人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精品习题

这是一份人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精品习题，共353页。试卷主要包含了综合与探究等内容，欢迎下载使用。

22.3.10 二次函数压轴题-特殊三角形问题（同步练习）

1． 已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．


2．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
（3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．
（1）求的值和抛物线的解析式；
（2）是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转90°后，得到，点、、的对应点分别是点、、，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．


2． 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．


3． 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．


6．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点坐标；
（2）设该抛物线的顶点为点，则______；
（3）若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点．求长的最大值及点的坐标；
（4）在（3）的条件下：当取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、点、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．



7． 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，且经过点．
（1）求抛物线的解析式及点，的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在点，使是等腰直角三角形?若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线下方，作正方形，并将沿对称轴平移个单位长度（规定向上平移时为正，向下平移时为负，不平移时为0），若平移后的抛物线与正方形（包括正方形的内部和边）有公共点，求的取值范围．




8． 如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．直线经过点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线相交于点，连接、，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象经过点和，并与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，过点A作交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值；
（3）直线与线段BC交于点G，将该抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线刚好经过点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，是否存在以点A，E，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．


10．已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点．
①用含a的式子表示点D的坐标；
②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．

11．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标．
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；



12．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．



13．如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．
（1）已知抛物线①：与②，请判断抛物线①与抛物线②是否关联，并说明理由．
（2）将抛物线：沿x轴翻折，再向右平移个单位，得到抛物线，若抛物线与关联，求m的值．
（3）点A为抛物线：的顶点，点B为与抛物线关联的抛物线的顶点（点B位于x轴的下方），是否存在以为斜边的等腰直角三角形，使其直角顶点C在x轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．






14．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．


15． 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为抛物线上任意一点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当是以为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标．







16．已知直线：y1＝x﹣1，抛物线c：y2＝（x﹣h）2＋k．
（1）若h＝0，k＝﹣1，求直线与抛物线c的交点坐标；
（2）若k＝﹣1时，求当x（可用含h的代数式表示）为何值时，y2＞y1；
（3）若k＝h2＋1，设直线与x，y轴与分别交于点A，B，抛物线c的顶点为P，当点A，B，P三点构成的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
17．已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．




18．已知抛物线y＝x2+kx+k﹣1．
（1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；
（2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；
（3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围




19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．




20． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点为抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标．
（3）若将沿射线方向平移，平移后的三角形记为，连接，直线交抛物线于点，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点横坐标，若不存在，请说明理由．





21．如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，P为第一象限抛物线上的点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在说明理由








参考答案
1．（1）二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为(1，8)或(1，﹣2)或(1，6)或(1，﹣1)
【分析】
（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）根据函数的表达式取点、描点连线即可画出函数的图象；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵点A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，
∴B（4，5），
把A（-1，0）和B（4，5）代入二次函数y=x2+bx+c中得：
，解得，
∴二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由函数的表达式，取值列表如下：

根据表格数据，绘制函数图象如下：

（3）存在，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴（4-1）2+（m-5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，
解得：m=8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4-1）2+（m-5）2，
解得：m=-2，
∴P（1，-2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴（1+1）2+m2+（4-1）2+（m-5）2=（4+1）2+52，
解得：m=6或-1，
∴P（1，6）或（1，-1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，-2）或（1，6）或（1，-1）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．
2．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）见解析；（3）直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△DNB为等边三角形，求出点N的坐标，利用，求出点M的坐标，进而求解；
（3）由（2）知，,故当点P在x轴上方时，直线NP的表达式为；当点在x轴下方时，证明,即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，
则DN＝BD，∠DNB＝60°，则△DNB为等边三角形，
对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点B的坐标为（3，0），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，故点D（1，2），则点E（1，0），
则EB＝2＝DE，故△DBE为等腰直角三角形，则BD＝，
过点N作直线NP⊥BD交BD于点H，交抛物线于点P，

