高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第四章 机械能及其守恒定律第三节 动能 动能定理导学案及答案

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一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能量．
2．表达式：Ek＝eq \f(1,2)mv2.
3．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.
4．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向．
二、动能定理
1．内容：合力对物体所做的功等于物体动能的变化量．
2．表达式：W＝Ek2－Ek1.
3．适用范围：动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
1．判断下列说法的正误．
(1)某物体的速度加倍，它的动能也加倍．( × )
(2)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同．( × )
(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．( √ )
(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零．( × )
(5)物体的动能增加，合外力做正功．( √ )
2．在光滑水平面上，质量为2 kg的物体以2 m/s的速度向东运动，若对它施加一向西的力F使它停下来，则该外力对物体做的功是________．
答案 －4 J
解析 由动能定理可知：WF＝0－eq \f(1,2)mv2＝0－eq \f(1,2)×2×22 J＝－4 J.
一、动能和动能定理
导学探究 如图1，质量为m的物体，在恒定拉力F的作用下，以速度v1开始沿水平面间运动，经位移s后，速度增加到v2，已知物体与水平面的摩擦力恒为f.合外力对物体做的功为多少？
图1
答案 W＝(F－f)s＝eq \f(mav\\al(22)－v\\al(12),2a)＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12.
知识深化
1．动能概念的理解
(1)动能的表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2.
(2)动能是标量，没有负值．
(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应．
(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．
2．动能定理
(1)在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化量．
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是物体动能变化的原因．
①合力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；
③如果合力对物体不做功，则动能不变．
(3)动能定理是功能关系的一种具体体现，物体动能的改变可由合外力做功来量度．
(多选)关于对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能像重力势能一样有正负
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
答案 AC
解析 动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，运动的物体都有动能，A正确；根据Ek＝eq \f(1,2)mv2知，质量为正值，速度是矢量，即使方向发生变化，速度的平方也不可能为负值，则动能也不可能为负值，因此，动能是标量，但不可能为负值，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如匀速圆周运动，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误．
针对训练1 (多选)在下列几种情况中，甲、乙两物体的动能相等的是( )
A．甲的速度是乙的2倍，乙的质量是甲的2倍
B．甲的质量是乙的2倍，乙的速度是甲的2倍
C．甲的质量是乙的4倍，乙的速度是甲的2倍
D．质量相同，速度大小也相同，但甲向东运动，乙向西运动
答案 CD
解析 动能是状态量，是标量，没有方向，根据动能的表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，如果甲的速度是乙的两倍，若甲、乙两物体动能相等，则甲的质量应为乙的eq \f(1,4)，故A错误；同理可判断B错误，C正确；因动能是标量，没有方向，所以只要二者质量相同，速度大小相等，二者的动能就相等，故D对．
下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体所受的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
答案 C
解析 物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体所受的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误．
二、动能定理的简单应用
导学探究 如图2所示，质量为m的物块(可视为质点)从斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高h.
图2
(1)物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功为多少？
(2)物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时动能为多大？
答案 (1)受重力、支持力、摩擦力；重力做功WG＝mgh，支持力做功WN＝0，摩擦力做功Wf＝－μmgcs θ·eq \f(h,sin θ)＝－μmg eq \f(h,tan θ)
(2)物块动能增大，WG＋WN＋Wf＝Ek－0，
则物块到达斜面底端的动能Ek＝mgh－μmg eq \f(h,tan θ)
知识深化
应用动能定理解题的一般步骤：
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．
如图3所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g.求：
图3
(1)从A到B的过程中力F做的功W；
(2)物体在运动过程中的最大动能；
(3)物体的最大滑行距离．
答案 (1)Fxcs θ (2)Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx (3)eq \f(Fxcs θ＋μsin θ,μmg)
解析 (1)由功的公式可求得W＝Fxcs θ.
(2)由题意知：物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段：f＝μFN＝μ(mg－Fsin θ)，
对物体从A点到B点的过程应用动能定理
Fxcs θ－μ(mg－Fsin θ)x＝Ek－0，
即物体在运动过程中的最大动能
Ek＝Fx(cs θ＋μsin θ)－μmgx.
(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的距离为x′，则－μmgx′＝0－Ek
物体的最大滑行距离x总＝x′＋x＝eq \f(Fxcs θ＋μsin θ,μmg).
针对训练2 一辆汽车以v1＝6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6 m，如果以v2＝8 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为( )
A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m
答案 A
解析 急刹车后，车只受摩擦力的作用，且两种情况下摩擦力的大小是相同的，汽车的末速度皆为零，故：
－Fs1＝0－eq \f(1,2)mv12①
－Fs2＝0－eq \f(1,2)mv22②
②式除以①式得eq \f(s2,s1)＝eq \f(v\\al(22),v\\al(12))
s2＝eq \f(v\\al(22),v\\al(12))s1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,6)))2×3.6 m＝6.4 m.
