高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第四章 机械能及其守恒定律本章综合与测试学案及答案

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一、动能定理在平抛运动和圆周运动中的应用
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：
(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：
①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动(杆模型)，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0.
②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动(绳模型)，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝eq \r(gR).
如图1所示，一可以看成质点的质量m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，BC为圆弧的竖直直径，其中B为轨道的最低点，C为轨道的最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m．已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，不计空气阻力，g取10 m/s2.
图1
(1)求小球的初速度v0的大小；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功．
答案 (1)3 m/s (2)－4 J
解析 (1)在A点，由平抛运动规律得
vA＝eq \f(v0,cs 53°)＝eq \f(5,3)v0
小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得
mg(R＋Rcs θ)＝eq \f(1,2)mvA2－eq \f(1,2)mv02
联立解得v0＝3 m/s；
(2)若小球恰好能通过最高点C，在最高点C处有mg＝eq \f(mv\\al(C2),R)，小球从桌面运动到C点的过程中，由动能定理得Wf＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mv02，
代入数据解得Wf＝－4 J.
针对训练 如图2所示，质量为m的小球由静止自由下落距离d后，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，AB是半径为d的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，BC是直径为d的粗糙半圆弧轨道(B是轨道的最低点)．小球恰能通过圆弧轨道的最高点C.重力加速度为g，求：
图2
(1)小球运动到B处时对轨道的压力大小(可认为此时小球处在轨道AB上)；
(2)小球在BC轨道运动过程中，摩擦力对小球做的功．
答案 (1)5mg (2)－eq \f(3,4)mgd
解析 (1)小球由静止运动到B点的过程，
由动能定理得2mgd＝eq \f(1,2)mv2，
在B点，由牛顿第二定律得FN－mg＝meq \f(v2,d)，
联立解得FN＝5mg
根据牛顿第三定律，小球在B处对轨道的压力大小
FN′＝ FN＝5mg；
(2)小球恰能通过C点，则mg＝meq \f(v\\al(C2),\f(d,2)).
小球从B运动到C的过程：
－mgd＋Wf＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mv2，得Wf＝－eq \f(3,4)mgd.
二、利用动能定理分析往复运动问题
1．当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移．计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和．
2．在有空气阻力、摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别：
(1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；
(2)滑动摩擦力(或全部阻力)做功与路径有关，克服摩擦力(或全部阻力)做的功W＝fs(s为路程)．
3．研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节．
4．由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程，一般应用动能定理．
如图3所示，将物体从倾角为θ的斜面上由静止释放，开始向下滑动，到达斜面底端与挡板相碰后，原速率弹回．已知物体开始时距底端高度为h，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求物体从开始到停止通过的路程．
图3
答案 eq \f(h,μcs θ)
解析 物体最终停在挡板处，选从开始运动到停止全过程，由动能定理得
mgh－μmgcs θ·s＝0
物块从开始到停止通过的路程s＝eq \f(h,μcs θ).
1．(动能定理在平抛运动中的应用)如图4所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点的高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
图4
A．运动员踢球时对足球做功eq \f(1,2)mv2
B．足球上升过程重力做功mgh
C．运动员踢球时对足球做功eq \f(1,2)mv2＋mgh
D．足球上升过程克服重力做功eq \f(1,2)mv2＋mgh
答案 C
解析 足球上升过程中足球重力做负功，WG＝－mgh，B、D错误；从运动员踢球到球上升至最高点的过程中，由动能定理得W－mgh＝eq \f(1,2)mv2，故运动员踢球时对足球做的功W＝eq \f(1,2)mv2＋mgh，A错误，C正确．
2．(动能定理在圆周运动中的应用)质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图5所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )
图5
A.eq \f(1,4)mgR B.eq \f(1,3)mgR
C.eq \f(1,2)mgR D．mgR
答案 C
解析 小球通过最低点时，设绳的张力为FT，则
FT－mg＝meq \f(v\\al(12),R)，即6mg＝meq \f(v\\al(12),R)①
小球恰好通过最高点，绳子拉力为零，则有mg＝meq \f(v\\al(22),R)②
小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得
－mg·2R－Wf＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12③
联立①②③式解得Wf＝eq \f(1,2)mgR，故选C.