∵DN＝NB，DE＝BE，则NP为BD的中垂线，
由BC得表达式知，∠OBC＝∠OCB＝45°，则∠PEB＝45°，
故设直线NP的表达式为y＝x+t，
将点E的坐标代入上式得：0＝1+t，解得t＝﹣1，
故直线NP的表达式为y＝x﹣1，
设点N的坐标为（m，m﹣1），
由BN＝DB得：（m﹣3）2+（m﹣1）2＝（）2，解得m＝2±（舍去2+），
故点N的坐标为（2﹣，1﹣）；
过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点K，
设点M的坐标为（s，t），
∵∠DMG+∠KMN＝90°，∠DMG+∠GDM＝90°，
∴∠KMN＝∠GDM，
∴∠MKN＝∠DGM＝90°，MD＝MN，
∴△MKN≌△DGM（AAS），
∴GD＝MK，MG＝KN，
∴，解得，
故点M的坐标为（1﹣，1），
当x＝s＝1﹣时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（1﹣）2+2（1﹣）+3＝1，
故点M在抛物线上；
（3）由（2）知，∠PNB＝30°，
①故当点P在x轴上方时，
直线NP的表达式为y＝x﹣1，
②当点P（P′）在x轴下方时，
∵∠P′NB＝30°，∠BND＝60°，则∠P′ND＝90°，
由点DN的坐标得，直线ND的表达式为y＝（2+）x﹣，
则设直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+r，
将点N的坐标代入上式并解得r＝3﹣，
故直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+3﹣5；
综上，直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，三角形全等，解直角三角形，图形的旋转等，要注意分类求解避免遗漏．
3．（1）2，；（2）点的横坐标或．
【分析】
（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可解答；
（2）根据逆时针旋转角为90°可得 轴时， 轴，设点A1的横坐标为x，然后分点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．
【详解】
解：∵直线：过点，
∴ ，
∴直线的解析式为：，
将代入，得： ，
∴，
将点B、C代入抛物线，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵将绕点沿逆时针方向旋转90°后，得到，
∴ 轴时， 轴，设点A1的横坐标为x，
∵点，
∴ ，
如图2，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，

∴，
解得： ；
如图3，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，
∵直线：与轴交于点A，
∴点A ，即 ，
∴点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大 ，
∴
解得： ，
综上所述，点的横坐标或．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图象上的坐标特征，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，旋转等知识，熟练掌握方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
4．（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）点M坐标（，）；（3）点Q坐标为（1，-）或（1，）或（1，）或（1，）．
【分析】
（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得点C坐标，令y=0则可求得A、B的坐标；
（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=-x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的值，可求得点M坐标；
（3）由（2）可知点N坐标，设点Q坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，可求出m的值，可求得点Q坐标．
【详解】
解：（1）对于y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，
设点P的坐标为（t，-t+3），则点M的坐标为（t，-t2+2t+3），
∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=-(t-)2+，
t=时，PM最大，
此时点M坐标（，）；
（3）∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0），
∴CN=，CQ=，
NQ=，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2，
即()2+(m2-6m+10)=m2+，解得：m=，
此时点Q坐标为（1，）；
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2=CN2，
即（m2-6m+10）+m2+=()2，解得：m1=，m2=，
此时点Q坐标为（1，）或（1，）；
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2=CQ2，
即()2+m2+=（m2-6m+10），解得：m=-，
此时点Q坐标为（1，-）；
综上所述，点Q坐标为（1，-）或（1，）或（1，）或（1，）．
【点拨】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强．
5．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【分析】
（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得的图像与的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式，以及点C的坐标，再根据为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴的“N”函数的表达式为；
（2）


，
同理：，
∴与关于原点成中心对称，
又∵正比例函数的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，
∴的图像与的图像只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得：，
∴，
解得：，，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“N”函数，
则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称，
∵A、B分别是“N”函数y1与y2的图像的顶点，点，
∴点，点O为AB的中点，
∴设（），则，
当时，，
∴点C（0，），
∵C是“N”函数与y轴正半轴的交点，
∴若为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∵AB＝，
∴OC＝，
∴点C的坐标为（0，），
当∠BAC＝90°时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0，）或（0，5）．
【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称是解决本题的关键．
6．（1），；（2）3；（3）的最大值为，点的坐标为；（4）存在，；；；
【分析】
（1）由直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（-1，0）、C（0，-3），将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCH=FH•OB，可求出△BCH的面积；
（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；
（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D（，0），M（，-），由勾股定理求出OM=BM=，由等腰三角形PBM的腰长为或求出OP的长即可得到点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，
当时，
∴
当时，
∴
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
当时，
解得：
∴
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，
∴y=x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点H（1，-4），
当x=1时，y=1-3=-2，
∴F（1，-2），
∴FH=-2-（-4）=2，
∴．
故答案为：3．

