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2021年浙江省绍兴市九年级上学期数学期中考试试卷含答案
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这是一份2021年浙江省绍兴市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.对于二次函数y=〔x-1〕2+2的图象，以下说法正确的选项是〔 〕
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是〔1，2〕 D. 与x轴有两个交点
2.如下列图圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2cm，假设铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，那么作出的圆的直径是〔 〕
A. 1cm B. 2cm C. 4cm D.
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过屡次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，那么袋子中红球的个数最有可能是〔 〕
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
4.对于函数y=﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是( )
A. x≥﹣1 B. x≥0 C. x≤0 D. x≤﹣1
5.将抛物线 通过平移得到 ，那么以下平移过程正确的选项是〔 〕
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6.对于二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，那么二次函数y＝x2﹣mx﹣5〔m为实数〕的零点的个数是〔 〕
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，点A的坐标是〔－2，3〕，点C的坐标是〔1，2〕，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是〔 〕
A. 〔0，0〕 B. 〔－1，1〕 C. 〔－1，0〕 D. 〔－1，－1〕
8.某建筑物，从10m高的窗口A ， 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状〔抛物线所在的平面与墙面垂直〕，如下列图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，那么水流落地点B离墙的距离OB是〔 〕
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
9.锐角∠AOB如图，〔1〕在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；〔2〕分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；〔3〕连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是〔 〕
A. ∠COM=∠COD B. 假设OM=MN，那么∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD
10.如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，那么函数y＝ax2＋(b－2)x＋c的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11. ，那么 ＝________.
12.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早顶峰期间，乘坐________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大．
13.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E.假设∠CDB=30°，OA=2，那么AB的长为 .
14.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，假设选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，那么选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
15.把球放在长方体纸盒内，球的一局部露出盒外，其截面如下列图，EF=CD=4cm ， 那么球的半径为 cm.
16.如图，直线l： 经过点M(0， )，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)〔n为正整数〕依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1 ， 0)，A2(x2 ， 0)，A3(x3 ， 0)…，An+1(xn+1 ， 0)〔n为正整数〕，设x1＝d〔0＜d＜1〕假设抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线〞.那么当d〔0＜d＜1〕的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 .
三、解答题
17.抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9.
〔1〕求它的对称轴；
〔2〕求它与x轴，y轴的交点坐标.
18.某同学报名参加校运动会，有以下5个工程可供选择：径赛工程：100m，200m， 分别用 、 、 表示 ；田赛工程：跳远，跳高 分别用 、 表示 .
〔1〕该同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为________；
〔2〕该同学从5个工程中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率.
19.如图，二次函数 的图象过A〔2，0〕，B〔0，-1〕和C〔4，5〕三点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕设二次函数的图象与 轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
〔3〕在同一坐标系中画出直线 ，并写出当 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.如图，点A、B的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将 绕A点按逆时针方向旋转90°后得到 .
〔1〕画出 〔不要求写出作法〕；
〔2〕写出点 的坐标；
〔3〕求旋转过程中点B所经过的路径长.
21.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．
〔1〕如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
〔2〕如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
〔3〕在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的根底上上涨x〔x＞0〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W〔元〕，并把结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
40+x
销售量y〔件〕
________
销售玩具获得利润W〔元〕
________
〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得10000元销售利润，那么该玩具销售单价应定为多少元？
〔3〕在〔1〕问条件下，假设玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
23.我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
〔1〕求证：△ABC是半直角三角形；
〔2〕求证：∠DEC=∠DEA；
〔3〕假设点D的坐标为(0，8)，求AE的长.
24.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A ， B两点，BC⊥x轴于点C ， 且点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，AC＝BC.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E是线段AB上一动点〔不与A ， B重合〕，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F ， 当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
〔3〕点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？假设存在，直接写出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】二次函数y=〔x-1〕2+2的图象开口向上，顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
选：C ．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点
2.【答案】 C
【解析】【解答】∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm，
故答案为：C.
【分析】由题意可得圆的半径为AB的长，据此可得直径.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】∵y=﹣x2﹣2x﹣2=﹣〔x+1〕2﹣1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：D.
【分析】首先求出函数的对称轴，然后根据开口方向以及单调性可判断出x的范围.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+1=〔x+2〕2-3，
∴把抛物线y=x2+4x+1向右平移2个单位，向上平移3个单位得到抛物线y=x2.
故答案为：D.
