2021年河南省南阳市唐河县九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年河南省南阳市唐河县九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下等式成立的是〔    〕
A.              B.              C.              D. 
2.如图，某超市自动扶梯的倾斜角 为 ，扶梯长 为 米，那么扶梯高 的长为〔  〕

A. 米                        B.  米                        C.  米                        D. 米
3.将方程x2﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为〔    〕
A. (x+3)2=﹣2                       B. (x﹣3)2=﹣2                       C. (x﹣3)2=7                       D. (x＋3)2=7
4.在 中，最简二次根式的个数为〔    〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
5.如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，那么以下式子一定正确的选项是〔   〕


6.如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：〔1〕在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；〔2〕量得测角仪的高度 ；〔3〕量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为〔   〕

A.                          B.                          C.                          D. 
7.定义运算： .例如 .那么方程 的根的情况为〔   〕
A. 有两个不相等的实数根           B. 有两个相等的实数根           C. 无实数根           D. 只有一个实数根
8.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，假设正方形BEFG的边长为6，那么C点坐标为〔   〕

A. 〔3，2〕                           B. 〔3，1〕                           C. 〔2，2〕                           D. 〔4，2〕
9.如图，空地上〔空地足够大〕有一段长为 的旧墙 ，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ，木栏总长 ，矩形菜园 的面积为 .假设设 ，那么可列方程〔   〕

A.             B.             C.             D. 
10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．假设AM＝2，那么线段ON的长为〔   〕

A.                                        B.                                        C. 1                                       D. 
二、填空题
11.计算：       .
12.如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝      .

13. ，那么       .
14.如下列图， 是放置在正方形网格中的一个角，那么 的值是      .

15.如图，在 中， ， ， ，E，F分别为 、 上的点，沿直线 将 折叠，使点B恰好落在 上的D处，当 恰好为直角三角形时， 的长为      .

三、解答题
16.计算或解方程：
〔1〕.
〔2〕.
〔3〕.
17.先化简，再求值： ，其中 ， .
18.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°.

〔1〕.求证：△ABD∽△DCE；
〔2〕.假设BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积.
19.关于 的一元二次方程 .
〔1〕求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕假设方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值.
20.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如下列图，他们在地面一条水 平步道 上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 ，然后沿 方向前进 到达点N处，测得点 的仰角为 .测角仪的高度为 ，
〔1〕求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到 .参考数据： )；
〔2〕“景点简介〞显示，观星台的高度为 ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.
21.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．

〔1〕.当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

〔2〕.当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益〔收益=租金﹣各种费用〕为275万元？

22. 
〔1〕〔根底稳固〕
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：AC2＝AD•AB.

〔2〕〔尝试应用〕
如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A.假设BF＝4，BE＝3，求AD的长.

〔3〕〔拓展提高〕
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝ ∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长.
 
23.如图，A，B两点的坐标分别为 ， ，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒.

〔1〕求t的取值范围；
〔2〕假设以O，P，Q为顶点的三角形与 相似，求此时t的值；
〔3〕是否存在t，使得 为等腰三角形？假设存在，请直接写出运动时间t；假设不存在，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，符合题意；
D.∵ ，
∴ 无意义；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB•sinα=9sin31°〔米〕.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的定义，由AC=AB•sinα即可算出答案。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解： x2﹣6x＋2=0 ，
x2﹣6x=-2，
x2﹣6x+9=-2+9，
(x﹣3)2=7 ；
故答案为：C.

【分析】先把常数移到右边，右边根据二次项和一次项配方，两边同加9即可得出结果.
4.【答案】 A
【解析】【解答】解： 不是最简二次根式， 是最简二次根式.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的条件进行分析解答即可．
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEF∽△ACD ，
∴ ，A不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴△CEG∽△CAB ，
∴ ，
∴ ，B不符合题意； ，D不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，符合题意C ．
故答案为：C ．
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD ， △CEG∽△CAB ， 再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
6.【答案】 A
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ,
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据定义得：
 
＞
 原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案.
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ = ，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：〔3，2〕，
应选：A．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：设AD=xm  ，那么AB=(60-x)m ，
由题意，得 .
故答案为：B .
【分析】设AD=xm ，根据题意求出AB=(60-x)m ，再根据矩形ABCD的面积为900m2 ， 列出方程即可.
10.【答案】 C
【解析】【解答】作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= 〔2+ 〕=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ ，即 ，
∴ON=1．
故答案为：C．
【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，那么△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得BM=MH= ，那么AB=2+ ，于是利用正方形的性质得到AC= AB=2 +2，OC= AC= +1，所以CH=AC-AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
二、填空题
11.【答案】 5
【解析】【解答】解： ，
，
=
=5，
故答案为：5.
【分析】根据实数的绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质进行化简，再算乘法，最后合并同类项，即可求解.
12.【答案】 2.4
【解析】【解答】解：∵AC＝2，AE＝5，
∴CE＝3，
∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
∴BD＝2.4，
故答案为：2.4.
【分析】先求出CE的长，再根据两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例得出， 代入数值进行计算，即可求出BD的长.
13.【答案】 3
【解析】【解答】解：设 ，原方程化为：
整理，得 ，
解得， 〔负值不合题意，舍去〕
∴ 3，
故答案为：3.
【分析】设， 把原方程化为， 解方程求出u的值，即可求出的值.
14.【答案】
【解析】【解答】解：如下列图：连接AB，

