2021年浙江省宁波市九年级上学期数学期中试题含答案

这是一份2021年浙江省宁波市九年级上学期数学期中试题含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题(共10小题，每题4分，共40分)
1.以下函数关系式中，属于二次函数的是〔    〕
A.                   B.                   C.                   D. 
2.如图，在圆 中，圆心角 ，那么圆周角 〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.以下事件中，属于必然事件的是〔    〕
A. 三个点确定一个圆                                              B. 每条边都相等的多边形是正多边形
C. 平分弦的直径垂直于弦                                       D. 直径所对的圆周角是直角
4.浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境〞的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用。其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点。如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转 后能与原图案重合，那么 可以取〔    〕

A. 60                                       B. 90                                       C. 120                                       D. 180
5.如图， ，以下比例式中不正确的选项是〔    〕

A.                 B.                 C.                 D. 
6.如图， ∽ ，且 ，那么 与 的相似比为〔    〕

A. 2:3                                        B. 3:2                                        C. 2:1                                        D. 1:2
7.如图，四边形 内接于圆 ，假设 ，那么 〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.如图， 为半圆的直径，且 . 假设将半圆绕点 顺时针旋转 ，使得点 旋转到点 的位置，那么图中阴影局部的面积为〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
9.如图是抛物线 的局部图象，其对称轴为直线 ，与 轴的交点坐标为 ，以下结论：① ；② ；③方程 的两根分别是0和2；④方程 有一个实根大于2；⑤当 时， 随着 的增大而减小. 其中正确结论的个数是〔    〕

A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
10.如图，扇形 的圆心角的度数为 ，半径长为4， 为弧 上的动点， ，垂足分别为 ， 是 的外心．当点 运动的过程中，点 分别在半径上作相应运动，从点 离开点 时起，到点 到达点 时止，点 运动的路径长〔    〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分)
11.  2021年2月，为了支援武汉抗击“新冠肺炎〞疫情，某医院从自愿报名的5名男医生和3名女医生中随机挑选一名医生去武汉支援，那么选中一名女医生的概率为________.
12.正 边形的一个内角为 ，那么 ________.
13.在一幅比例尺为1:500000的地图中，小王量出学校到体育馆的距离为2.4厘米，那么学校到体育馆的实际距离为________千米.
14.将二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得图象的函数表达式为________.
15.高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运发动会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运发动将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 〔单位：米〕与飞行时间 〔单位：秒〕之间满足函数关系 .那么小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.

16.如图， 是以 为圆心，半径为4的圆的两条弦， ，且点 在 内. 点 是劣弧 上的一个动点，点 分别是 的中点. 那么 的长度的最大值为________.

三、解答题〔共8大题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分〕
17.抛物线 经过点 .
〔1〕求 的值及抛物线的顶点坐标；
〔2〕当 取什么值时， 随着 的增大而减小？
18.三条线段 满足 ，且 .
〔1〕求 的值；
〔2〕假设线段 是线段 和 的比例中项，求 的值.
19.在平面直角坐标系中， 的位置如下列图，其中 ， ， .

〔1〕画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
〔2〕求旋转过程中动点 所经过的路径长〔结果保存 〕.
20.为弘扬我校核心文化——“坿〞文化，积极培育学生“敢进取〞的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球〔数量不详〕，只知其中有5个红球.
〔1〕假设先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件〞，那么 的最大值为________.
〔2〕假设在原来的箱子里再参加3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
21.“筒车〞是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它创造于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在?农政全书?中用图画描绘了“筒车〞的工作原理. 如图，“筒车〞盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米〔即水面下方局部圆上一点距离水面的最大距离〕.

〔1〕求该圆的半径；
〔2〕假设水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，那么水面上涨的高度为多少米？
22.为贯彻落实全市城乡“清爽行动〞暨生活垃圾分类攻坚大会精神，积极创立垃圾分类示范单位，我校举行了一次“垃圾分类〞模拟活动. 我们将常见的生活垃圾分为四类：可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，且应分别投放于4种不同颜色的对应垃圾桶中. 假设在这次模拟活动中，某位同学将两种不同类型的垃圾先后随意投放于2种不同颜色的垃圾桶.
〔1〕请用列表或画树状图表示所有可能的结果数；
〔2〕求这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率.
23.“新冠肺炎〞疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，每瓶消毒液的生产本钱为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，假设销售单价每降低1元，那么每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于本钱且不高于30元.
〔1〕求每天的销售量 〔瓶〕与销售单价 〔元〕之间的函数关系式；
〔2〕求每天的利润 〔元〕与销售单价 〔元〕之间的函数关系式；
〔3〕该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎〞疫情，那么当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24.如图