（3）由（1）知，直线的解析式是：
设，则
∴
当时，的最大值
∴点的坐标为
（4）存在，如图3，

由（2）得，当ME最大时，则D（，0），M（，−），
∴DO=DB=DM=；
∵∠BDM=90°，
∴OM=BM=．
点P1、P2、P3、P4在x轴上，
当点P1与原点O重合时，则P1M=BM=，P1（0，0）；
当BP2=BM=时，则OP2=，
∴P2（，0）；
当点P3与点D重合时，则P3M=P3B=，
∴P3（，0）；
当BP4=BM=时，则OP4=，
∴P4．
 综上所述，．
【点拨】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．
7．（1），，；（2）存在，，，，，，；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式，然后令y=0，求得x的值，从而求解；
（2）求得直线AD的解析式，然后利用一次函数的性质求得，然后根据等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）根据正方形的性质求得点的坐标是，点的坐标是，然后设平移后的抛物线解析式为，结合二次函数和一次函数的性质联立方程组求解．
【详解】
解：（1）依题意，将点代入，
得，解得，
抛物线的解析式为．
令，得，解得，．
，．
（2）设直线的式为，
将，两点坐标代入得，，解得
直线的解析式为．
如图1，设直线与轴交于点，

令，得，
，
，
过点作轴，过点作轴，
过点作轴，与交于点，
延长至，使，连接，
延长至，使，连接，
延长至，使，连接，
延长至，使，连接，
则，，，，，
为所有符合题意的等腰直角三角形．
，，，，，．
（3）如图2，由（2）可知，
∵在正方形中，A（-1，0），点D（5，6）
∴点的坐标是，点的坐标是，

直线的解析式是，
设平移后的抛物线解析式为，
结合图象可知，当抛物线经过点时，是抛物线平移后与正方形有公共点的最低位置，
将点代入，
得，解得．
当抛物线与边有唯一公共点时，
是抛物线平移后与正方形有公共点的最高位置，
将与联立方程组，
化简，得，
只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得．
的取值范围．
【点拨】本题考查二次函数综合，掌握待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
8．（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）△APC为直角三角形，理由见详解；（3）存在点M的坐标为（，）或（，）
【分析】
（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N（3，﹣2），AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为yx+b，把E（，）代入求出b得到直线EM1的解析式为yx，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程﹣x2+6x﹣5=0，则x1＝1，x2＝5．
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝-x2+6x-5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．
∵C的坐标为（0，-5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1E垂直平分AC
∴M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
∵A（1，0）C（0，-5）
∴AC的解析式为y＝5x﹣5，中点E点坐标为（，），
设直线EM1的解析式为yx+b，
把E（，）代入得b，解得b，
∴直线EM1的解析式为yx，
解方程组得，则M1（，）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3，
∴x，
∴M2（，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（，）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
9．（１）；（２）当时，；（３）存在这样的，理由见解析．
【分析】
（1）将点和代入抛物线中，利用待定系数法解题即可；
（2）令，结合韦达定理解得，根据已知条件可得，由此得到点的坐标，再利用待定系数法解得直线的解析式为：，由两直线平行，斜率相等解得，联立方程组即可解得点，设由方程组解得交点坐标，设与相交于点，作交于点，可知，继而解得点，最后根据结合配方法解题即可；
（3）分当时或当时，或当 时，结合一次函数的性质解题即可．
【详解】
解：（1）将点和代入抛物线中，得


