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粤教版 (2019)必修 第二册第三节 动能 动能定理学案设计
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这是一份粤教版 (2019)必修 第二册第三节 动能 动能定理学案设计，共19页。
知识点一 动能
1．定义
物体由于运动而具有的能量叫作动能，用符号Ek表示。
2．表达式
Ek＝12mv2。
3．单位
与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号是J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
由于速度和所选参考系有关，所以动能也与参考系有关。一般选地面为参考系。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)速度大的物体动能也大。( × )
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。( × )
(3)物体的速度变化，其动能一定变化。( × )
知识点二 动能定理 动能定理的应用
1．推导：如图所示，质量为m的物体在光滑的水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。
2．内容：合力对物体做的功等于物体动能的变化量。
3．表达式：W＝Ek2－Ek1。如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。
4．适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到变力作用，或者做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，认为物体在每小段运动中受到力的是恒力，运动的轨迹是直线，把这些小段中力做的功相加，也能得到动能定理。
动能定理中力对物体做的功是指物体所受的一切外力(合外力)对它做的功。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。( √ )
(2)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。( × )
3：填空
一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为_________。
提示：由动能定理得W＝12m-2v2-12 mv2＝32mv2。
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
考点1 动能及动能变化的理解
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
末状态的动能与初状态的动能之差，即
ΔEk＝12mv22-12mv12。
动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。
【典例1】 关于物体的动能，下列说法正确的是( )
A．物体速度变化，其动能一定变化
B．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化
C．物体的动能变化，其运动状态一定发生改变
D．物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大
C [选项A中若物体速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故选项A错误；选项B中物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故选项B错误；选项C中，物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改变，故选项C正确；选项D中，物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故选项D错误。]
动能与物体速度大小有关，与物体速度方向无关，而物体速度变化既可能是大小变化，也可能是方向变化。动能与物体的受力情况无关，仅由质量与速度大小决定。
[跟进训练]
1．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，小球碰墙过程中速度的变化为Δv、动能的变化为ΔEk。则下列说法正确的是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 JD．ΔEk＝0
AD [速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s；而动能是标量，初末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，选项A、D正确。]
考点2 动能定理的理解
1．在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化。
2．W与ΔEk的关系：合外力做功是物体动能变化的原因。
①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体所受合外力不做功。
③如果合外力对物体不做功，则动能不变。
3．物体动能的改变可由合外力做功来度量。
【典例2】 关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时动能增加，当W＜0时动能减少
D [动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，W指的是合外力所做的功，包含重力做功，A错；动能定理适用于任何运动，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功，B错；运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，若合外力方向始终与运动方向垂直，合外力不做功，动能不变，C错；公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时，即Ek2－Ek1>0，动能增加，当 W＜0时，即Ek2－Ek1<0，动能减少，D对。]
对W＝ΔEk的认识
(1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来量度。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。
(3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
[跟进训练]
2．如图所示，质量m＝1 kg的物块在水平向右的拉力作用下，由静止开始沿水平地面向右运动了x＝5 m，在此过程中拉力对物块做功W＝18 J。已知物块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：
(1)物块所受滑动摩擦力的大小；
(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功；
(3)物块位移为5 m时的速度大小。
[解析] (1)摩擦力f＝μmg＝2 N。
(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功Wf＝fx，代入数值解得Wf＝10 J。