〔1〕如图①，圆 的半径为2，圆内有一点 ， ，假设弦 过点 ，那么弦 长度的最大值为________；最小值为________；
〔2〕如图②，将 放在如下列图的平面直角坐标系中，点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴上， ， ， ．在 轴上方是否存在点 ，使得 ，且 ？假设存在，请求出点 的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕如图③， 是学校的一块空地示意图，其中 ， 米， 米．现在学校领导想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建“学生劳动教育基地〞．假设学校想建的“学生劳动教育基地〞是四边形 ，且满足 ，你认为学校领导的想法能实现吗？假设能，求出这个四边形“学生劳动教育基地〞面积和周长的最大值；假设不能，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题(共10小题，每题4分，共40分)
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A不符合题意；
B、y=x2+不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=〔x+2〕〔x-1〕-x2=x2+x-2-x2=x-2，此函数是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2-1是二次函数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c〔a≠0〕，y是x的二次函数，再对各选项逐一判断。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，就可求出∠BAC的度数。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、三个点确定一个圆是随机事件，故A不符合题意；
B、每条边都相等的多边形是正多边形是随机事件，故B不符合题意；
C、平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，是必然事件，平分弦的直径垂直于弦是随机事件，故C不符合题意；
D、直径所对的圆周角是直角是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的定义。不在同一直线上的三点确定一个圆，利用正多边形的定义可对B做出判断；利用垂径定理可对C做出判断；利用圆周角定理可对D做出判断。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：由题意得
360°÷3=120°，
故答案为：C.
【分析】观察图形可知转子叶片是正三角形，因此可求出旋转角度。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，
∴， 故A不符合题意；
B、∵AB∥CD∥EF，
∴， B符合题意；
C、∵AB∥CD∥EF，
∴， 故C不符合题意；
D、∵AB∥CD∥EF，
∴， 故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再对各选项逐一判断。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵AD：DB=2：1
∴AD：AB=2：3
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=2：3
∴△ADE与△ABC的相似比为2:3.
故答案为：A.
【分析】由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案。

7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D+∠B=180°
∵∠D=3∠B
∴4∠B=180°
解之：∠B=45°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得到∠D+∠B=180°，再由∠D=3∠B，可求出∠B的度数。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意可知
S阴影局部=S半圆+S扇形-S半圆=S扇形=.
故答案为:A。
【分析】观察图形可知阴影局部的面积等于扇形的面积，再利用扇形的面积公式可求解。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标为〔0，3〕
∴c＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵当x=-1时，a-b+c＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1 
∴x=
∴b=-2a，
∴a-〔-2a〕+c＜0即3a+c＜0，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1
∴点〔0,3〕关于直线x=1的对称点的坐标为〔2,3〕
∴方程ax2+bx+c=3的两个根分别为0和2，故③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为〔x1 ， 0〕
∴-1＜x1＜0
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为〔x2 ， 0〕
∴2＜x2＜3
∴方程ax2+bx+c=0的一个根大于2，故④正确；
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故⑤正确；
正确的个数有4个.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，可确定出a，b，c的取值范围，由此可到abc的取值范围，可对①作出判断；当x=-1时，a-b+c＜0，利用对称轴可得到b=-2a，由此可推出3a+c的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可得到点〔0,3〕关于直线x=1的对称点的坐标为〔2,3〕，由此可得到方程ax2+bx+c=3的两个根，可对③作出判断；抛物线与x轴的一个交点坐标为〔x1 ， 0〕，设抛物线与x轴的另一个交点坐标为〔x2 ， 0〕，利用二次函数的对称性可得到x1 ， x2的取值范围，由此可对④作出判断；根据当x＞1时，y随x的增大而减小，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OP，