针对训练3 (2019·太原市小店区校级期中)光滑水平面上有一物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，经过时间t1速度达到v，再经过时间t2，速度由v增大到2v，在t1和t2两段时间内，外力F对物体做功之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶4
答案 B
解析 根据动能定理得，第一段过程W1＝eq \f(1,2)mv2；第二段过程W2＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，解得W1∶W2＝1∶3，B正确．
1．(对动能的理解)(多选)关于质量一定的物体的速度和动能，下列说法中正确的是( )
A．物体的速度发生变化时，其动能一定发生变化
B．物体的速度保持不变时，其动能一定保持不变
C．物体的动能发生变化时，其速度一定发生变化
D．物体的动能保持不变时，其速度可能发生变化
答案 BCD
解析 速度v是矢量，速度发生变化时，既可能是只有速度的大小发生变化，也可能是只有速度的方向发生变化，还有可能是速度的大小和方向同时发生变化，而动能Ek是标量，只有速度的大小发生变化时，动能才会发生变化，故B、C、D正确，A错误．
2.(对动能定理的理解)如图4所示，在短道速滑运动中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲，甲获得更大的速度向前冲出．不计冰面阻力，则在乙推甲的过程中( )
图4
A．甲对乙做正功，甲的动能增大
B．甲对乙做正功，乙的动能增大
C．乙对甲做正功，甲的动能增大
D．乙对甲做正功，乙的动能增大
答案 C
解析 甲对乙的作用力方向向后，与乙的速度方向相反，对乙做负功，乙的动能减小；乙对甲的作用力向前，与甲的速度方向相同，对甲做正功，甲的动能增大，故选项C正确，A、B、D错误．
3．(动能定理的简单应用)一质量为1 kg的滑块以6 m/s的初速度在光滑的水平面上向左滑行．从某一时刻起在滑块上施加一个向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为向右，大小仍为6 m/s.在这段时间内水平力对滑块所做的功是( )
A．0 B．9 J
C．18 J D．无法确定
答案 A
解析 在这段时间内只有水平力对滑块做功，根据动能定理可知，W＝eq \f(1,2)m·(－6 m/s)2－eq \f(1,2)m·
(6 m/s)2＝0，选项A正确．
4．(动能定理的简单应用)两个物体A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比( )
A．sA∶sB＝2∶1 B．sA∶sB＝1∶2
C．sA∶sB＝4∶1 D．sA∶sB＝1∶4
答案 B
解析 物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A：－μmAgsA＝0－Ek；对B：－μmBgsB＝0－Ek.故eq \f(sA,sB)＝eq \f(mB,mA)＝eq \f(1,2)，B对．
考点一 对动能和动能定理的理解
1．改变汽车的质量和速率，都能使汽车的动能发生变化，在下面几种情况中，汽车的动能是原来的2倍的是( )
A．质量不变，速率变为原来的2倍
B．质量和速率都变为原来的2倍
C．质量变为原来的2倍，速率减半
D．质量减半，速率变为原来的2倍
答案 D
解析 由Ek＝eq \f(1,2)mv2知，m不变，v变为原来的2倍，Ek变为原来的4倍．同理，m和v都变为原来的2倍时，Ek变为原来的8倍；m变为原来的2倍，速率减半时，Ek变为原来的一半；m减半，v变为原来的2倍时，Ek变为原来的2倍，故选项D正确．
2．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰撞过程中速度的变化和动能的变化分别为( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
答案 AD
解析 由于速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s.而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，故选项A、D正确．
3．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，动能的变化等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况
答案 D
解析 动能的变化等于各个力单独做功的代数和，A错；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，B错；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况，C错，D对．
4．(多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( )
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
答案 AB
解析 第一过程速度增量Δv1＝v，动能增量ΔEk1＝eq \f(1,2)mv2，合外力做功W1＝ΔE1＝eq \f(1,2)mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝eq \f(1,2)m·(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝eq \f(3,2)mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误．
考点二 动能定理的简单应用
5.(2018·全国卷Ⅱ)如图1，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度．木箱获得的动能一定( )
图1
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
答案 A
解析 由题意知，W拉－W阻＝ΔEk，则W拉>ΔEk，A项正确，B项错误；W阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D项错误．
