的最高气温统计如下表：
温度/ ∘C22242629天数2131
则这组数据的中位数和平均数分别是
A. 24，25B. 25，26C. 26，24D. 26，25

6. 对于一次函数 y=k2x−k（k 是常数，k≠0）的图象，下列说法正确的是
A. 是一条抛物线B. 过点 1k,0
C. 经过一、二象限D. y 随着 x 增大而减小

7. 如图，A0,−2，点 B 为直线 y=−x 上一动点，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为
A. 0,0B. 1,−1C. 12,−12D. 22,−22

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，点 E 为 AD 中点，点 F 为 BC 边上任一点，过点 F 分别作 EB，EC 的垂线，垂足分别为点 G，H，则 FG+FH 为
A. 52B. 5210C. 31010D. 3510

9. 已知点 A，B，C 是直径为 6 cm 的 ⊙O 上的点，且 AB=3 cm，AC=32 cm，则 ∠BAC 的度数为
A. 15∘B. 75∘ 或 15∘C. 105∘ 或 15∘D. 75∘ 或 105∘

10. 定义符号 mina,b 的含义为：当 a>b 时，mina,b=b；当 aA. −1B. −2C. 1D. 0

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 不等式组 3x+2>2x+5,x−12≤x3 的最小整数解是 ．

12. 若一个正多边形的一个外角等于 36∘，则这个正多边形有 条对角线；用科学计算器计算：135×13sin13∘≈ ．（精确到 0.1）

13. 如图，双曲线 y=kxx>0 经过 △OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C，AB∥x 轴，点 A 的坐标为 2,3，求 △OAC 的面积是 ．

14. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A322,0，点 B 在第一象限，且 AB 与直线 l:y=x 平行，AB 长为 4，若点 P 是直线 l 上的动点，则 △PAB 的内切圆面积的最大值为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
15. 计算：−12−2+8+1−20−2sin60∘+tan60∘．

16. 解方程：14x+8=4x+103x+24．

17. 如图，△ABC 中，AB=AC，且 ∠BAC=108∘，点 D 是 AB 上一定点，请在 BC 边上找一点 E，使以 B，D，E 为顶点的三角形与 △ABC 相似．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的高，BD 与 CE 交于点 O．求证：BO=CO．

19. 为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图的统计图（部分信息未给出）：根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1600 名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．

20. 如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆 AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分 AC 与未折断树杆 AB 形成 53∘ 的夹角．树杆 AB 旁有一座与地面垂直的铁塔 DE，测得 BE=6 米，塔高 DE=9 米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆 AB 落在地面的影子 FB 长为 4 米，且点 F，B，C，E 在同一条直线上，点 F，A，D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈1.33）

21. 为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过 A 港口，B 港口分别运送 100 吨和 50 吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有 80 吨，乙仓库存有 70 吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元 / 吨）如表所示：
（1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为 x 吨，求总运费 y（元）与 x（吨）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

22. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球．甲盒中有 2 个白球、 1 个蓝球；乙盒中有 1 个白球、若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的 2 倍．
（1）求乙盒中蓝球的个数；
（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的切线，A 为切点，BC 交 ⊙O 于点 E．
（1）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 OA=3，CE=1，求 ∠ACB 的度数．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B−3,0 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且 ∠APD=∠ACB，求点 P 的坐标；
（3）点 Q 在直线 BC 上方的抛物线上，是否存在点 Q 使 △BCQ 的面积最大，若存在，请求出点 Q 坐标．