3.(动能定理在圆周运动中的应用)有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图6所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
图6
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
答案 C
解析 木块的运动速率保持不变，则木块做匀速圆周运动；木块做匀速圆周运动，合外力提供向心力，合外力不为零，故A错误；在下滑过程中，重力做正功，摩擦力做负功，重力和摩擦力的合力沿半径向外，不为零故B、D错误；木块做匀速圆周运动，速度大小不变，则动能不变，根据动能定理可以知道，合外力对木块做功为零，支持力不做功，则重力和摩擦力的合力做的功为零，故C正确．
4.(利用动能定理分析多过程往复运动问题)如图7所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑．一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度沿轨道开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点时速度为0.求：(g取10 m/s2，不计物体经过B、C两点时的动能损耗)
图7
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度大小；
(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)．
答案 (1)0.5 (2)13.3 m/s (3)距B点0.4 m
解析 (1)由A到D，由动能定理得
－mg(h－H)－μmgsBC＝0－eq \f(1,2)mv12
代入题给数据，解得μ＝0.5.
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC轨道上滑动了4次，由动能定理得mgH－μmg·4sBC＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12，
联立并代入题给数据，解得v2＝4eq \r(11) m/s≈13.3 m/s.
(3)分析整个过程，由动能定理得
mgH－μmgs＝0－eq \f(1,2)mv12
联立并代入题给数据，解得s＝21.6 m.
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还要运动1.6 m，故最后停止的位置与B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m.
1.如图1所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧轨道，BC水平，B、C间距离d＝0.50 m，盆边缘的高度h＝0.30 m．在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC与小物块间的动摩擦因数μ＝0.10.小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止位置到B的距离为( )
图1
A．0.50 m B．0.25 m C．0.10 m D．0
答案 D
解析 设小物块在BC面上运动的总路程为s，小物块在BC面上所受的滑动摩擦力大小始终为f＝μmg，对小物块从开始运动到停止运动的整个过程进行研究，由动能定理得mgh－μmgs＝0，得s＝eq \f(h,μ)＝eq \f(0.30,0.10) m＝3 m，d＝0.50 m，则s＝6d，所以小物块最后停在B点，故选D.
2．如图2所示，光滑水平面AB与一半圆轨道在B点相连，半圆形轨道位于竖直面内，其半径为R，一个质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下由静止获得一速度，当它经B点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能沿半圆周运动到达C点，重力加速度为g.求：
图2
(1)弹簧弹力对物块做的功；
(2)物块从B到C克服阻力所做的功；
(3)物块离开C点后，再落回到水平面上时的动能．
答案 (1)3mgR (2)eq \f(1,2)mgR (3)eq \f(5,2)mgR
解析 (1)由动能定理得W＝eq \f(1,2)mvB2－0
在B点由牛顿第二定律得7mg－mg＝meq \f(v\\al(B2),R)
解得W＝3mgR.
(2)物块从B到C由动能定理得
Wf－2mgR＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mvB2
物块在C点时mg＝meq \f(v\\al(C2),R)
解得Wf＝－eq \f(1,2)mgR
即物块从B到C克服阻力做功为eq \f(1,2)mgR.
(3)物块从C点平抛到水平面的过程中，由动能定理得
2mgR＝Ek－eq \f(1,2)mvC2，
解得Ek＝eq \f(5,2)mgR.
3．如图3所示，光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的eq \f(1,4)圆弧，半径R＝0.6 m．一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点平滑连接．当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2.求：
图3
(1)物体运动到C点时的速度大小vC；
(2)A点距离水平面的高度H；
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s.
答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m
解析 (1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得
－mg(h＋R)＝0－eq \f(1,2)mvC2
代入数据解得vC＝4 m/s.
(2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得
mgH－μmglBC＝eq \f(1,2)mvC2－0
代入数据解得H＝1.02 m.
(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得
mgH－μmgs1＝0
代入数据，解得s1＝5.1 m
由于s1＝4lBC＋0.7 m
所以，物体最终停止的位置到C点的距离s＝0.4 m.
4.(2019·温州新力量联盟高一下期中)如图4所示，一长L＝0.45 m、不可伸长的轻绳上端悬挂于M点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球，CDE是一竖直固定的圆弧形轨道，半径R＝0.50 m，OC与竖直方向的夹角θ＝60°，现将小球拉到A点(保持绳绷直且水平)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断(不计此时的速度变化)，小球平抛后，从圆弧轨道的C点沿切线方向进入轨道，刚好能到达圆弧形轨道的最高点E，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
图4
(1)小球到B点时的速度大小；
(2)轻绳所受的最大拉力大小；
(3)小球在圆弧形轨道上运动时克服阻力做的功．
答案 (1)3 m/s (2)30 N (3)8 J
解析 (1)小球从A到B的过程，由动能定理得
mgL＝eq \f(1,2)mv12，解得v1＝3 m/s.
(2)小球在B点时(绳未被拉断前瞬间)，由牛顿第二定律得F－mg＝meq \f(v\\al(12),L)，代入数据，解得F＝30 N，由牛顿第三定律可知，轻绳所受最大拉力大小为30 N.
