第02讲 导数与函数的单调性（原卷版）

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第2讲   导数与函数的单调性  [A级　基础练]1．函数的单调递减区间为（    ）A．(－1,1]    B．(0,1]   C． [1,+)       D．(0,+)【答案】B【解析】∵,∴,由，解得，又，∴故选B．2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．f(x)＝sin 2x   B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x   D．f(x)＝－x＋ln x解析：选B.对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，所以函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0，1)上单调递增．综上所述，应选B.3．（2020浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ）A．                           B．C．                           D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除 A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．4．(2020辽宁省沈阳市检测三）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（    ）．A.     B.        C.  D. 【答案】C【解析】令．则，所以在上为奇函数．，所以函数在上单调递增．，化为：，即所以，即，解得．所以实数的取值范围是．5．已知f(x)＝，则(　　)A．f(2)>f(e)>f(3)   B．f(3)>f(e)>f(2)C．f(3)>f(2)>f(e)   D．f(e)>f(3)>f(2)解析：选D.f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)，故选D.6．函数的单调递增区间是________．【答案】【解析】，，由得，的单调递增区间是．7．函数f(x)＝ln x－为________函数．(填“增”或“减”)解析：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝ln x－，所以f′(x)＝－＝.因为x>0，所以4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.所以当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．答案：增8．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.由题意知，f′(x)>0在上有解，当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－，所以a的取值范围是.答案：9．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f′＝3×＋2a×－1，解得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，令f′(x)>0，解得x>1或x<－；令f′(x)<0，解得－<x<1.所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)，f(x)的单调递减区间是.10．已知函数f(x)＝x3＋x2.讨论函数y＝f(x)ex的单调性．解：令g(x)＝f(x)ex＝ex，所以g′(x)＝ex＋ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，当x≤－4时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当－4<x≤－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－1<x≤0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上可知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．[B级　综合练]11．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　)A．f(x)<0恒成立B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0C．f>D．f<解析：选BD.由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢．所以f(x)的图象如图所示．f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数，故B正确；C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确．12．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，所以f′(x)＝－x－3＋，因为函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，所以f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，所以＝0在(t，t＋1)上有解，所以x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，所以1∈(t，t＋1)，所以t∈(0，1)，故实数t的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)13．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即故b＝0，c＝1.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立．则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，即－a>.因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，则－x－≥2＝2，当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立，所以－a>2，则a<－2.所以实数a的取值范围为(－∞，－2)．14．已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1），. 因在上单调递增，则，恒成立. 令，则， x－＋减极小值增　　 因此，，即. （2）①当时，由（1）知，当时，单调递增.又，当，；当时，. 　  故不等式恒成立． ②若，， 　设，令，则. 当时，，单调递减，则，则，所以当时，单调递减， 则当时，，此时，矛盾. 因此，，即实数的取值范围为． [C级　创新练]15．求形如y＝f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y＝g(x)ln f(x)，再两边同时求导得·y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)·[g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)]，运用此方法求得函数y＝x的单调递增区间是(　　)A．(e，4)   B．(3，6)C．(0，e)   D．(2，3)解析：选C.由题意知y′＝x＝x·(x>0)，令y′>0，得1－ln x>0，所以0<x<e，所以函数y＝x的单调递增区间为(0，e)，故选C.16．(2021·广东省四校联考)已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－ax2－2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是(　　)A．[0，e]  B．[1，e]C．[1，＋∞)   D．(－∞，e]解析：选B.根据定义，函数f(x)满足∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)>0恒成立，f′(x)＝ex－ax－2.令h(x)＝ex－ax－2，则h′(x)＝ex－a，令h′(x)＝ex－a＝0，则其解就是“转折点”，故ex＝a，x＝ln a，x∈[0，1]，则0≤ln a≤1，解得1≤a≤e，选B.