(3)物块由静止到位移为5 m的过程，根据动能定理有W－Wf＝12mv2
解得位移为5 m时的速度大小v＝4 m/s。
[答案] (1)2 N (2)10 J (3)4 m/s
考点3 动能定理的应用
1．动能定理与牛顿运动定律的比较
2．优先考虑应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Flcs α只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。
(3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。
【典例3】 如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
思路点拨：物体运动有两个过程，先在斜面上运动，然后在水平面上滑行。解答每个过程可以按以下过程分析：
初、末状态的动能→动能增量→合力做的功→列式求解
[解析] 对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。
方法一 分过程列式：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段FN1＝mgcs 37°
故f1＝μFN1＝μmgcs 37°
由动能定理得：
mgsin 37°·l1－μmgcs 37°·l1＝12mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2
摩擦力f2＝μFN2＝μmg
由动能定理得：－μmg·l2＝0－12mv2
由以上各式可得l2＝3.5 m。
方法二 全过程由动能定理列式：
mgl1sin 37°－μmgl1cs 37°－μmgl2＝0
解得l2＝3.5 m。
[答案] 3.5 m
应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[跟进训练]
3．粗糙的14圆弧的半径为0.45 m，有一质量为0.2 kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B。然后沿水平面前进0.4 m到达C点停止。设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(g取10 m/s2)，求：
(1)物体到达B点时的速度大小；
(2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功。
[解析] (1)对物体进行受力及运动过程分析如图所示。物体从B到C的过程，由动能定理得－μmgx＝0-12mvB2，
解得vB＝2 m/s。
(2)物体从A运动到B的过程，由动能定理得
mgR－Wf＝12mvB2－0，解得Wf＝0.5 J。
[答案] (1)2 m/s (2)0.5 J
1．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．公式Ek＝12mv2中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
[答案] AC
2．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
BC [由功的公式W＝Flcs α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。]
3．(多选)如图所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机作用带动小车前进。若质量为m的小车在平直的水泥路上行驶，某时刻的速度为v0，从该时刻起小车开始加速，经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vmax。设这一过程中电动机的输出功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内牵引力所做的功为( )
A．Pt B．fvmaxt
C．fs D．12mvmax2+fs-12mv0 2
ABD [牵引力的功率恒为P，则牵引力做的功W＝Pt，A正确；当牵引力等于阻力时，小车速度达到最大值，则有P＝fvmax，所以W＝fvmaxt，B正确；小车加速阶段牵引力大于阻力，所以W>fs，C错误；对小车加速阶段，由动能定理得W－fs＝12mvmax2-12mv02,则W＝12mvmax2+fs-12mv02，D正确。]
4．(新情境题，以无人驾驶车刹车为背景，考查动能定理的应用)L4级别完全自动化无人驾驶乘用车将批量生产。有关资料检测表明，当无人驾驶车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，遇到紧急情况需立即刹车(忽略无人驾驶汽车的反应时间)。设该车刹车时产生的加速度大小为8 m/s2。将上述运动简化为匀减速直线运动，直到汽车停下。求在此过程中该无人驾驶汽车：(已知无人驾驶汽车质量为1.8 t)
(1)动能如何变化？
(2)前进的距离x是多少？
[解析] (1)无人驾驶汽车做匀减速直线运动，其速度不断减小，质量不变，由Ek＝12mv2得汽车的动能不断减小。
(2)由牛顿第二定律知受到阻力的大小
f＝ma
解得f＝1.44×104 N
初动能Ek＝12mv2
解得Ek＝3.6×105 J
减速过程由动能定理得－fx＝0－Ek
解得x＝25 m。
[答案] (1)减小 (2)25 m
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是动能？动能的表达式是什么？
提示：物体由于运动而具有的能量；表达式为Ek＝12mv2。
2．动能是矢量还是标量？
提示：标量。
3．动能定理的内容是什么？表达式是什么？
提示：内容：合力对物体做的功等于物体动能的变化量。
表达式为：W＝Ek2－Ek1＝12mv2 2-12mv1 2。
课时分层作业(十四) 动能 动能定理
题组一 动能的理解
1．下面有关动能的说法正确的是( )
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变
C．物体做自由落体运动时，重力做正功，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
C [物体只要速率不变，动能就不变，A错误；动能是标量，不能分解，做平抛运动的物体动能逐渐增大，B错误；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度一定变化，速度变化时，动能不一定变化，故D错误。]
2．改变消防车的质量和速度，能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下，消防车的动能是原来的2倍的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．质量减半，速度增大到原来的4倍
C．速度不变，质量增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