(3)小球从B到C做平抛运动，从C点沿切线进入圆弧形轨道，由平抛运动规律可得
小球在C点的速度大小v2＝eq \f(v1,cs θ)，解得v2＝6 m/s
小球刚好能到达E点，则mg＝meq \f(v\\al(32),R)，解得v3＝eq \r(5) m/s
小球从C点到E点，由动能定理得－mg(R＋Rcs θ)－Wf＝eq \f(1,2)mv32－eq \f(1,2)mv22，解得Wf＝8 J.
5．(2019·福建师大附中高一下期末)如图5甲所示，半径R＝0.9 m的光滑半圆形轨道BC固定于竖直平面内，最低点B与水平面相切．水平面上有一质量m＝2 kg的物块从A点以某一初速度向右运动，并恰能通过半圆形轨道的最高点C，物块与水平面间的动摩擦因数为μ，且μ随离A点的距离L按图乙所示规律变化，A、B两点间距离L＝1.9 m，g取10 m/s2，求：
图5
(1)物块经过最高点C时的速度大小；
(2)物块经过半圆形轨道最低点B时对轨道压力的大小；
(3)物块在A点时的初速度大小．
答案 (1)3 m/s (2)120 N (3)8 m/s
解析 (1)物块恰好通过C点，由牛顿第二定律可得
mg＝meq \f(v\\al(C2),R)
解得vC＝3 m/s.
(2)物块从B点到C点，由动能定理可得
－mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(C2)－eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝3eq \r(5) m/s
在B点由牛顿第二定律可得
FN－mg＝meq \f(v\\al(B2),R)，解得FN＝120 N.
由牛顿第三定律可知物块通过B点时对轨道压力的大小为120 N.
(3)由题图乙可知摩擦力对物块做的功
Wf＝－eq \f(1,2)×(0.25＋0.75)×1.9mg＝－19 J
物块从A到B，由动能定理得Wf＝eq \f(1,2)mvB2－eq \f(1,2)mvA2
解得物块在A点时的初速度大小vA＝8 m/s.
6．如图6所示为一遥控电动赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图．假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点．已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4 N，赛车质量为
0.4 kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2 W，B、C两点间高度差为0.45 m，赛道AB的长度为2 m，C与圆心O的连线与竖直方向的夹角α＝37°，空气阻力忽略不计，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
图6
(1)赛车通过C点时的速度大小；
(2)电动机工作的时间；
(3)要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，轨道半径R需要满足什么条件？
答案 (1)5 m/s (2)2 s (3)0解析 (1)赛车在BC间做平抛运动，则竖直方向vy＝eq \r(2gh)＝3 m/s
由图可知vC＝eq \f(vy,sin 37°)＝5 m/s.
(2)由(1)可知赛车通过B点时的速度v0＝vCcs 37°＝4 m/s
根据动能定理得Pt－flAB＝eq \f(1,2)mv02，
代入数据解得t＝2 s.
(3)当赛车恰好通过最高点D时，设轨道半径为R0，有：mg＝meq \f(v\\al(D2),R0)
从C到D，由动能定理可知：－mgR0(1＋cs 37°)＝eq \f(1,2)mvD2－eq \f(1,2)mvC2，解得R0＝eq \f(25,46) m
所以轨道半径需满足07．如图7所示，在竖直平面内，长为L、倾角θ＝37°的粗糙斜面AB下端与半径R＝1 m的光滑圆弧轨道BCDE平滑相接于B点，C点是轨道最低点，D点与圆心O等高．现有一质量m＝0.1 kg的小物体(可视为质点)从斜面AB上端的A点无初速度下滑，恰能到达圆弧轨道的D点．若物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，求：
图7
(1)斜面AB的长度L；
(2)物体第一次通过C点时的速度大小vC1；
(3)物体经过C点时，轨道对它的最小支持力FNmin；
(4)物体在粗糙斜面AB上滑行的总路程s总．
答案 (1)2 m (2)2eq \r(5) m/s (3)1.4 N (4)6 m
解析 (1)A到D过程，根据动能定理有
mg(Lsin θ－Rcs θ)－μmgLcs θ＝0
代入数据解得L＝2 m；
(2)物体从A到第一次通过C点过程，根据动能定理有
mg(Lsin θ＋R－Rcs θ)－μmgLcs θ＝eq \f(1,2)mvC12
代入数据解得vC1＝2eq \r(5) m/s；
(3)物体经过C点，轨道对它有最小支持力时，它将在B点所处高度以下运动，
所以有mg(R－Rcs θ)＝eq \f(1,2)mvmin2
根据牛顿第二定律有FNmin－mg＝meq \f(vmin2,R)，
联立并代入数据解得FNmin＝1.4 N；
(4)根据动能定理有mgLsin θ－μmgs总cs θ＝0，
代入数据解得s总＝6 m.