；
（2）令，





设直线的解析式为：，代入点得，

解得


设
在上，



联立方程组
整理得：



设
E为直线BC下方



联立方程组



设与相交于点，作交于点，











当时，；
（3）由（2）知








或（舍去）
即对称轴为：
设





设，代入，得



同理解得
当时，

由公式法解得；
当时，
解得：；
当时，
解得
综上所述，存在这样的．
【点拨】本题考查二次函数的综合，涉及一次函数、一元二次方程的解法、直角三角形的判断等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
10．（Ⅰ）y（x﹣2）2﹣2；（Ⅱ）y（x﹣1）2﹣2；（Ⅲ）①D点坐标为（，）；②y（x﹣4）2﹣2．
【分析】
（Ⅰ）先根据点A（﹣1，0），B（5，0），得到抛物线的对称轴为直线x=2，把A（﹣1，0）代入y=a（x﹣2）2﹣2求出a，得到函数解析式；
（Ⅱ）根据函数的对称性知点A与点B为对称点，得到△ABM是等腰直角三角形，利用M（h，﹣2），列得AB=2×|﹣2|=4，，求出点B的坐标，分两种情况将点A、B的坐标代入求出解析式；
（Ⅲ）①把M（h，﹣2）代入y=x﹣6求出h=4，再解方程组即可求出点D的坐标；
②令x=0求出C（0，16a﹣2），根据CD∥x轴得到16a﹣2，求出a=±，当a时，C、D两点重合，舍去，故a，由此得到函数的解析式．
【详解】
（Ⅰ）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
把A（﹣1，0）代入y=a（x﹣2）2﹣2得a（﹣1﹣2）2﹣2=0，
解得：a，
∴抛物线解析式为y（x﹣2）2﹣2；
（Ⅱ）∵点A与点B为对称点，
∴△ABM是等腰直角三角形，
而M（h，﹣2），
∴AB=2×|﹣2|=4，∴B点坐标为（﹣5，0）或（3，0），
把A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2，得
，解得：h=﹣3，a，
此时抛物线解析式为y（x+3）2﹣2；
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2，得
，解得：h=1，a，
此时抛物线解析式为y（x﹣1）2﹣2；
（Ⅲ）①把M（h，﹣2）代入y=x﹣6得h﹣6=﹣2，解得：h=4，
解方程组得或，∴D点坐标为（，）；
②当x=0时，y=a（0﹣4）2﹣2=16a﹣2，则C（0，16a﹣2）．
∵CD∥x轴，
∴16a﹣2，
解得：a=±，
当a时，C、D两点重合，舍去，
∴a，
∴抛物线解析式为y（x﹣4）2﹣2．
【点拨】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的对称性，等腰直角三角形的性质，一次函数与二次函数图象交点问题，平行于坐标轴的图象上点的特征，这是一道二次函数的综合题．
11．（1）；（2）①， ；②存在，，．
【分析】
（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）先求出直线BC的解析式，设点F的坐标为（、）则点E作标为（、），结合图形得到，在根据二次函数的性质即可求解．
（3）根据图像可得为等腰直角三角形，若要使为等腰直角三角形，则只能是以点F和点C为直角顶点，当以点F为直角顶点时可证四边形CODF是矩形，则点F的纵坐标可求，进而求出点F的坐标；当以点C为直角顶点时，作CG，可得，进而列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线BC的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为：．
设点E为，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大为，此时．
②存在．
∵，，
∴是等腰三角形，
∴．
又∵轴，
∴，
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
（i）当时，
∵轴，，
∴四边形CODF是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去）
∴．
（ii）当时，如图：作于点G，

则，
∴，
解得，（舍去）
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，函数的思想求最值，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
12．（1）yx2x+3；（2），P(，)；（3）存在，Q1(，3)，Q2(﹣1，2)
【分析】
（1）将已知点B（2，0）代入，抛物线对称轴为直线x，即，联立方程组，求出a，b，即可确定二次函数的解析式；
（2）首先根据△PQG是等腰直角三角形，设P（m，m2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PQm2m+3﹣m﹣3m2m，从而得到△PQG周长m2m（m2m）＝（1）（m2m），配方后即可确定其最大值；
（3）利用两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13 ，根据等腰三角形的性质分3类讨论，联立方程组即可求得Q．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x，
∴，解得，
∴yx2x+3．
（2）令y＝0，即x2x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P（m，m2m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQm2m+3﹣m﹣3m2m，
∴当m时，PQmax，此时P（，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长m2m（m2m），
＝（1）（m2m），
＝（1）PQ，
∴△PFG周长的最大值为：（1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，
①当CQ＝CB时，
∴2m2＝13，
∴m1（舍去），m2，
∴Q1（，3）；
②当BQ＝CB时，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴Q2（﹣1，2）；
③当CQ＝BQ时，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m，
∴Q3（，）（不合题意舍去），
综上所述，当Q1（，3），Q2（﹣1，2）时，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．
13．（1）关联，理由见解析；（2）；（3）存在，或，或或，
【分析】
（1）根据两抛物线的关联依次判断即可；
（2）根据两抛物线关联的定义直接列式得出结论；
（3）分当点位于左侧和当点位于右侧，借助关联的意义设出点坐标，表示出点坐标代入抛物线解析式即可求出点坐标．
【详解】
解：（1）由①知，，
抛物线①：的顶点坐标为，
把代入抛物线②：，得，
抛物线①的顶点在抛物线②上，
又由②，
抛物线②的顶点坐标为，
把代入抛物线①中，得，，
抛物线②的顶点在抛物线①上，
抛物线①与抛物线②关联．
（2）抛物线沿轴翻折后抛物线为，
即：，
设平移后的抛物线解析式为，
把，代入得，
，
，
，
（3）①当点位于左侧时，过点作轴于，过点作轴于，如图1，