【分析】先把抛物线的解析式化为y=〔x+2〕2-3，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，
二次函数y＝x2﹣mx﹣5，
△＝〔﹣m〕2﹣4×1×〔﹣5〕＝m2+20，
∵m2一定为非负数，
∴m2+20＞0，
∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5〔m为实数〕的零点的个数是2.
故答案为：B.
【分析】易得△=m2+20>0，那么二次函数与x轴的交点个数为2个，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，
∴点M即为这条圆弧所在圆的圆心，
∴ 圆心M的坐标是 〔-1，1〕.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，得出点M即为这条圆弧所在圆的圆心，根据图形即可求解.
8.【答案】 B
【解析】【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A〔0，10〕代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1〔不合题意，舍去〕；
即OB＝3米.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2+， 将点A坐标代入可得a的值，进而得到函数解析式，令y=0，求出x的值即可得到OB的长.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项不符合题意；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项不符合题意；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN= ∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意中作图可知，CM=CD=DN，根据圆周角定理，圆心角定理进行判断。
10.【答案】 A
【解析】【解答】由图可知一元二次方程ax2＋bx＋c=2x有两个不等的正实数根
即y＝ax2＋(b－2)x＋c与x轴正半轴有两个交点.
故答案为：A.
【分析】根据图象可得一元二次方程ax2＋bx＋c=2x有两个不等的正实数根，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行判断.
二、填空题
11.【答案】 -
【解析】【解答】∵ ，
∴可设: ，
∴ .
故答案为: .
【分析】由的等式可将x、y用含k的代数式表示，再代入所求代数式计算即可求解.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为：C．
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 45 分钟的频数最小，所以其频率也最小，从而得出答案。
13.【答案】
【解析】【解答】∵∠CDB=30°，
∴∠COA=60°，∠A=30°，
∴OE= OA=1，
在Rt△AEO中，AE= = = ，
∵OC⊥AB
∴AB=2AE=2 .
故答案为2 .
【分析】由圆周角定理可得∠COA=60°，∠A=30°，那么OE=1，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理可求得AE的值，接下来根据垂径定理进行解答.
14.【答案】
【解析】【解答】根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，那么选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位.
原抛物线的顶点为〔6，4〕，根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为〔 ，4〕，即选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
【分析】选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位，根据原抛物线的顶点坐标结合点的平移规律可得平移后的抛物线的顶点坐标，进而得到抛物线的解析式.
15.【答案】 2.5
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，那么OM=4−x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，那么OM=4−x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
16.【答案】 或
【解析】【解答】直线l： ，
当x＝1时，y＝ ，
即：B1〔1， 〕，
当x＝2时，y＝ ，
即：B2〔2， 〕，
∵A1〔d，0〕，A2〔2﹣d，0〕，
假设B1为直角顶点，那么A1A2的中点〔1，0〕到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝ ，
解得：d＝ ；
同理：假设B2为直角顶点，那么A2A3的中点〔2，0〕到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣〔2﹣d〕＝ ，
解得：d＝ ；
假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】易得B1〔1， 〕，B2〔2， 〕，假设B1为直角顶点，那么1-d＝， 求解可得d的值，同理可求出B2为直角顶点，B3为直角顶点时d的值.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝1，
即该抛物线的对称轴为直线x＝1
〔2〕解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9，
∴当x＝0时，y＝9，
当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
即该抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔3，0〕，与y轴的交点坐标为〔0，9〕
【解析】【分析】〔1〕直接根据对称轴方程进行求解；
〔2〕令抛物线解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
18.【答案】 〔1〕
〔2〕解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的有12种情况，∴恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率为： .
【解析】解：〔1〕∵5个工程中田赛工程有2个，∴该同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为： .
故答案为： ；
【分析】〔1〕根据简单概率的公式即可求解；
〔2〕由题意先画出树状图，由树状图的信息可知， 共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的有12种情况，那么恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率可求解。
19.【答案】 〔1〕解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，-1〕和C〔4，5〕三点，
∴ ，
∴a= ，b=- ，c=-1，
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1
〔2〕解：当y=0时，得 x2- x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为〔-1，0〕
〔3〕解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4
【解析】【分析】〔1〕将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中可得a、b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
〔2〕令二次函数解析式中的y=0，求出c的值，据此可得点D的坐标；
〔3〕根据图象找出一次函数的图象在二次函数图象上方局部所对应的x的范围即可.
20.【答案】 〔1〕解：如下列图，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；
〔2〕解：点C′〔﹣2，5〕
〔3〕解：点B所经过的路径长＝
【解析】【分析】〔1〕首先根据旋转的性质找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点A′、B′、C′的位置，然后连接即可；
〔2〕根据画出的图形可得点C′的坐标；
〔3〕根据弧长公式计算即可.