C [设物体的原始质量为2，原始的速度为1，由公式Ek＝12mv2，代入数据得，原始动能Ek＝1。质量不变，则m＝2，速度变为原来的2倍，则v＝2，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek1＝4，动能变为原来4倍，故A错误；质量减半，则m＝1，速度变为原来的4倍，则v＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek2＝8，动能变为原来的8倍，故B错误；速度不变，则v＝1，质量变为原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek3＝2，动能变为原来的2倍，故C正确；速度减半，则v＝12，质量增大到原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek4＝12，动能变为原来的12，故D错误。]
3．人在距地面h高处抛出一个质量为m的小球，落地时小球的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，人对小球做的功是( )
A．12mv2 B．mgh＋12mv2
C．mgh－12mv2D．12mv2－mgh
D [对全过程运用动能定理得mgh＋W＝12mv2－0，解得W＝12mv2－mgh，故D正确，A、B、C错误。]
4．一质点做匀加速直线运动，在通过某段位移s内速度增加了v，动能变为原来的9倍。则该质点的加速度为( )
A．v23s B．v2s
C．3v2sD．v22s
B [设质点的初速度为v0，则动能Ek1＝12mv02，由于末动能变为原来的9倍，则可知末速度为原来的3倍，故v′＝3v0，Δv＝2v0＝v，故平均速度v＝v0+3v02＝2v0＝v，根据位移公式可知，v＝st＝v，根据加速度定义可知a＝Δvt＝v2s，故B正确，A、C、D错误。]
题组二 动能定理的理解
5．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C [力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。]
6．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。]
题组三 动能定理的应用
7．如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A．mv022πL B．mv024πL
C．mv028πL D．mv0216πL
B [在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理－f·2πL＝0-12mv02，可得摩擦力的大小f＝mv024πL。故选B。]
8．物体在合外力作用下做直线运动的v-t图像如图所示，下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
A [由v-t图知0～1 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合外力做正功，A正确；1～2 s内v减小，动能减小，合外力做负功，0～2 s内，合外力做正功，0～3 s内，合外力做功为零，B、C、D错误。]
9．滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑，设下滑时受到的恒定阻力是重力的0.3倍，沙坡长度L为100 m，斜面倾角θ为30°，重力加速度g取10 m/s2，求人滑到斜面底端时的速度大小。
[解析] 人和滑沙板受到重力、支持力和阻力的作用，重力做功为mgLsin θ，支持力不做功，阻力做功为－0.3mgL，初动能为Ek1＝0。
应用动能定理WG＋Wf＝Ek2－Ek1
mgLsin θ－0.3mgL＝12mv2－0
代入数值后，得v＝20 m/s。
[答案] 20 m/s
1．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是( )
A B C D
A [小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，根据动能Ek＝12mv2得Ek＝12m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时，Ek＝12mv2＝mg22t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。]
2．(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为Ek5。已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g。则( )
A．物体向上滑动的距离为Ek2mg
B．物体向下滑动时的加速度大小为g5
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
BC [设物体沿斜面向上滑动的距离为s，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，物体沿斜面上滑过程中，根据动能定理有－mgssin α－μmgscs α＝0－Ek，同理，物体沿斜面下滑过程中有mgssin α－μmgscs α＝Ek5－0，两式联立解得s＝Ekmg，μ＝12，物体沿斜面下滑过程中，根据牛顿第二定律有mgsin α－μmgcs α＝ma下，解得a下＝g5，同理可知物体沿斜面上滑过程的加速度大于下滑过程的加速度，由s＝12at2可知，物体向上滑动所用的时间比向下滑动所用的时间短。B、C正确，A、D错误。]
3．从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(k<1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹。求：
(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少；
(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少。
[解析] (1)设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得
mg(H－h)－kmg(H＋h)＝0，
解得h＝1-k1+kH。
(2)设小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是s，对全过程由动能定理得mgH－kmgs＝0，解得：s＝Hk。
[答案] (1)1-k1+kH (2)Hk
4．如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝6gR，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。
[解析] (1)小球恰好能到达半圆形轨道C，则mg＝mvC2R，得vC＝gR，
从C到A由动能定理得mg·2R＝12mvA2-12mvC2，得vA＝5gR。
(2)AB的距离为xAB＝vCt＝gR×2×2Rg＝2R，
从A出发回到A由动能定理得
－μmgxAB＝12mvA2-12mv02，解得μ＝0.25。
[答案] (1)5gR (2)0.25学习任务
1．知道动能的概念，掌握动能定理的内容及表达式。
2．能够推导动能定理，并能应用动能定理分析求解相关问题。
3．理解动能定理，能用动能定理解释生产、生活中的现象。感受科学的魅力。
比较项
牛顿运动定律与运动学公式结合法
动能定理
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
知识点一 动能
1．定义
物体由于运动而具有的能量叫作动能，用符号Ek表示。