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠BEC，AC=BC，
（AAS），
，
设，
点在轴下方，
点的纵坐标为；
，
把，代入中得，，
或，
或，，
②当点位于右侧时，
设，同①的方法得出，
将代入中得，，
或，
或，，
即：点的坐标为：或，或或，．
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，分类讨论的思想，理解两抛物线关联是解本题的关键．
14．（1）A（-1，0），B（2，3），；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，理由见解析；（3）
【分析】
（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为，由抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，则，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可．
【详解】
（1）∵点A是直线与轴的交点，
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，

∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线的顶点，
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点
∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，
∴．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．
15．（1）；（2）点P或
【分析】
（1）把点和点代入抛物线进行求解即可；
（2）由（1）易得点B的坐标为，然后可设点P，进而根据题意可分当∠PCB=90°时和当∠PBC=90°时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为：，
∴当y=0时，则有，解得：，
∴点B，
设点P，
当是以为直角边的直角三角形时，可分：
①当∠PCB=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点P；
②当∠PBC=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得：
，
解得（不符合题意，舍去），
∴点P，
综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，此时点P或．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键．
16．（1）(0，﹣1)和(1，0)；（2）x＜或x＞；（3）(0，1)
【分析】
（1）若h＝0，k＝﹣1，则y2＝x2﹣1，联立两个函数表达式并整理得x2﹣x＝0，解一元二次方程即可求出交点坐标；
（2）联立y1＝x﹣1和y2＝（x﹣h）2﹣1并整理得：x2﹣（2h＋1）x＋h2＝0，解得x＝，由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标P(h，h2＋1)，即点P在抛物线y＝x2＋1上，如下图，画出过点AB的圆和抛物线的图象，利用数形结合的方法即可求解．
【详解】
解：（1）若h＝0，k＝﹣1，则y2＝x2﹣1．
联立两个函数表达式

整理得：x2﹣x＝0，解得x＝0或1，
当x＝0时=-1；当x=1时=0
故交点坐标为(0，﹣1)和(1，0)；
（2）联立y1＝x﹣1和y2＝（x﹣h）2﹣1并整理得：x2﹣（2h＋1）x＋h2＝0，
解得x＝，
由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，
则当x＜或x＞时，y2＞y1；
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为P(h，h2＋1)，即点P在抛物线y＝x2＋1上，如下图，画出过点A、B、O的圆和抛物线的图象，

①当∠PAB为直角时，
从图象看，点P的坐标为(0，1)；
②当∠ABP为直角时，
从图象看，直线P′B不可能与y＝x2＋1相交，故点P′不存在；
③当∠ABP″为直角时，
则ABOP″四点共圆，
则点P″是抛物线与圆的交点，
从图象看，抛物线和圆不可能相交，故点P″不存在，
故点P的坐标为(0，1)．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、直角三角形的性质以及一次函数与二次函数的交点问题等，综合性强，难度适中．
17．（1）；（2）存在，当的值最小时，点的坐标为；（3）点的坐标为、、或
【分析】
（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将、代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．

当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
（3）设点的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
②当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
③当时，有，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或．
【点拨】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程．
18．（1）（﹣1，0），（﹣2，0）；（2）见解析；（3）（﹣1，3）或（﹣2.5，1.5）；（4）k≤1．
【分析】
（1）把k＝3代入y＝x2+kx+k﹣1，得到y＝x2+3x+2，令y＝0，得x2+3x+2＝0，再解方程求出x的值，即可求解；
（2）令x2+kx+k﹣1＝0，解方程求得两根有一常数，问题得证；
（3）k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，分两种情形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（4）观察图象可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件，构建不等式，即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1，
∴当k＝3时，y＝x2+3x+2，
令y＝0，得x2+3x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣2，0）．
（2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1，
∴当y＝0时，x2+kx+k﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1﹣k，
∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（﹣1，0）．
（3）解：k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，
令y＝0，可得x2+5x+4＝0，
解得x＝﹣1或﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣1），
令x＝0，得到y＝4，可得C（0，4），
如图1中，

∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，
当∠ABD′＝90°时，AB＝BD′＝3，
∴D′（﹣1，3），
当∠ADB＝90°时，AD＝BD，可得D（﹣2.5，1.5）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣1，3）或（﹣2.5，1.5）．
（4）如图2或图3中，

