2021年河南省周口市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年河南省周口市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下二次根式中，最简二次根式是〔   〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
2.一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是〔   〕
A. 有两个不相等的实数根          B. 有两个相等的实数根          C. 只有一个实数根          D. 没有实数根
3.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如下列图．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 与垂直中心线 的夹角为 ，过点B向垂直中心线 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 、 、 的长度，利用测量所得的数据计算 的三角函数值，进而可求 的大小．以下关系式正确的选项是〔    〕

A.                   B.                   C.                   D. 
4.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标是〔   〕

A. (0，4)                             B. (2，﹣2)                             C. (3，﹣2)                             D. (﹣1，4)
5.?九章算术?内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？〞其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，那么木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺？〞〔说明：1丈＝10尺〕设木杆长x尺，依题意，以下方程正确的选项是〔   〕
A. x2＝〔x﹣1〕2+102      B. 〔x+1〕2＝x2+102      C. x2＝〔x﹣1〕2+12      D. 〔x+1〕2＝x2+12
6.α，β是方程x2＋2021x＋1=0的两个根，那么〔1＋2022α＋α2〕〔αβ＋β2〕的值为〔   〕
A. －4040                                 B. 4044                                 C. －2022                                 D. 2021
7.如图，在 中， 的平分线交 于点 交 的延长线于点 于点 ，假设 ，那么 的周长为〔   〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，那么EF的长是 〔    〕

A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
9.如图， 的三个项点均在格点上，那么 的值为〔   〕

A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比〞问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割〞数，把点G称为线段 的“黄金分割〞点．如图，在 中， ， ，假设D ， E是边 的两个“黄金分割〞点，那么 的面积为〔    〕

A.                             B.                             C.                             D. 
二、填空题
11.使 在实数范围内有意义的x的取值范围是________.
12.如果 是关于x的一元二次方程，那么m的值为________.
13.假设 ，那么 ________．
14.在 中，假设 ，那么 的度数是       ．

15.在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为 ．假设点 恰在某一反比例函数图象上，那么该反比例函数的解析式为________．
三、解答题
16.解以下方程：
〔1〕〔配方法〕
〔2〕〔公式法〕
17.计算：
〔1〕
〔2〕
18.关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1 ， x2.
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕假设x13x2+x1x23＝24，求k的值.
19.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，那么安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？〔计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49〕

20.2021年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染， 口罩成为了群众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2021年2月份一盒 口罩价格比2021年1月份上涨了 ，某市民2021年2月3日在某超市订购了一盒 口罩花了52元．
〔1〕问：2021年1月份一盒 口罩的价格为多少元？
〔2〕某超市将进货价为每盒39元的 口罩，按2021年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查说明： 口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售 口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒 口罩的售价应该下降多少元？
21.如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ， ，求 的长.
22.如图，在ΔABC和ΔA'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点， .

〔1〕当 时，求证ΔABC∽ΔA'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

〔2〕当 时，判断ΔABC与ΔA'B'C′是否相似，并说明理由.
23.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.

〔1〕如图1，假设BC＝2BA，求∠CBE的度数；
〔2〕如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
〔3〕如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求 的值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、 =3，故不是最简二次根式；
B、 是最简二次根式；
C、 = ，故不是最简二次根式；
D、 = ，故不是最简二次根式；
故答案为：B.
【分析】满足以下两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备(缺一不可)的二次根式叫最简二次根式。再对各选项逐一判断。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解： ，
 
 
 
＜ ，
 原方程没有实数解.
故答案为：D.
【分析】由题意先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可判断求解.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，

△A′B′C′即为所求，
那么点A的对应点A′的坐标是〔﹣1，4〕.
故答案为：D.
【分析】由平移和旋转的性质可求解.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：如下列图，

依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD，
设木杆长x尺，AC=x尺，那么BC=〔x-1〕尺，在RtΔABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2即
x2=102+(x-1)2.
故答案为：A.
【分析】根据题意画出图形，设木杆长x尺，AC=x尺，那么BC=〔x-1〕尺，在RtΔABC中，由勾股定理可得关于x的方程，解这个方程可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解： 是方程 的两个根，
，
，
那么 ，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】由题意把x=α代入一元二次方程可得α2+2021α+1=0，将等式变形得α2=2021α-1，由一元二次方程的根与系数的关系可得αβ==1，然后把α2和αβ代入所求代数式计算即可求解.
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵
∴AD∥BC，AB//DF
∴∠DAE=∠BEA
∵∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5
∵BG⊥AE
∴AG=EG= AE
∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8
∴
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB∥DF
∴△ABE∽△FCE且相似比为
∴ ,解得 =16.
故答案为A.
【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再结合BG⊥AE，运用勾股定理求得AG，进一步求得AE和△ABE的周长，然后再说明△ABE∽△FCE且相似比为 ，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE= BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：如下列图，连接格点BD，

根据勾股定理可得 ，BC=2，
∴∠BDC=90°，故 ABD为在直角三角形，且 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接格点BD，根据勾股定理可求得BD=CD的值，在直角三角形ABD中，根据tanA=可求解.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，

∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割〞点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
二、填空题
11.【答案】 x≥1
【解析】【解答】∵x-1≥0，
∴x≥1.
故答案是： .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解.
12.【答案】 2
【解析】【解答】解： 是关于x的一元二次方程，
，
解得： .
故答案为： .
【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，根据定义即可列出混合组，求解即可.
13.【答案】
【解析】【解答】由 可设 ， ，k是非零整数，
那么 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的根本性质变形，代入求职即可；
14.【答案】
【解析】【解答】解： 在 中， ，
， ，
， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据几个非负数之和为0，那么每一个数都为0，同时利用特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠C的度数。
15.【答案】
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A〔-2，1〕，
∴点A的对应点A′的坐标是：〔-4，2〕或〔4，-2〕．
设反比例函数的解析式为 ( )，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
三、解答题
16.【答案】 〔1〕解：





∴ ，

〔2〕解：


故a=1，b=2，c=-8
∴△=4+32=36
∴ =
∴x1=-4， .
【解析】【分析】〔1〕由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方〞即可求解；
〔2〕根据一元二次方程的求根公式“x=〞计算即可求解.
17.【答案】 〔1〕解：原式



〔2〕解：原式


【解析】【分析】〔1〕利用特殊角的三角函数值将原式先简化，然后进行实数的运算即可；
〔2〕利用特殊角的三角函数值将原式先简化，然后利用二次根式的性质进行计算即可.
18.【答案】 〔1〕解：由题意可知，∆＝(﹣4)2﹣4×1×(﹣2k+8)≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2

〔2〕解：由题意得： ，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：(﹣2k+8)[42﹣2(﹣2k+8)]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由〔1〕中可知k≥2，
∴k的值为3.
【解析】【分析】〔1〕 根据关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1， x2 ， 可得△≥0，据此解答即得；
〔2〕   由得根据根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8， 然后整体代入得到关于k的一元二次方程，解出k值，利用〔1〕检验即得结论.
19.【答案】 解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，

过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，
在Rt 中，∠AOE＝26°，OA＝10，
那么OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，
 
 
 
 
在Rt 中，∠BAF＝30°，AB＝8，
那么BF＝AB•sin∠BOF＝8× ＝4cm，
∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝〔175+15〕﹣4﹣9＝177cm，
答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．
【解析】【分析】记地面水平线为 ，通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt 和在Rt 中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而求OG即可．
20.【答案】 〔1〕解：设2021年1月份一盒 口罩的价格为 元，依题意得 ．
解得 ．
答：2021年1月份一盒 口罩的价格为40元

〔2〕解：设每盒 口罩的售价应该下降 元，那么每日可售出 盒，依题意，得：
．
解得 ， ．
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以
答：每盒 口罩的售价应该下降2元．
【解析】【分析】〔1〕设2021年1月份一盒 口罩的价格为 元，根据增长率问题得出关于x的一元一次方程，解之即可；〔2〕设每盒 口罩的售价应该下降 元，那么每日可售出 盒，根据总利润=每盒的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可．
21.【答案】 〔1〕证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .

〔2〕解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等〞可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似〞可得出结论；
〔2〕根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
22.【答案】 〔1〕证明：∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵ ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
故应填写： ，∠A＝∠A′

〔2〕解：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′.

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
同理， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵ ，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【解析】【分析】〔1〕根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
〔2〕 如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′. 利用平行线可证△ADE∽△ABC，再证△DCE∽△D′C′E′， 可得 ∠CED＝∠C′E′D′， 根据同角的补角相等，可得∠ACB＝∠A′C′B′， 根据两边成比例且夹角相等的可证△ABC∽△A′B′C′.
23.【答案】 〔1〕解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝ ∠FBC＝15°

〔2〕解：∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴ ，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF＝ ，
∴AF＝ ，
∴BC＝AD＝AF+DF＝

〔3〕解：过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF＝AN+FD，
∴NF＝ AD＝ BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝ BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴ ，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，那么AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2 ，
∴〔2x〕2+〔2y〕2＝〔2x+y〕2 ，
解得y＝ x.
∴BF＝BG+GF＝2x+ x＝ x.
∴ .
【解析】【分析】〔1〕 根据矩形的性质及折叠的性质可得BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，AD∥BC，由BC＝2AB，可得BF＝2AB，继而得出∠AFB＝30°，由AD∥BC可得∠AFB＝∠CBF＝30°， 由∠CBE＝∠FBC即可求出结论；
〔2〕 根据折叠可得∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 由矩形的性质可得∠A＝∠D＝90°，利用同角的余角相等可得∠AFB＝∠DEF， 从而可证 △FAB∽△EDF，可得 ， 据此可求出DE＝2， 从而可得EF= CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，利用勾股定理求出​DF=​，从而求出AF的长，利用BC＝AD＝AF+DF即可求出结论；
〔3〕过点N作NG⊥BF于点G， 先证△NFG∽△BFA，可得， 设AN＝x，根据角平分线的性质可得AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，那么AF＝2y， 利用勾股定理可得 AB2+AF2＝BF2,即得(2x〕2+〔2y〕2＝〔2x+y〕2，  从而得出y＝  x，继而可得BF＝BG+GF＝2x+  x=x，代入 即得结论.