21.【答案】 〔1〕解：抛物线的解析式为y=ax2+c，
又∵抛物线经过点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，
∴0=256a+8，a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+8〔﹣16≤x≤16〕
〔2〕解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=〔R﹣8〕2+162 ， 解得R=20
〔3〕解：①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，x=OE=16﹣4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，那么OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′= ，
∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4〔米〕
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．
【解析】【分析】〔1〕抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，代入即可求出抛物线解析式；〔2〕设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；〔3〕根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
22.【答案】 〔1〕600﹣10x；﹣10x2+500x+6000或〔10+ x〕〔600﹣10x〕
〔2〕解：列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，
解得：x1＝10，x2＝40．
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润
〔3〕解：销售单价为在40元的根底上上涨x，
根据题意得 ，
解得： ，
W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10〔x﹣25〕2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，
∴当 时，y随x增大而增大，
∴当x＝6时，W最大值＝8640〔元〕，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元
【解析】【解答】解：〔1〕由题意得，销售量为：y=600-10x，
销售玩具获得利润为：W=〔40+x-30〕〔600-10x〕=-10x2+500x+6000；
故答案为：600-10x，-10x2+500x+6000；
【分析】〔1〕根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量为〔600-10x〕件，销售玩具获得利润为-10x2+500x+6000；〔2〕根据获得利润为10000元，列方程求解；〔3〕根据题意得方程组，求得4≤x≤6，根据二次函数的性质得到当4≤x≤6时，y随x增大而增大，于是得到结论．
23.【答案】 〔1〕证明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∵∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形
〔2〕证明：∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
〔3〕解：如图1，连接AM，ME，
设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为〔0，8〕，
∴OM=8﹣r，
由OM2+OA2=MA2得：〔8﹣r〕2+42=r2 ，
解得r=5，
∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，
∴
【解析】【分析】〔1〕由角平分线的概念可得∠ADE=45°，据此判断；
〔2〕由等腰三角形的判定可得AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DBA，由圆周角定理可得 ∠DEB=∠DAB， 进而推出∠DBA=∠DEB，由四点共圆可得∠DBA+∠DEA=180°，由邻补角的性质可得 ∠DEB+∠DEC=180°， 据此解答；
〔3〕连接AM，ME，设⊙M的半径为r，那么OM=8-r，在Rt△OMA中，应用勾股定理可得r的值，由圆周角定理可得∠EMA=2∠ABE=90°，然后利用勾股定理求解即可.
24.【答案】 〔1〕解：∵点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B〔4，5〕，
把A〔﹣1，0〕和B〔4，5〕代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
〔2〕解：如图1，∵直线AB经过点A〔﹣1，0〕，B〔4，5〕，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，
∴EF＝〔t+1〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕＝﹣〔t﹣ 〕2+ ，...8分
∴当t＝ 时，EF的最大值为 ，
∴点E的坐标为〔 ， 〕，
∴S△ABF＝ ＝ ＝
〔3〕解：存在，
∵y＝x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
∴对称轴为直线x=1，
设P〔1，m〕，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得： ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔4+1〕2+52=〔1+1〕2+m2 ，
解得：m=8，
∴P〔1，8〕；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：
∴〔1+1〕2+m2+〔4+1〕2+52=〔4﹣1〕2+〔m﹣52 ，
解得：m=﹣2，
∴P〔1，﹣2〕；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得： ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔1+1〕2+m2=〔4+1〕2+52 ，
解得：m=6或m=﹣1，
∴P〔1，6〕或P〔1，﹣1〕
综上，点P的坐标为〔1，8〕或〔1，﹣2〕或〔1，6〕或〔1，﹣1〕.
【解析】【分析】〔1〕由点A、C的坐标可得AC、OC的值，根据AC=BC可得点B的坐标，然后将点A、B的坐标代入y＝x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
〔2〕利用待定系数法求出直线AB的解析式，设E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2-2t-3〕，表示出EF，然后根据二次函数的性质可得点E的坐标，接下来根据三角形的面积公式计算即可；
〔3〕易得二次函数的对称轴为直线x=1，设P〔1，m〕，然后分①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点，应用勾股定理求出m的值，进而得到点P的坐标.
