2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷3，共38页。
2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷3
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋•宝安区校级期中）以下实数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．
2．（2021秋•宝安区校级期中）下列计算错误的是（　　）
A．﹣|﹣|＝ B． C．＝﹣3 D．＝3
3．（2021秋•福田区校级期中）下列式子一定成立的是（　　）
A．﹣2 B．+2
C． D．
4．（2021秋•宝安区期中）下列判断正确的个数是（　　）
①无理数是无限小数；②4的平方根是±2；③立方根等于它本身的数有3个；④与数轴上的点一一对应的数是实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021秋•罗湖区校级期中）对任意非零数m，直线y＝mx+2﹣5m，都经过一定点，则定点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（1，2） C．（5，2） D．（2，﹣2）
6．（2021秋•罗湖区校级期中）已知x2++4＝4x，则代数式：的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．（2021秋•罗湖区校级期中）已知，则＝（　　）
A． B． C．1 D．
8．（2021秋•宝安区校级期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，14，15 D．1，1，
9．（2021秋•福田区校级期中）已知点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴距离分别是4个单位、3个单位，则点P的坐标（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
10．（2021秋•宝安区期中）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
11．（2021秋•福田区校级期中）在下列哪两个连续自然数之间（　　）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
12．（2021秋•罗湖区校级期中）当a＜0，b＞0函数y＝ax+b与y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋•福田区校级期中）如图，将长方形ABCD的长AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，若AB＝6，AD＝10，则CE＝　 　．

14．（2021秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝　 　．

15．（2021秋•宝安区校级期中）已知（a+1）2+＝0，则a+b＝　 　．
16．（2021秋•龙岗区校级期中）若关于x、y的方程组的解满足3x﹣5y﹣7＝0，那么a的值是　 　．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•宝安区校级期中）计算
（1）；
（2）；
（3）﹣4；
（4）（）（）．
18．（2021秋•龙岗区校级期中）计算题
（1）++
（2）﹣+．
19．（2021秋•宝安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），C（5，4）．
（1）请在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△DEF，并写出对应点的坐标D　 　，E　 　，F　 　．
（2）若点P（m，n）为△ABC上的任意一点，则其在△DEF上的对应点P′的坐标为　 　（用字母m、n表示）．

20．（2021秋•福田区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，多边形ABCDEF是坐标系内的一个零件图．请回答下列问题：
（1）A点坐标是（﹣2，4），则你认为D点的坐标应为　 　．
（2）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，请你在原坐标系内画出所得的新的多边形A1B1C1D1E1F1．
（3）若小明同学另建立一个直角坐标系，使D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），则这时A点坐标是　 　．
（4）小明也按（2）的要求在他自己建立的坐标系中画了一个新多边形，小明所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1是否全等？　 　（填“全等“或“不全等“）．

21．（2021秋•宝安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A （0，6）、B （8，0），点C为x轴正半轴上一点，连接AC，将△ABC沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使S△COP＝；
（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，请求出DQ的最小值，若不存在，请说明理由．

22．（2021秋•龙岗区校级期中）如图1，直线AB：y＝x+8与x轴、y轴分别交于A、D两点，点B的横坐标为3，点C（9，0），连接BC，点E是y轴正半轴上一点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在x轴上的点D1处．
（1）求点E的坐标；
（2）连接EC，点F（m，0）、G（m+2，0）为x轴上两点，其中3＜m＜7．过点F作FF1⊥x轴交BC于点F1，交EC于点M；过点G作GG1⊥x轴交BC于点G1，交EC于点N，当F1M+G1N＝10时，求m的值；
（3）如图2，在等边△PQR中，PR⊥x轴且PR＝4，点（Q、R在x轴上方），△PQR从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动的时间为t，当t为何值时，点Q到直线AC和直线AB的距离相等？

23．（2021秋•福田区校级期中）如图1，正方形OABC，其中O是坐标原点，点A（3，1）．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）对于两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2，若有k1•k2＝﹣1，则可得l1⊥l2．比如：l1：y1＝x+1和l2：y2＝﹣x+3，因为，所以l1⊥l2．
连接AC、OB，已知AC交y轴于点M，证明：AC、OB所在的直线互相垂直；
（3）如图2，已知点D在第四象限，AD∥y轴，且AD＝3，P是直线OB上一点，连接PA、PD、AD，求△PAD的周长最小值．

24．（2021秋•宝安区期中）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；
（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．