设小正方形的边长为1，
∴ = =10， ， ，
∴OA2+AB2=OB2,
∴ 是直角三角形，且∠BAO=90°，
∴ ，
故答案为： .
【分析】连接AB，根据勾股定理的逆定理得出△ABO是直角三角形，再根据正弦的定义得出， 即可得出答案.
15.【答案】 或
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=3.
直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，

根据折叠的性质：BE=DE
设BE=x，那么DE=x，AE=10-x
①当∠ADE=90°时，那么DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
②当∠AED=90°时，
那么△AED∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
解得：x= ，
故所求BE的长度为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】根据勾股定理求出BC的长，设BE=x，根据折叠的性质得出DE=x，AE=10-x，分两种情况讨论：①当∠ADE=90°时，DE∥BC，得出 ，②当∠AED=90°时，△AED∽△ACB，得出 ，分别代入得出关于x的方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
三、解答题
16.【答案】 〔1〕解：原式 .
　　　　 .

〔2〕解：原式 .
　　　　

〔3〕解： .

∴ 或 ，
∴ ；
【解析】【分析】〔1〕先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，然后合并同类二次根式，即可求解；
〔2〕首先将特殊角的三角函数值代入，然后计算二次根式的乘法，最后根据有理数的加减法算出答案；
〔3〕利用配方法解方程，首先将常数项移到方程的右边，然前方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4〞，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，再利用直接开平方法求出方程的解即可.
 
17.【答案】 解： ，


.
当 ， 时，
原式 .
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，约分化简；再把a，b的值代入进行计算，即可求解.
18.【答案】 〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
又∵∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE.

〔2〕解：由〔1〕△ABD∽△DCE可得： ，
∴ ，
 ∴4(AB-4)=3AB，
∴AB=16.
过点A作AF⊥BC于F，那么BF= BC=8，

在Rt△ABF中，AF= = ，
∴△ABC的面积为： .
【解析】【分析】〔1〕 根据等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，AB=AC，然后结合及三角形的内角和定理得出∠BAD=∠EDC，即可证出△ABD∽△DCE；
〔2〕 根据相似三角形的性质得出， 得出， 从而求出AB=16，过点A作AF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得出BF=BC=8， 再根据勾股定理求出AF的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积.
 
19.【答案】 〔1〕证明：依题意可得  

故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

〔2〕解：由根与系数的关系可得：
 
由 ，得 ，解得 .
【解析】【分析】〔1〕求出△的值即可证明；〔2〕，根据根与系数的关系得到 ，代入 ，得到关于m的方程，然后解方程即可.
20.【答案】 〔1〕解：如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，

设AD的长为xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=〔16+x〕m，
由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，
∴四边形CNED为矩形，
∴DE=CN=BM= ，
在Rt△ABD中， ，
解得： ，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：观星台最高点 距离地面的高度为12.3m.

〔2〕解：本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，
减小误差的合理化建议：屡次测量，求平均值.
【解析】【分析】〔1〕过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，那么CD=AD=xm，BD=BC+CD=〔16+x〕m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可； 〔2〕根据〔1〕中算的数据和实际高度计算误差，建议是屡次测量求平均值.
21.【答案】 〔1〕解：∵〔130000﹣100000〕÷5000=6，

∴能租出30﹣6=24〔间〕

〔2〕解：设每间商铺的年租金增加x万元，那么每间的租金是〔10+x〕万元，5000元=0.5万元，有 间商铺没有出租，出租的商铺有〔30﹣ 〕间，出租的商铺需要交〔30﹣ 〕×1万元费用，没有出租的需要交 ×0.5万元的费用，

那么〔30﹣ 〕×〔10+x〕﹣〔30﹣ 〕×1﹣ ×0.5=275
2x2﹣11x+5=0
解得：x1=5，x2=0.5
5+10=15万元； 0.5+10=10.5万元
∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元
【解析】【分析】〔1〕直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；〔2〕设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益=租金﹣各种费用=275万元作为等量关系列方程求解即可．

22.【答案】 〔1〕证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB；

〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴ ，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝ ＝ = ，
∴AD＝ ；

〔3〕解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝ ∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝ ∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴ ，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2 ，
∴DE＝ EF，
又∵ ，
∴DG＝ DF=5 ，
∴DC＝DG﹣CG＝5 ﹣2.
【解析】【分析】〔1〕根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论；
〔2〕根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；
〔3〕如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得 ，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝ EF，再根据 ，可推出DG＝ DF=5 ，即可求出答案.
23.【答案】 〔1〕解：由题意得：

解得：

〔2〕解：设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与 相似
， ，
分两种情况讨论：

①如果 ∽ ，那么 ， ，解得
②如果 ∽ ，那么 ， ，解得
故当 或 时，以O，P，Q为顶点的三角形与 相似

〔3〕解：当 或 或 时， 为等腰三角形.提示：当 为等腰三角形时，分三种情况：
①如果 ，那么 ，解得：
②如果 ，如图，过点P作 于F，那么
在 中， ， ， ，
解得：

③如果 ，如图，过点Q作 于F，
那么
在 中， ， ，
，解得：

综上所述：当 或 或 时， 为等腰三角形.
【解析】【分析】〔1〕由点P在OA上运动和点Q在OB上运动，即可求解；
〔2〕如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ＝∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；
〔3〕分三种情况进行讨论：①OP＝OQ；②PO＝PQ；③QO＝QP即可求解.