2．表达式
Ek＝12mv2。
3．单位
与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号是J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
由于速度和所选参考系有关，所以动能也与参考系有关。一般选地面为参考系。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)速度大的物体动能也大。( × )
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。( × )
(3)物体的速度变化，其动能一定变化。( × )
知识点二 动能定理 动能定理的应用
1．推导：如图所示，质量为m的物体在光滑的水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。
2．内容：合力对物体做的功等于物体动能的变化量。
3．表达式：W＝Ek2－Ek1。如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。
4．适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到变力作用，或者做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，认为物体在每小段运动中受到力的是恒力，运动的轨迹是直线，把这些小段中力做的功相加，也能得到动能定理。
动能定理中力对物体做的功是指物体所受的一切外力(合外力)对它做的功。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。( √ )
(2)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。( × )
3：填空
一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为_________。
提示：由动能定理得W＝12m-2v2-12 mv2＝32mv2。
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
考点1 动能及动能变化的理解
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
末状态的动能与初状态的动能之差，即
ΔEk＝12mv22-12mv12。
动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。
【典例1】 关于物体的动能，下列说法正确的是( )
A．物体速度变化，其动能一定变化
B．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化
C．物体的动能变化，其运动状态一定发生改变
D．物体的速度变化越大，其动能变化一定也越大
C [选项A中若物体速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故选项A错误；选项B中物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故选项B错误；选项C中，物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改变，故选项C正确；选项D中，物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故选项D错误。]
动能与物体速度大小有关，与物体速度方向无关，而物体速度变化既可能是大小变化，也可能是方向变化。动能与物体的受力情况无关，仅由质量与速度大小决定。
[跟进训练]
1．(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，小球碰墙过程中速度的变化为Δv、动能的变化为ΔEk。则下列说法正确的是( )
A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 JD．ΔEk＝0
AD [速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s；而动能是标量，初末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，选项A、D正确。]
考点2 动能定理的理解
1．在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化。
2．W与ΔEk的关系：合外力做功是物体动能变化的原因。
①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体所受合外力不做功。
③如果合外力对物体不做功，则动能不变。
3．物体动能的改变可由合外力做功来度量。
【典例2】 关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是( )
A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功
B．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，但不适用于变力做功
C．运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，其动能要变化
D．公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时动能增加，当W＜0时动能减少
D [动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，W指的是合外力所做的功，包含重力做功，A错；动能定理适用于任何运动，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功，B错；运动物体所受合外力不为零，则该物体一定做变速运动，若合外力方向始终与运动方向垂直，合外力不做功，动能不变，C错；公式中的Ek2－Ek1为动能的增量，当W＞0时，即Ek2－Ek1>0，动能增加，当 W＜0时，即Ek2－Ek1<0，动能减少，D对。]
对W＝ΔEk的认识
(1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来量度。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。
(3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
[跟进训练]
2．如图所示，质量m＝1 kg的物块在水平向右的拉力作用下，由静止开始沿水平地面向右运动了x＝5 m，在此过程中拉力对物块做功W＝18 J。已知物块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：
(1)物块所受滑动摩擦力的大小；
(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功；
(3)物块位移为5 m时的速度大小。
[解析] (1)摩擦力f＝μmg＝2 N。
(2)该运动过程中物块克服摩擦力所做的功Wf＝fx，代入数值解得Wf＝10 J。
(3)物块由静止到位移为5 m的过程，根据动能定理有W－Wf＝12mv2
解得位移为5 m时的速度大小v＝4 m/s。