25. （1）问题探究：
（1）如图①，已知正方形 ABCD 的边长为 4．点 M 和 N 分别是边 BC，CD 上两点，且 BM=CN，连接 AM 和 BN，交于点 P．猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形 ABCD 的边长为 4．点 M 和 N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CD 方向向终点 C 和 D 运动．连接 AM 和 BN，交于点 P，求 △APB 周长的最大值；
（2）问题解决：
（3）如图③，AC 为边长为 23 的菱形 ABCD 的对角线，∠ABC=60∘．点 M 和 N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CA 向终点 C 和 A 运动．连接 AM 和 BN，交于点 P．求 △APB 周长的最大值．
答案
第一部分
1. A【解析】∵−∣−1∣=−1，故选项A符合题意，
∵−−23=−−8=8，故选项B不符合题意，
∵−−52=52，故选项C不符合题意，
∵−32=9，故选项D不符合题意．
2. B
3. B【解析】因为 a⋅a2=a3；2a⋅a=2a2；2a22=4a4；6a8÷3a2=2a6，
所以只有选项B正确．
4. C
5. D
6. B【解析】函数 y=k2x−k（k 是常数，k≠0）符合一次增函数的形式．
A．是一次函数，是一条直线，故本选项错误；
B．过点 1k,0，故本选项正确；
C．k2>0，−k<0 时，图象在一、三、四象限，故本选项错误；
D．根据 k2>0 可得 y 随着 x 的增大而增大，故本选项错误．
7. D【解析】∵A0,−2，点 B 为直线 y=−x 上一动点，
∴ 当 AB⊥OB 时，线段 AB 最短，此时点 B 在第四象限，作 BC⊥OA 于点 C，∠AOB=45∘，如图所示：
∴OC=CB=12OA，
∴ 点 B 的坐标为 22,−22．
8. D
9. C【解析】如图 1，
∵AD 为直径，
∴∠ABD=∠ACD=90∘，
在 Rt△ABD 中，AD=6，AB=3，则 ∠BDA=30∘，∠BAD=60∘，
在 Rt△ACD 中，AD=6，AC=32，∠CAD=45∘，则 ∠BAC=105∘；
如图 2，
∵AD 为直径，
∴∠ABD=∠ACD=90∘，
在 Rt△ABD 中，AD=6，AB=3，则 ∠BDA=30∘，∠BAD=60∘，
在 Rt△ACD 中，AD=6，AC=32，∠CAD=45∘，则 ∠BAC=15∘．
10. C
【解析】联立 y=−x2+2,y=−x 解得 x1=−1,y1=1, x2=2,y2=−2,
∴ min−x2+2,−x 的最大值是 1．
第二部分
11. 0
12. 35，301248.6
【解析】360∘÷36∘=10，
∴ 这个正多边形是正十边形，
∴ 这个正多边形有 1010−32=35 条对角线，135×13sin13∘≈301248.6．
13. 92
14. 4π9
【解析】作点 A 关于直线 l 的对称点 Aʹ，连接 AAʹ 交直线 l 于点 C，
由直线 y=x 中 k=1 可知 ∠COA=45∘，
在 Rt△AOC 中，OC=AC=OAcs∠AOC=322×22=32，则 AAʹ=2AC=3，
∵AB∥ 直线 l，
∴∠BAD=45∘，
∴∠BAAʹ=90∘，
连接 AʹB 交直线 l 于点 P，连接 PA，则此时 △PAB 的周长最小，S△PAB=12×4×32=3，
在 Rt△AAʹB 中，AʹB=AAʹ2+AB2=32+42=5，
∴△PAB 周长的最小值为 4+5=9，
由三角形内切圆的半径 r=2Sa+b+c 知，三角形的周长最小时，三角形内切圆的半径最大，最大半径 r=2×39=23，
∴△PAB 的内切圆面积的最大值为 4π9．
第三部分
15. −12−2+8+1−20−2sin60∘+tan60∘=4+22+1−2×32+3=5+22−3+3=5+22.
16.
14x+8=4x+103x+24.
14x+8=4x+103x+8.
去分母，得
3x×14=3x+8×4+10x.
解得
x=245.
检验：当 x=245 时，3xx+8≠0，
∴x=245 是原分式方程的解．
17. 如图，这样的点有两个．
①过 D 作 DE∥AC 交 BC 于点 E，
根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，可得 △BDE∽△BAC；
②以 D 为顶点，DB 为一边，作 ∠BDE=∠C，已知有公共角 ∠B，根据有两角对应相等的两个三角形相似可得 △BDE∽△BCA．
18. ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵ BD，CE 是 △ABC 的两条高线，
∴ ∠BEC=∠BDC=90∘，
在 △BEC 和 △CDB 中，
∠BEC=∠CDB,∠EBC=∠DCB,BC=CB,
∴ △BEC≌△CDB，
∴ ∠BCE=∠CBD，
∴ OB=OC．
19. （1） 60÷30%=200（人），
答：本次被调查的学生有 200 人；
（2） 选择文学的学生有 200×15%=30（人），
选择体育的学生有 200−24−60−30−16=70（人），
补全的条形统计图如答图所示，
（3） 1600×70200=560（人）．
答：全校选择体育类的学生有 560 人．
20. ∵AB⊥EF，DE⊥EF，
∴∠ABC=90∘，AB∥DE，
∴△FAB∽△FDE，
∴ABDE=FBFE，
∵FB=4 米，BE=6 米，DE=9 米，
∴AB9=44+6，得 AB=3.6（米），
∵∠ABC=90∘，∠BAC=53∘，cs∠BAC=ABAC，
∴AC=ABcs∠BAC=（米），
∴AB+AC=3.6+6=9.6（米），
即这棵大树没有折断前的高度是 9.6 米．
21. （1） 设从甲仓库运 x 吨往 A 港口，则从甲仓库运往 B 港口的有 80−x 吨，
从乙仓库运往 A 港口的有 100−x 吨，运往 B 港口的有 50−80−x=x−30 吨.
所以 y=14x+20100−x+1080−x+8x−30=−8x+2560，
x 的取值范围是 30≤x≤80．
（2） 由（1）得 y=−8x+2560 .
∵−8<0，