九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.对于二次函数y=〔x-1〕2+2的图象，以下说法正确的选项是〔 〕
A. 开口向下 B. 对称轴是x=-1 C. 顶点坐标是〔1，2〕 D. 与x轴有两个交点
2.如下列图圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2cm，假设铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，那么作出的圆的直径是〔 〕
A. 1cm B. 2cm C. 4cm D.
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过屡次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，那么袋子中红球的个数最有可能是〔 〕
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
4.对于函数y=﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是( )
A. x≥﹣1 B. x≥0 C. x≤0 D. x≤﹣1
5.将抛物线 通过平移得到 ，那么以下平移过程正确的选项是〔 〕
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6.对于二次函数y＝ax2+bx+c〔a≠0〕，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，那么二次函数y＝x2﹣mx﹣5〔m为实数〕的零点的个数是〔 〕
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，点A的坐标是〔－2，3〕，点C的坐标是〔1，2〕，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是〔 〕
A. 〔0，0〕 B. 〔－1，1〕 C. 〔－1，0〕 D. 〔－1，－1〕
8.某建筑物，从10m高的窗口A ， 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状〔抛物线所在的平面与墙面垂直〕，如下列图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，那么水流落地点B离墙的距离OB是〔 〕
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
9.锐角∠AOB如图，〔1〕在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；〔2〕分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；〔3〕连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是〔 〕
A. ∠COM=∠COD B. 假设OM=MN，那么∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD
10.如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，那么函数y＝ax2＋(b－2)x＋c的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11. ，那么 ＝________.
12.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早顶峰期间，乘坐________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大．
13.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E.假设∠CDB=30°，OA=2，那么AB的长为 .
14.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，假设选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，那么选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
15.把球放在长方体纸盒内，球的一局部露出盒外，其截面如下列图，EF=CD=4cm ， 那么球的半径为 cm.
16.如图，直线l： 经过点M(0， )，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)…Bn(n，yn)〔n为正整数〕依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1 ， 0)，A2(x2 ， 0)，A3(x3 ， 0)…，An+1(xn+1 ， 0)〔n为正整数〕，设x1＝d〔0＜d＜1〕假设抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线〞.那么当d〔0＜d＜1〕的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 .
三、解答题
17.抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9.
〔1〕求它的对称轴；
〔2〕求它与x轴，y轴的交点坐标.
18.某同学报名参加校运动会，有以下5个工程可供选择：径赛工程：100m，200m， 分别用 、 、 表示 ；田赛工程：跳远，跳高 分别用 、 表示 .
〔1〕该同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为________；
〔2〕该同学从5个工程中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率.
19.如图，二次函数 的图象过A〔2，0〕，B〔0，-1〕和C〔4，5〕三点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕设二次函数的图象与 轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
〔3〕在同一坐标系中画出直线 ，并写出当 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.如图，点A、B的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将 绕A点按逆时针方向旋转90°后得到 .
〔1〕画出 〔不要求写出作法〕；
〔2〕写出点 的坐标；
〔3〕求旋转过程中点B所经过的路径长.
21.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．
〔1〕如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
〔2〕如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
〔3〕在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的根底上上涨x〔x＞0〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W〔元〕，并把结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
40+x
销售量y〔件〕
________
销售玩具获得利润W〔元〕
________
〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得10000元销售利润，那么该玩具销售单价应定为多少元？
〔3〕在〔1〕问条件下，假设玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
23.我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
〔1〕求证：△ABC是半直角三角形；
〔2〕求证：∠DEC=∠DEA；
〔3〕假设点D的坐标为(0，8)，求AE的长.
24.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A ， B两点，BC⊥x轴于点C ， 且点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，AC＝BC.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E是线段AB上一动点〔不与A ， B重合〕，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F ， 当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
〔3〕点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？假设存在，直接写出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】二次函数y=〔x-1〕2+2的图象开口向上，顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
选：C ．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为〔1，2〕，对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点
2.【答案】 C
【解析】【解答】∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm，
故答案为：C.
【分析】由题意可得圆的半径为AB的长，据此可得直径.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】∵y=﹣x2﹣2x﹣2=﹣〔x+1〕2﹣1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：D.
【分析】首先求出函数的对称轴，然后根据开口方向以及单调性可判断出x的范围.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+1=〔x+2〕2-3，
∴把抛物线y=x2+4x+1向右平移2个单位，向上平移3个单位得到抛物线y=x2.
故答案为：D.
【分析】先把抛物线的解析式化为y=〔x+2〕2-3，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，
二次函数y＝x2﹣mx﹣5，
△＝〔﹣m〕2﹣4×1×〔﹣5〕＝m2+20，
∵m2一定为非负数，
∴m2+20＞0，
∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5〔m为实数〕的零点的个数是2.