[答案] (1)2 N (2)10 J (3)4 m/s
考点3 动能定理的应用
1．动能定理与牛顿运动定律的比较
2．优先考虑应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Flcs α只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。
(3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。
【典例3】 如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
思路点拨：物体运动有两个过程，先在斜面上运动，然后在水平面上滑行。解答每个过程可以按以下过程分析：
初、末状态的动能→动能增量→合力做的功→列式求解
[解析] 对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。
方法一 分过程列式：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段FN1＝mgcs 37°
故f1＝μFN1＝μmgcs 37°
由动能定理得：
mgsin 37°·l1－μmgcs 37°·l1＝12mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2
摩擦力f2＝μFN2＝μmg
由动能定理得：－μmg·l2＝0－12mv2
由以上各式可得l2＝3.5 m。
方法二 全过程由动能定理列式：
mgl1sin 37°－μmgl1cs 37°－μmgl2＝0
解得l2＝3.5 m。
[答案] 3.5 m
应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[跟进训练]
3．粗糙的14圆弧的半径为0.45 m，有一质量为0.2 kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B。然后沿水平面前进0.4 m到达C点停止。设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(g取10 m/s2)，求：
(1)物体到达B点时的速度大小；
(2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功。
[解析] (1)对物体进行受力及运动过程分析如图所示。物体从B到C的过程，由动能定理得－μmgx＝0-12mvB2，
解得vB＝2 m/s。
(2)物体从A运动到B的过程，由动能定理得
mgR－Wf＝12mvB2－0，解得Wf＝0.5 J。
[答案] (1)2 m/s (2)0.5 J
1．(多选)关于动能，下列说法正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．公式Ek＝12mv2中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
[答案] AC
2．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
BC [由功的公式W＝Flcs α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。]
3．(多选)如图所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机作用带动小车前进。若质量为m的小车在平直的水泥路上行驶，某时刻的速度为v0，从该时刻起小车开始加速，经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vmax。设这一过程中电动机的输出功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内牵引力所做的功为( )
A．Pt B．fvmaxt
C．fs D．12mvmax2+fs-12mv0 2
ABD [牵引力的功率恒为P，则牵引力做的功W＝Pt，A正确；当牵引力等于阻力时，小车速度达到最大值，则有P＝fvmax，所以W＝fvmaxt，B正确；小车加速阶段牵引力大于阻力，所以W>fs，C错误；对小车加速阶段，由动能定理得W－fs＝12mvmax2-12mv02,则W＝12mvmax2+fs-12mv02，D正确。]
4．(新情境题，以无人驾驶车刹车为背景，考查动能定理的应用)L4级别完全自动化无人驾驶乘用车将批量生产。有关资料检测表明，当无人驾驶车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，遇到紧急情况需立即刹车(忽略无人驾驶汽车的反应时间)。设该车刹车时产生的加速度大小为8 m/s2。将上述运动简化为匀减速直线运动，直到汽车停下。求在此过程中该无人驾驶汽车：(已知无人驾驶汽车质量为1.8 t)
(1)动能如何变化？
(2)前进的距离x是多少？
[解析] (1)无人驾驶汽车做匀减速直线运动，其速度不断减小，质量不变，由Ek＝12mv2得汽车的动能不断减小。
(2)由牛顿第二定律知受到阻力的大小
f＝ma
解得f＝1.44×104 N
初动能Ek＝12mv2
解得Ek＝3.6×105 J
减速过程由动能定理得－fx＝0－Ek
解得x＝25 m。
[答案] (1)减小 (2)25 m
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是动能？动能的表达式是什么？
提示：物体由于运动而具有的能量；表达式为Ek＝12mv2。
2．动能是矢量还是标量？
提示：标量。
3．动能定理的内容是什么？表达式是什么？
提示：内容：合力对物体做的功等于物体动能的变化量。
表达式为：W＝Ek2－Ek1＝12mv2 2-12mv1 2。
课时分层作业(十四) 动能 动能定理
题组一 动能的理解
1．下面有关动能的说法正确的是( )
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变
C．物体做自由落体运动时，重力做正功，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
C [物体只要速率不变，动能就不变，A错误；动能是标量，不能分解，做平抛运动的物体动能逐渐增大，B错误；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度一定变化，速度变化时，动能不一定变化，故D错误。]
2．改变消防车的质量和速度，能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下，消防车的动能是原来的2倍的是( )
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．质量减半，速度增大到原来的4倍
C．速度不变，质量增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