观察图象可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件，
∴4﹣2k+k﹣1≥2，
∴k≤1，
∴k≤1时，抛物线与线段EF只有一个交点．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线与x轴交点坐标的求法，二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等知识，渗透分类讨论及数形结合的思想．
19．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，﹣1），；（3）存在，m＝5或m＝4或或3
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出解析式；
（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，可以根据轴对称的性质证明此时线段和最小，再利用几何的性质求出此时的周长最小值和点M的坐标；
（3）设点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），然后用m表示出、、，再分类讨论列式求出m的值．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，

又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴，同理，
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和点B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1），
∴此时△AMC的周长的最小值＝AC+AM+MC＝AC+BC＝；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形，
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG 2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF 2＝（m2﹣3m）2，GC 2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，
综上，m＝5或m＝4或或3．
【点拨】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握求二次函数解析式的方法，利用轴对称解决线段和最小值的方法和等腰三角形存在性问题的解决方法．
20．（1）直线的解析式为：；（2）；（3）或或或．
【分析】
（1）根据抛物线与x轴和y轴的交点分别纵坐标为0和横坐标为0求得A、B、C坐标，设直线BC的解析式为：，代入B、C坐标即可求得BC解析式；（2）两三角形均以AB为底，根据A、B坐标求得线段AB长度，根据C点纵坐标可求，再根据已知面积关系可得P点到x轴距离为4，最后讨论P在x轴上下位置都在抛物线上，满足解析式，列式求横坐标即可；（3）根据平移可知，即可得证，通过A点坐标即可求得直线AM的解析式和M点坐标，根据点到点距离公式可求AM距离，P再射线CB上，根据BC直线解析式设，分类讨论 两两相等，再次利用点到点的距离公式即可得出5个P点坐标，因为沿射线方向平移，P点横坐标大于0故舍去．
【详解】
解：（1）当时，抛物线与y轴交于点C，
则，点C坐标为：（0，－3），
当时，抛物线与x轴交于A、B，
∴
解得，，
∴A坐标为：（－1，0），B坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：，则
解得 ，
∴BC的解析式为： ．
（2）由（1）可知A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3），
∴，，
∴，
∵，
∴P到x轴的距离为：，
当P点纵坐标为4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
当P点纵坐标为－4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
∴，此时点的坐标为：（，4）、（，4）或（1，－4）．
（3）存在点，使得为等腰三角形．
∵沿射线方向平移，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴，
设直线AM的解析式为：，且过A（－1，0），
即，解得，
∴直线AM的解析式为：，
联立直线AM与抛物线解析式得：
解得 或，
∴M点坐标为（4，5），
即，
设，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
当时，

解得（舍去），
∴沿射线方向平移，为等腰三角形时，
点横坐标为：或或或．
【点拨】本题主要考查一次函数解析式、二次函数综合、图形的平移、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、坐标系两点间的距离、分类讨论等．这类题目综合性强，难度相对较大，计算繁琐，要求学生对各个知识点都能掌握．
21．（1）；（2）当的面积最大时，求点的坐标为：；（3）在轴上存在点，使是等腰三角形，符合条件的点的坐标为：、、
【分析】
（1）根据抛物线上的、、三点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先根据已知条件设出点的坐标，然后列出的面积关于点的横坐标之间的二次函数关系式，再利用二次函数图像的顶点坐标即可求得答案；
（3）对等腰三角形进行分类讨论，从而确定符合要求的点坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线与轴交于点与点，与轴交于点
∴
∴
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）∵由（1）可知抛物线的函数解析式为：，点为第一象限抛物线上的点
∴设点的坐标为：，其中的取值范围是：
∴过点作，垂足为点，如图：

∴




∴
∵
∴当时，取最大值
∴当时，
∴当的面积最大时，点的坐标为．
（3）①当时，如图：

∵点在轴上
∴设点的坐标为：
∵，
∴
∴点在负半轴上
∴
∴
∴；
②当时，如图：

∴
∵
∴
∴；
③当时，如图：

∵既是等腰三角形，又是直角三角形
∴，
∴．
∴综上所述，在轴上存在点，使是等腰三角形，符合条件的点的坐标为：、、．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、利用面积相等列出二次函数关系式、二次函数图像特征、动点问题、最值问题、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，注意第三问需分类讨论，是一道压轴题，综合性较强，难度较大，是中考常考题目．