故答案为：B.
【分析】易得△=m2+20>0，那么二次函数与x轴的交点个数为2个，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，
∴点M即为这条圆弧所在圆的圆心，
∴ 圆心M的坐标是 〔-1，1〕.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，得出点M即为这条圆弧所在圆的圆心，根据图形即可求解.
8.【答案】 B
【解析】【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A〔0，10〕代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1〔不合题意，舍去〕；
即OB＝3米.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2+， 将点A坐标代入可得a的值，进而得到函数解析式，令y=0，求出x的值即可得到OB的长.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项不符合题意；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项不符合题意；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN= ∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意中作图可知，CM=CD=DN，根据圆周角定理，圆心角定理进行判断。
10.【答案】 A
【解析】【解答】由图可知一元二次方程ax2＋bx＋c=2x有两个不等的正实数根
即y＝ax2＋(b－2)x＋c与x轴正半轴有两个交点.
故答案为：A.
【分析】根据图象可得一元二次方程ax2＋bx＋c=2x有两个不等的正实数根，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行判断.
二、填空题
11.【答案】 -
【解析】【解答】∵ ，
∴可设: ，
∴ .
故答案为: .
【分析】由的等式可将x、y用含k的代数式表示，再代入所求代数式计算即可求解.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为：C．
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 45 分钟的频数最小，所以其频率也最小，从而得出答案。
13.【答案】
【解析】【解答】∵∠CDB=30°，
∴∠COA=60°，∠A=30°，
∴OE= OA=1，
在Rt△AEO中，AE= = = ，
∵OC⊥AB
∴AB=2AE=2 .
故答案为2 .
【分析】由圆周角定理可得∠COA=60°，∠A=30°，那么OE=1，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理可求得AE的值，接下来根据垂径定理进行解答.
14.【答案】
【解析】【解答】根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，那么选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位.
原抛物线的顶点为〔6，4〕，根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为〔 ，4〕，即选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 .
【分析】选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位，根据原抛物线的顶点坐标结合点的平移规律可得平移后的抛物线的顶点坐标，进而得到抛物线的解析式.
15.【答案】 2.5
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，那么OM=4−x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，那么OM=4−x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
16.【答案】 或
【解析】【解答】直线l： ，
当x＝1时，y＝ ，
即：B1〔1， 〕，
当x＝2时，y＝ ，
即：B2〔2， 〕，
∵A1〔d，0〕，A2〔2﹣d，0〕，
假设B1为直角顶点，那么A1A2的中点〔1，0〕到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1﹣d＝ ，
解得：d＝ ；
同理：假设B2为直角顶点，那么A2A3的中点〔2，0〕到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2﹣〔2﹣d〕＝ ，
解得：d＝ ；
假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】易得B1〔1， 〕，B2〔2， 〕，假设B1为直角顶点，那么1-d＝， 求解可得d的值，同理可求出B2为直角顶点，B3为直角顶点时d的值.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝1，
即该抛物线的对称轴为直线x＝1
〔2〕解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9，
∴当x＝0时，y＝9，
当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
即该抛物线与x轴的交点坐标为〔﹣1，0〕，〔3，0〕，与y轴的交点坐标为〔0，9〕
【解析】【分析】〔1〕直接根据对称轴方程进行求解；
〔2〕令抛物线解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
18.【答案】 〔1〕
〔2〕解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的有12种情况，∴恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率为： .
【解析】解：〔1〕∵5个工程中田赛工程有2个，∴该同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为： .
故答案为： ；
【分析】〔1〕根据简单概率的公式即可求解；
〔2〕由题意先画出树状图，由树状图的信息可知， 共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的有12种情况，那么恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率可求解。
19.【答案】 〔1〕解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，-1〕和C〔4，5〕三点，
∴ ，
∴a= ，b=- ，c=-1，
∴二次函数的解析式为y= x2- x-1
〔2〕解：当y=0时，得 x2- x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为〔-1，0〕
〔3〕解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1＜x＜4
【解析】【分析】〔1〕将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中可得a、b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
〔2〕令二次函数解析式中的y=0，求出c的值，据此可得点D的坐标；
〔3〕根据图象找出一次函数的图象在二次函数图象上方局部所对应的x的范围即可.