C [设物体的原始质量为2，原始的速度为1，由公式Ek＝12mv2，代入数据得，原始动能Ek＝1。质量不变，则m＝2，速度变为原来的2倍，则v＝2，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek1＝4，动能变为原来4倍，故A错误；质量减半，则m＝1，速度变为原来的4倍，则v＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek2＝8，动能变为原来的8倍，故B错误；速度不变，则v＝1，质量变为原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek3＝2，动能变为原来的2倍，故C正确；速度减半，则v＝12，质量增大到原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝12mv2，代入数据得动能Ek4＝12，动能变为原来的12，故D错误。]
3．人在距地面h高处抛出一个质量为m的小球，落地时小球的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，人对小球做的功是( )
A．12mv2 B．mgh＋12mv2
C．mgh－12mv2D．12mv2－mgh
D [对全过程运用动能定理得mgh＋W＝12mv2－0，解得W＝12mv2－mgh，故D正确，A、B、C错误。]
4．一质点做匀加速直线运动，在通过某段位移s内速度增加了v，动能变为原来的9倍。则该质点的加速度为( )
A．v23s B．v2s
C．3v2sD．v22s
B [设质点的初速度为v0，则动能Ek1＝12mv02，由于末动能变为原来的9倍，则可知末速度为原来的3倍，故v′＝3v0，Δv＝2v0＝v，故平均速度v＝v0+3v02＝2v0＝v，根据位移公式可知，v＝st＝v，根据加速度定义可知a＝Δvt＝v2s，故B正确，A、C、D错误。]
题组二 动能定理的理解
5．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C [力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。]
6．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。]
题组三 动能定理的应用
7．如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
A．mv022πL B．mv024πL
C．mv028πL D．mv0216πL
B [在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理－f·2πL＝0-12mv02，可得摩擦力的大小f＝mv024πL。故选B。]
8．物体在合外力作用下做直线运动的v-t图像如图所示，下列表述正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
A [由v-t图知0～1 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合外力做正功，A正确；1～2 s内v减小，动能减小，合外力做负功，0～2 s内，合外力做正功，0～3 s内，合外力做功为零，B、C、D错误。]
9．滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑，设下滑时受到的恒定阻力是重力的0.3倍，沙坡长度L为100 m，斜面倾角θ为30°，重力加速度g取10 m/s2，求人滑到斜面底端时的速度大小。
[解析] 人和滑沙板受到重力、支持力和阻力的作用，重力做功为mgLsin θ，支持力不做功，阻力做功为－0.3mgL，初动能为Ek1＝0。
应用动能定理WG＋Wf＝Ek2－Ek1
mgLsin θ－0.3mgL＝12mv2－0
代入数值后，得v＝20 m/s。
[答案] 20 m/s
1．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是( )
A B C D
A [小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，根据动能Ek＝12mv2得Ek＝12m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时，Ek＝12mv2＝mg22t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。]
2．(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为Ek，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为Ek5。已知sin α＝0.6，重力加速度大小为g。则( )
A．物体向上滑动的距离为Ek2mg
B．物体向下滑动时的加速度大小为g5
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
BC [设物体沿斜面向上滑动的距离为s，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，物体沿斜面上滑过程中，根据动能定理有－mgssin α－μmgscs α＝0－Ek，同理，物体沿斜面下滑过程中有mgssin α－μmgscs α＝Ek5－0，两式联立解得s＝Ekmg，μ＝12，物体沿斜面下滑过程中，根据牛顿第二定律有mgsin α－μmgcs α＝ma下，解得a下＝g5，同理可知物体沿斜面上滑过程的加速度大于下滑过程的加速度，由s＝12at2可知，物体向上滑动所用的时间比向下滑动所用的时间短。B、C正确，A、D错误。]
3．从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(k<1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹。求：
(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少；
(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少。
[解析] (1)设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得
mg(H－h)－kmg(H＋h)＝0，
解得h＝1-k1+kH。
(2)设小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是s，对全过程由动能定理得mgH－kmgs＝0，解得：s＝Hk。
[答案] (1)1-k1+kH (2)Hk
4．如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝6gR，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ。
[解析] (1)小球恰好能到达半圆形轨道C，则mg＝mvC2R，得vC＝gR，
从C到A由动能定理得mg·2R＝12mvA2-12mvC2，得vA＝5gR。
(2)AB的距离为xAB＝vCt＝gR×2×2Rg＝2R，
从A出发回到A由动能定理得
－μmgxAB＝12mvA2-12mv02，解得μ＝0.25。
[答案] (1)5gR (2)0.25学习任务
1．知道动能的概念，掌握动能定理的内容及表达式。
2．能够推导动能定理，并能应用动能定理分析求解相关问题。
3．理解动能定理，能用动能定理解释生产、生活中的现象。感受科学的魅力。
比较项
牛顿运动定律与运动学公式结合法
动能定理
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
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