6．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图2所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
图2
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
答案 BC
解析 由功的公式W＝Fscs α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误．
7.如图3所示，左端固定的轻质弹簧被物块压缩，物块被释放后，由静止开始从A点沿粗糙水平面向右运动．离开弹簧后，经过B点的动能为Ek，该过程中，弹簧对物块做的功为W，则物块克服摩擦力做的功Wf为( )
图3
A．Wf＝Ek B．Wf＝Ek＋W
C．Wf＝Ek－W D．Wf＝W－Ek
答案 D
解析 对物块应用动能定理，有W－Wf＝Ek，得Wf＝W－Ek，选项D正确．
8．(多选)质点在恒力作用下，从静止开始做匀加速直线运动，则质点的动能( )
A．与它通过的位移成正比
B．与它通过的位移的平方成正比
C．与它运动的时间成正比
D．与它运动的时间的平方成正比
答案 AD
解析 由动能定理得Fs＝eq \f(1,2)mv2，运动的位移s＝eq \f(1,2)at2，质点的动能在恒力F一定的条件下与质点的位移成正比，与质点运动的时间的平方成正比，故A、D正确．
9．物体沿直线运动的v－t图像如图4所示，已知在第1 s内合力对物体做功为W，则( )
图4
A．从第1 s末到第3 s末合力做功为4W
B．从第3 s末到第5 s末合力做功为－2W
C．从第5 s末到第7 s末合力做功为W
D．从第3 s末到第4 s末合力做功为－0.5W
答案 C
解析 由题图可知物体速度变化情况，根据动能定理得
第1 s内：W＝eq \f(1,2)mv02，从第1 s末到第3 s末：
W1＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv02＝0，A错误；
从第3 s末到第5 s末：
W2＝0－eq \f(1,2)mv02＝－W，B错误；
从第5 s末到第7 s末：
W3＝eq \f(1,2)m(－v0)2－0＝W，C正确；
从第3 s末到第4 s末：
W4＝eq \f(1,2)m(eq \f(v0,2))2－eq \f(1,2)mv02＝－0.75W，D错误．
10.(多选)(2020·湖南师大附中高一下期末)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动．当速度达到vm后，立即关闭发动机而滑行直到停止．v－t图像如图5所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做功为W2.以下关系式正确的是( )
图5
A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3
C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3
答案 BC
解析 对全过程由动能定理可知W1－W2＝0，W1∶W2＝1∶1，故C正确，D错误；W1＝F1s，W2＝F2s′，由题图可知s∶s′＝3∶4，所以F1∶F2＝4∶3，故A错误，B正确．
11．(多选)如图6甲所示，质量m＝2 kg的物体以100 J的初动能在粗糙程度相同的水平地面上滑行，其动能Ek随位移s变化的关系图像如图乙所示，则下列判断中正确的是( )
图6
A．物体运动的总位移大小为10 m
B．物体运动的加速度大小为10 m/s2
C．物体运动的初速度大小为10 m/s
D．物体所受的摩擦力大小为10 N
答案 ACD
解析 由题图乙可知，物体运动的总位移大小为10 m，根据动能定理得，－fs＝0－Ek0，解得f＝eq \f(Ek0,s)＝eq \f(100,10) N＝10 N，故A、D正确；根据牛顿第二定律得，物体的加速度大小a＝eq \f(f,m)＝
eq \f(10,2) m/s2＝5 m/s2，故B错误；由Ek0＝eq \f(1,2)mv2得v＝eq \r(\f(2Ek0,m))＝eq \r(\f(2×100,2)) m/s＝10 m/s，故C正确．
12．(2020·中山市高一检测)冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意图如图7.比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小．设冰壶与冰面间的动摩擦因数μ1＝0.008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减小至μ2＝0.004.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2 m/s的速度沿虚线滑出．为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10 m/s2)
图7
答案 10 m
解析 设冰壶在未被毛刷擦过的地方滑行距离为s1，所受摩擦力大小为f1，在被毛刷擦过的地方滑行距离为s2，所受摩擦力大小为f2，
则有s1＋s2＝s，f1＝μ1mg，f2＝μ2mg
设冰壶初速度为v0，由动能定理得
－f1s1－f2s2＝－eq \f(1,2)mv02
联立以上各式可得s2＝eq \f(2μ1gs－v\\al(02),2gμ1－μ2)
代入数据得s2＝10 m.
13.(2020·鹰潭一中期末)如图8所示，A、B两个材料相同的物体用长为L且不可伸长的水平细线连接在一起放在水平地面上，在水平力F作用下以速度v做匀速直线运动，A的质量是B的2倍，某一瞬间细线突然断裂，保持F不变，仍拉A继续运动距离s0后再撤去，则当A、B都停止运动时，A和B相距多远？
图8
答案 L＋eq \f(3,2)s0
解析 设物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，物体B的质量为m，B从细线断裂到停止运动前进s2，A从细线断裂到停止运动前进s1，对B列动能定理方程，有
－μmgs2＝－eq \f(1,2)mv2
对A列动能定理方程，有
Fs0－μ·2mgs1＝0－eq \f(1,2)×2mv2
细线断裂前，系统处于平衡状态，有F＝μ·3mg
联立上述三个方程可得s1－s2＝eq \f(3,2)s0
当A、B都停止运动时，A、B两物体相距Δs＝L＋s1－s2＝L＋eq \f(3,2)s0.