当点N与点O重合时，∠P'OA=30°，
∴,
当点M与点O重合时，∠P''OB=30°，
∴，
∵点D是△PMN的外心，
∴点D在线段PM的垂直平分线上，PM⊥OA，
∴点D是OP的中点，
∴OD=2
∴点D运动轨迹是在以点O为圆心，2为半径。圆心角为60° 的弧上，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接OP，由题意可知当点N与点O重合时，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，当点M与点O重合时，同理可求出OD的长；再利用三角形外心的定义可得到点D在线段PM的垂直平分线上，PM⊥OA，同时可求出OD的长，由此可得点D运动轨迹是在以点O为圆心，2为半径。圆心角为60° 的弧上；然后利用弧长公式可求出结果。
二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分)
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵从自愿报名的5名男医生和3名女医生中随机挑选一名医生去武汉支援，
∴P〔选中一名女医生〕=.
故答案为：.
【分析】由题意可知一共有6种结果数，但选中一名女医生有3种情况，再利用概率公式可求解。
12.【答案】 5
【解析】【解答】解：由题意得
〔n-2〕×180°=108°×n、
解之：n=5.
故答案为:5.
【分析】根据正n边形的内角和为〔n-2〕×180°，建立关于n的方程，解方程求出n的值。
13.【答案】 12
【解析】【解答】解：学校到体育馆的实际距离为x千米，根据题意得
1:500000 =2.4×10-5:x
解之：x=12
故答案为：12.
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，建立关于x的方程，解方程求出x的值。
14.【答案】 y=2〔x+1〕2-1
【解析】【解答】解：将二次函数  的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得图象的函数表达式为：y=2〔x-1+2〕2+3-4
∴y=2〔x+1〕2-1.
故答案为：y=2〔x+1〕2-1.
【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式。
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：由题意得
20t-5t2=0
解之：t1=0〔不符合题意〕，t2=4.
∴小球从飞出到落地瞬间所需的时间为4秒.
故答案为：4.
【分析】看了眼条件可知求出当h=0时的t的值，根据题意可得到符合题意的t的值。
16.【答案】
【解析】【解答】解：连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，

∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，    
∴∠HAO=30°
∴OH=OA=×4=2，
在Rt△AOH中，
AH2+OH2=AO2
∴；
∴
当BD时直径时，PN的值最大，
∵点P，M，N分别是BC，AD，CD的中点，
∴MN和PN分别是△ADC和△BCD的中位线，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，利用圆周角定理可及垂径定理可得到∠AOC的度数，同时可证得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的长，从而可得到AC的长，当BD时直径时，PN的值最大；再利用三角形的中位线定理可求出MN，PN的长，然后可得到PN+MN的最大值。
三、解答题〔共8大题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分〕
17.【答案】 〔1〕解：由题意得
-4+2〔m-1〕+m=3
解之：m=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 
∴y=-〔x-1〕2+4
∴抛物线的顶点坐标为〔1，4〕；
〔2〕解：∵a=-1＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小.
【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，解方程求出m的值，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标。
〔2〕利用函数解析式可知a=-1＜0，结合对称轴可得到y随x的增大而减小时自变量x的取值范围。
18.【答案】 〔1〕解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7.
〔2〕解：∵线段  是线段  和  的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=. 
【解析】【分析】设， 用含k的代数式分别表示出a，b，c，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出a，b，c的值。
〔2〕由线段  是线段  和  的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值。
19.【答案】 〔1〕解：如图，

△A1B1C1就是所求作的三角形.
〔2〕解：∵ 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
∴∠CAC1=90°，.
∴点C的运动路线长为.
【解析】【分析】 〔1〕利用旋转的性质，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1即可。
〔2〕由题意可知∠CAC1=90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式可求出点C的运动路线长。
20.【答案】 〔1〕4
〔2〕解：由题意得

解之：n=17.
【解析】【解答】解：〔1〕∵从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件〞，
∴不透明的袋子中至少有一个红球，
∴m的最大值为：5-1=4;
【分析】〔1〕由从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件〞，可得到不透明的袋子中至少有一个红球，因此可求出m的最大值。
〔2〕利用概率公式，由可得到关于n的方程，解方程求出n的值。

21.【答案】 〔1〕解：连接OC，延长CO交AB于点D，

∴CD⊥AB
∴，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即〔r-1〕2+9=r2.
解之：r=5.
∴该圆的半径为5m.
〔2〕解：过点O作OE⊥AB'

∴A'E==4,
∴,
∴水面上涨的高度为5-3=2米.
【解析】【分析】〔1〕连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径。
〔2〕过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度。
22.【答案】 〔1〕解：设四种不同颜色的桶为1，2，3，4，可回收垃圾为a，厨余垃圾为b，有害垃圾为c，其他垃圾为d，
 
a
b
c
d
1
〔1，a〕
〔1，b〕
〔1，c〕
〔1，d〕
2
〔2，a〕
〔2，b〕
〔2，c〕
〔2，d〕
3
〔3，a〕
〔3，b〕
〔3，c〕
〔3，d〕
4
〔4，a〕
〔4，b〕
〔4，c〕
〔4，d〕
由列表可知，一共有16种结果.