∴ y 随 x 增大而减少，所以当 x=80 时总运费最小.
当 x=80 时，y=−8×80+2560=1920，
此时方案为：把甲仓库的全部运往 A 港口，再从乙仓库运 20 吨往 A 港口，乙仓库的余下的全部运往 B 港口．
22. （1） 设乙盒中蓝球的个数为 x，
根据题意，得：
xx+1=2×13,
解得：
x=2.
经检验 x=2 是原方程的根．
答：乙盒中蓝球的个数为 2．
（2） 画树状图如下：
由于共有 9 种等可能情况，其中两球均为蓝球的有 2 种，
∴ 这两球均为蓝球的概率为 29．
23. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AEC=90∘，
∵D 为 AC 的中点，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴∠CAE+∠EAO=∠CAB=90∘，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA=90∘，
∴∠DEO=90∘，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵OA=3，
∴AB=23，
∵∠CAB=90∘，AE⊥BC，
∴AB2=BE⋅BC，即 232=BEBE+1，
∴BE=3（负值舍去），
∴BC=4，
∵sin∠ACB=ABBC=32，
∴∠ACB=60∘．
24. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过 A−1,0，B−3,0，
∴ 0=−1−b+c,0=−9−3b+c, 解得：b=−4,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−4x−3．
（2） 由 y=−x2−4x−3，可得 D−2,1，C0,−3，
∴ OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得 △OBC 是等腰直角三角形，
∴ ∠OBC=45∘，CB=32，
如图 1，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F，
∴ AF=12AB=1，
过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，
∴ ∠AEB=90∘，
可得 BE=AE=2，CE=22，
在 △AEC 与 △AFP 中，∠AEC=∠AFP=90∘，∠ACE=∠APF，
∴ △AEC∽△AFP，
∴ AEAF=CEPF，21=22PF，解得 PF=2，
∵ 点 P 在抛物线的对称轴上，
∴ 点 P 的坐标为 −2,2 或 −2,−2．
（3） 存在，
∵ BC 为定值，当点 Q 到直线 BC 的距离最远时，△BCQ 的面积最大，
设直线 BC 的解析式 y=kx+t，直线 BC 经过 B−3,0，C0,−3，
∴ 0=−3k+t,−3=t, 解得：k=−1,t=−3,
∴ 直线 BC 的解析式 y=−x−3，
设 Qm,n，如图 2，过点 Q 作 QH⊥BC 于 H，并过点 Q 作 QS∥y 轴交直线 BC 于点 S，
则 S 点坐标为 m,−m−3，
∴ QS=n−−m−3=n+m+3，
∵ Qm,n 在抛物线 y=−x2−4x−3 上，
∴ n=−m2−4m−3，
∴ QS=−m2−4m−3+m+3=−m2−3m=−m+322+94，
当 m=−32 时，QS 有最大值 94，
∵ BO=OC，∠BOC=90∘，
∴ ∠OCB=45∘，
∵ QS∥y 轴，
∴ ∠QSH=45∘，
∴ △QHS 是等腰直角三角形，
∴ 当斜边 QS 最大时 QH 最大，
∵ 当 m=−32 时，QS 最大，
∴ 此时 n=−m2−4m−3=−94+6−3=34，
∴ Q−32,34，
∴ Q 点的坐标为 −32,34 时，△BCQ 的面积最大．
25. （1） （1）结论：AM⊥BN．
理由：如图①中，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90∘，
在 △ABM 和 △BCN 中，
AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90∘，
∴∠ABN+∠BAM=90∘，
∴∠APB=90∘，
∴AM⊥BN．
（2）如图②中，以 AB 为斜边向外作等腰 Rt△AEB，∠AEB=90∘，
作 EF⊥PA 于点 F，作 EG⊥PB 于点 G，连接 EP．
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90∘，
∴ 四边形 EFPG 是矩形，
∴∠FEG=∠AEB=90∘，
∴∠AEF=∠BEG，
在 △AEF 和 △BEG 中，
∠AEF=∠BEG,∠EFA=∠G,EA=EB,
∴△AEF≌△BEG，
∴EF=EG，AF=BG，
∴ 四边形 EFPG 是正方形，
∴PA+PB=PF+AF+PG−BG=2PF=2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值=AE=22，
∴△APB周长的最大值=4+42．
（2） 如图③中，延长 DA 到 K，使得 AK=AB，则 △ABK 是等边三角形，连接 PK，取 PH=PB．
在 △ABM 和 △BCN 中，
AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60∘，
∴∠APB=120∘，
∵∠AKB=60∘，
∴∠AKB+∠APB=180∘，
∴A，K，B，P 四点共圆，
∴∠BPH=∠KAB=60∘，
∵PH=PB，
∴△PBH 是等边三角形，
∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
∴∠KBH=∠ABP，
在 △KBH 和 △ABP 中，
BK=BA,∠KBH=∠ABP,BH=BP,
∴△KBH≌△ABP，
∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK 的值最大时，△APB 的周长最大，
∴ 当 PK 是 △ABK 外接圆的直径时，PK 的值最大，最大值为 4，
∴△PAB的周长最大值=23+4．