20.【答案】 〔1〕解：如下列图，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；
〔2〕解：点C′〔﹣2，5〕
〔3〕解：点B所经过的路径长＝
【解析】【分析】〔1〕首先根据旋转的性质找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的对应点A′、B′、C′的位置，然后连接即可；
〔2〕根据画出的图形可得点C′的坐标；
〔3〕根据弧长公式计算即可.
21.【答案】 〔1〕解：抛物线的解析式为y=ax2+c，
又∵抛物线经过点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，
∴0=256a+8，a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+8〔﹣16≤x≤16〕
〔2〕解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=〔R﹣8〕2+162 ， 解得R=20
〔3〕解：①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，x=OE=16﹣4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，那么OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20，
在Rt△OH F′中，H F′= ，
∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4〔米〕
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．
【解析】【分析】〔1〕抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，代入即可求出抛物线解析式；〔2〕设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；〔3〕根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
22.【答案】 〔1〕600﹣10x；﹣10x2+500x+6000或〔10+ x〕〔600﹣10x〕
〔2〕解：列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，
解得：x1＝10，x2＝40．
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润
〔3〕解：销售单价为在40元的根底上上涨x，
根据题意得 ，
解得： ，
W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10〔x﹣25〕2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，
∴当 时，y随x增大而增大，
∴当x＝6时，W最大值＝8640〔元〕，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元
【解析】【解答】解：〔1〕由题意得，销售量为：y=600-10x，
销售玩具获得利润为：W=〔40+x-30〕〔600-10x〕=-10x2+500x+6000；
故答案为：600-10x，-10x2+500x+6000；
【分析】〔1〕根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量为〔600-10x〕件，销售玩具获得利润为-10x2+500x+6000；〔2〕根据获得利润为10000元，列方程求解；〔3〕根据题意得方程组，求得4≤x≤6，根据二次函数的性质得到当4≤x≤6时，y随x增大而增大，于是得到结论．
23.【答案】 〔1〕证明：∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∵∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形
〔2〕证明：∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
〔3〕解：如图1，连接AM，ME，
设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为〔0，8〕，
∴OM=8﹣r，
由OM2+OA2=MA2得：〔8﹣r〕2+42=r2 ，
解得r=5，
∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，
∴
【解析】【分析】〔1〕由角平分线的概念可得∠ADE=45°，据此判断；
〔2〕由等腰三角形的判定可得AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DBA，由圆周角定理可得 ∠DEB=∠DAB， 进而推出∠DBA=∠DEB，由四点共圆可得∠DBA+∠DEA=180°，由邻补角的性质可得 ∠DEB+∠DEC=180°， 据此解答；
〔3〕连接AM，ME，设⊙M的半径为r，那么OM=8-r，在Rt△OMA中，应用勾股定理可得r的值，由圆周角定理可得∠EMA=2∠ABE=90°，然后利用勾股定理求解即可.
24.【答案】 〔1〕解：∵点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B〔4，5〕，
把A〔﹣1，0〕和B〔4，5〕代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
〔2〕解：如图1，∵直线AB经过点A〔﹣1，0〕，B〔4，5〕，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，
∴EF＝〔t+1〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕＝﹣〔t﹣ 〕2+ ，...8分
∴当t＝ 时，EF的最大值为 ，
∴点E的坐标为〔 ， 〕，
∴S△ABF＝ ＝ ＝
〔3〕解：存在，
∵y＝x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
∴对称轴为直线x=1，
设P〔1，m〕，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得： ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔4+1〕2+52=〔1+1〕2+m2 ，
解得：m=8，
∴P〔1，8〕；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：
∴〔1+1〕2+m2+〔4+1〕2+52=〔4﹣1〕2+〔m﹣52 ，
解得：m=﹣2，
∴P〔1，﹣2〕；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得： ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔1+1〕2+m2=〔4+1〕2+52 ，
解得：m=6或m=﹣1，
∴P〔1，6〕或P〔1，﹣1〕
综上，点P的坐标为〔1，8〕或〔1，﹣2〕或〔1，6〕或〔1，﹣1〕.
【解析】【分析】〔1〕由点A、C的坐标可得AC、OC的值，根据AC=BC可得点B的坐标，然后将点A、B的坐标代入y＝x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得二次函数的解析式；
〔2〕利用待定系数法求出直线AB的解析式，设E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2-2t-3〕，表示出EF，然后根据二次函数的性质可得点E的坐标，接下来根据三角形的面积公式计算即可；
〔3〕易得二次函数的对称轴为直线x=1，设P〔1，m〕，然后分①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点，应用勾股定理求出m的值，进而得到点P的坐标.
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