〔2〕解：一件垃圾对应一个垃圾桶，
∴一件垃圾投放正确的可能性为；
∴这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率为.
【解析】【分析】〔1〕设四种不同颜色的桶为1，2，3，4，可回收垃圾为a，厨余垃圾为b，有害垃圾为c，其他垃圾为d，列表可得到所有等可能的结果数。
〔2〕由题意可知一件垃圾对应一个垃圾桶，由此可得到一件垃圾投放正确的可能性，然后求出这位同学将两种不同类型的垃圾都正确投放的概率。
23.【答案】 〔1〕解：由题意得
y=〔x-30〕×1000+6000=-1000x+36000.
∴每天的销售量y〔瓶〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式为y=-1000x+36000.
〔2〕解：由题意得
W=〔x-20〕〔-1000x+36000〕=-1000x2+56000x-720000.
∴每天的利润W〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式为W=-1000x2+56000x-720000.
〔3〕解：W=〔x-20〕〔-1000x+36000〕=-1000〔x-28〕2+64000.
∵a=-1000＜0
∴当x=28时，W有最大值为64000.
答：当销售单价为28元时，最大利润是6400元.
【解析】【分析】〔1〕抓住关键的条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，假设销售单价每降低1元，那么每天能多销售1000瓶，由此可得到y与x之间的函数解析式。
〔2〕利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出W与x之间的函数解析式。
〔3〕将〔2〕中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果。
24.【答案】 〔1〕4；
〔2〕解：如图②，作CH⊥AB于H，

∴OH=AB
∵， AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠COB＝30°，OH＝BH＝，
∴OC=2CH
∴CH2+OH2=OC2即
解之：CH=6，
∴
以C为圆心，OC长为半径作⊙C，
过C作x轴的平行线交⊙C于M1 ， M2 ，
那么∠OMB＝∠OCB＝60°，且S△AMB＝S△ABC，
∴点M1 ， M2符合题意，
∵点C的坐标为〔， 6〕，
∴点M1的横坐标为， 点M2的横坐标为，
∴存在点M，坐标为M1〔， 6〕，M2〔， 6〕;
〔3〕解：能.
如图③，

∵∠ABC＝90°，AB＝80米，BC＝60米，
∴
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积和周长取得最大值，
连接DO并延长交AC于H，那么DH⊥AC，AH＝CH，
∴DA＝DC，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝CD＝100，
∵AH＝CH＝50，
∴，
∴这个四边形鱼塘面积最大值为S△ADC+S△ABC=m2.
这个四边形鱼塘周长最大值为AB+BC+AD+DC=80+60+100+100=340米.
【解析】【解答】解：〔1〕∵圆的半径一定，垂线段最短，
∴当OQ⊥AB时，连接OA，

∴AB=2AQ，
∵OQ＝1，OB＝2，
∴
∴
当AB为直径时，弦最长，AB的最大值为4，
故答案为：4，；
【分析】〔1〕利用垂线段最短，可知当OQ⊥AB时，OQ的长最短，利用垂径定理可得到AB=2AQ，利用勾股定理求出AQ的长，即可得到AB的最小值；当B为直径时，弦最长，可求出AB的最大值。
〔2〕如图②，作CH⊥AB于H，利用垂径定理可求出OH=AB，可得到OH的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可证得OC=2CH，再利用勾股定理求出CH的长，即可得到OC的长，以C为圆心，OC长为半径作⊙C，过C作x轴的平行线交⊙C于M1 ， M2 ， 利用三角形的面积公式可知点C的坐标；从而可求出点M1和点M2的横坐标，由此可得到点M的坐标。
〔3〕利用勾股定理求出AC的长，利用圆周角定理求出∠ADC的度数，可得到点D在优弧ADC上运动，由此可得当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积和周长取得最大值；连接DO并延长交AC于H，那么DH⊥AC，AH＝CH，易证△ACD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求处AD，AH的长，利用勾股定理求出DH的长，然后根据这个四边形鱼塘面积最大值为S△ADC+S△ABC ， 利用三角形的面积公式可求出这个四边形鱼塘面积的最大值和这个四边形鱼塘周长最大值。