2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋•宝安区校级期中）以下实数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．
【考点】算术平方根；立方根；无理数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A.3.1415是有限小数，属于有理数；
B.是分数，属于有理数；
C.，是整数，属于有理数；
D.，是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2021秋•宝安区校级期中）下列计算错误的是（　　）
A．﹣|﹣|＝ B． C．＝﹣3 D．＝3
【考点】立方根；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据算术平方根的概念、立方根的概念、二次根式的性质计算，判断即可．
【解答】解：A、﹣|﹣|＝﹣，本选项计算错误；
B、＝4，本选项计算正确；
C、＝﹣3，本选项计算正确；
D、＝3，本选项计算正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、立方根的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2021秋•福田区校级期中）下列式子一定成立的是（　　）
A．﹣2 B．+2
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘除法法则计算，判断即可．
【解答】解：＝|a2﹣2|，A不一定成立；
＝a2+2，B一定成立；
当a≥﹣1时，＝•，C不一定成立；
当a≥0，b＞0时，＝，D不一定成立；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
4．（2021秋•宝安区期中）下列判断正确的个数是（　　）
①无理数是无限小数；②4的平方根是±2；③立方根等于它本身的数有3个；④与数轴上的点一一对应的数是实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】实数；实数与数轴．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】分别根据无理数的定义以及平方根和立方根的定义和数轴的意义分别分析得出即可．
【解答】解：①无理数是无限小数；正确；
②4的平方根是±2；正确；
③立方根等于它本身的数有3个；正确；
④与数轴上的点一一对应的数是实数，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、立方根、数轴的定义、无理数的定义等知识，熟练根据定义分析得出是解题关键．
5．（2021秋•罗湖区校级期中）对任意非零数m，直线y＝mx+2﹣5m，都经过一定点，则定点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（1，2） C．（5，2） D．（2，﹣2）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【分析】将一次函数解析式变形为y＝m（x﹣5）+2，由m为任意数，可代入x＝5找出y的值，此题得解．
【解答】解：∵y＝mx+2﹣5m＝m（x﹣5）+2，
∴当x＝5时，y＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
6．（2021秋•罗湖区校级期中）已知x2++4＝4x，则代数式：的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式．
【分析】先根据已知等式得出（x﹣2）2+＝0，再由非负数的性质可求得x、y的值，代入计算即可．
【解答】解：∵x2++4＝4x，
∴（x﹣2）2+＝0，
则x﹣2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝2，y＝1，
∴＝+2＝2.5，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握非负数的性质和分式的求值．
7．（2021秋•罗湖区校级期中）已知，则＝（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】分式的值；解三元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】分式．
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组得到x＝3z，y＝2z，然后把x＝3z，y＝2z代入所求的代数式中进行计算．
【解答】解：解，得，x＝3z，y＝2z，
把x＝3z，y＝2z代入得，
原式＝＝，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的值、解二元一次方程组：利用代入消元或加减消元法，把解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程．
8．（2021秋•宝安区校级期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，14，15 D．1，1，
【考点】勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】解：A、42+32＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
C、72+142≠152，不能构成直角三角形，符合题意；
D、12+12＝（）2，能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
9．（2021秋•福田区校级期中）已知点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴距离分别是4个单位、3个单位，则点P的坐标（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
【考点】点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度判断出点P的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度进而得出答案．
【解答】解：∵点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴距离分别是4个单位、3个单位，
∴点P的纵坐标为﹣4，点P的横坐标为3，
∴点P的坐标为（3，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，点到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
10．（2021秋•宝安区期中）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A＝∠B+∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、a2+b2＝c2，是直角三角形，错误；
B、∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项正确；
D、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
11．（2021秋•福田区校级期中）在下列哪两个连续自然数之间（　　）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】实数．
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1在3和4之间．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
12．（2021秋•罗湖区校级期中）当a＜0，b＞0函数y＝ax+b与y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】数形结合；一次函数及其应用．
【分析】根据a、b的取值范围判定0函数y＝ax+b与y＝bx+a所经过的象限，从而得到正确的答案．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，函数y＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，观察图象，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋•福田区校级期中）如图，将长方形ABCD的长AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，若AB＝6，AD＝10，则CE＝　　．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称．
【分析】由翻折的性质得到AF＝AD＝10，在RT△ABF中利用勾股定理求出BF的长，进而求出CF的长，再根据勾股定理可求EC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝90°，
∵△AEF是由△ADE翻折，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△ABF中，AF＝10，AB＝6，
∴BF＝＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2．
∵EF2＝EC2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+4
∴EF＝DE＝
∴EC＝CD﹣DE＝，
故答案为：
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质、勾股定理等知识，熟练运用折叠的性质是解决问题的关键．
14．（2021秋•南山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝3，点C，D在第一象限．则O、D两点的距离＝　　．

【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形．
【分析】过点D作DF⊥OA于点F，由“AAS“可证△DFA≌△AOB，可得DF＝AO＝4，OB＝AF＝3，由勾股定理可求O、D两点的距离．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥OA于点F，

∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠DAB＝90°
∴∠DAF+∠BAO＝90°，且∠BAO+∠ABO＝90°
∴∠DAF＝∠ABO，且AD＝AB，∠DFA＝∠AOB＝90°
∴△DFA≌△AOB（AAS）
∴DF＝AO＝4，OB＝AF＝3
∴OF＝OA+AF＝7
∴OD＝＝
故答案为：
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
15．（2021秋•宝安区校级期中）已知（a+1）2+＝0，则a+b＝　2　．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a+1＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣1，b＝3，
所以，a+b＝﹣1+3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．（2021秋•龙岗区校级期中）若关于x、y的方程组的解满足3x﹣5y﹣7＝0，那么a的值是　7　．
【考点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】先用含a的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入3x﹣5y﹣7＝0中可得a的值．
【解答】解：，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是3x﹣5y﹣7＝0的解，
∴将x＝2a，y＝a，代入方程3x﹣5y﹣7＝0，
可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先通过解二元一次方程组，求得用a表示的x，y值后再代入关于x，y的方程而求解的．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•宝安区校级期中）计算
（1）；
（2）；
（3）﹣4；
（4）（）（）．
【考点】平方差公式；分母有理化；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）利用二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）首先化简二次根式，然后再计算除法即可；
（3）首先化简二次根式，然后再计算加减；
（4）利用平方差进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝＝6；

（2）原式＝＝5；

（3）原式＝﹣2+4＝3；

（4）原式＝2017﹣2021＝﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的加、减、乘、除计算法则．
18．（2021秋•龙岗区校级期中）计算题
（1）++
（2）﹣+．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式各项化简后，合并即可得到结果；
（2）原式利用立方根以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝++＝；
（2）原式＝0.5﹣+＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2021秋•宝安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），C（5，4）．
（1）请在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△DEF，并写出对应点的坐标D　（﹣1，1）　，E　（﹣3，1　，F　（﹣5，4）　．
（2）若点P（m，n）为△ABC上的任意一点，则其在△DEF上的对应点P′的坐标为　（﹣m，n）　（用字母m、n表示）．

【考点】作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出D、E、F的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出P′点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；D（﹣1，1），E（﹣3，1），F（﹣5，4）；

（2）对应点P′的坐标为（﹣m，n）；
故答案为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣5，4）；（﹣m，n）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，
20．（2021秋•福田区校级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，多边形ABCDEF是坐标系内的一个零件图．请回答下列问题：
（1）A点坐标是（﹣2，4），则你认为D点的坐标应为　（4，﹣2）　．
（2）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，请你在原坐标系内画出所得的新的多边形A1B1C1D1E1F1．
（3）若小明同学另建立一个直角坐标系，使D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），则这时A点坐标是　（﹣4，7）　．
（4）小明也按（2）的要求在他自己建立的坐标系中画了一个新多边形，小明所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1是否全等？　全等　（填“全等“或“不全等“）．

【考点】全等三角形的判定；作图﹣位似变换．菁优网版权所有
【专题】作图题．
【分析】（1）依据平面直角坐标系，即可得到D点的坐标；
（2）依据多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，画出图形即可得到新的多边形A1B1C1D1E1F1；
（3）依据D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），即可得到坐标原点的位置，进而得出A点坐标；
（4）依据（2）的要求，画出图形，即可得到新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1全等．
【解答】解：（1）由图可得，D点的坐标应为（4，﹣2）；
故答案为：（4，﹣2）；
（2）如图所示，多边形A1B1C1D1E1F1即为所求；

（3）∵D点坐标是（2，1），C点坐标是（﹣6，1），
∴A点坐标为（﹣4，7）；
故答案为：（﹣4，7）；
（4）将多边形ABCDEF的纵、横坐标分别变成原来的，所得的新多边形与（2）中所得的多边形A1B1C1D1E1F1全等，
故答案为：全等．
【点评】本题主要考查了利用位似变换作图，画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
21．（2021秋•宝安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A （0，6）、B （8，0），点C为x轴正半轴上一点，连接AC，将△ABC沿AC所在的直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求出点C的坐标；
（3）点P为直线AB上的点，请求出点P的坐标使S△COP＝；
（4）点Q为直线AB上一动点，连接DQ，线段DQ是否存在最小值？若存在，请求出DQ的最小值，若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题；一次函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A （0，6）、B （8，0）即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝＝＝10，由折叠的性质的AD＝AB＝10，设OC＝x，则BC＝CD＝8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）设P（m，﹣m+6），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）连接BD，则△ABD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A （0，6）、B （8，0）的坐标代入得：，
解得：，
∴AB的解析式为：；

（2）∵点A （0，6）、B （8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AB＝＝＝10，
由折叠的性质的AD＝AB＝10，
设OC＝x，则BC＝CD＝8﹣x，
∵OA＝6OB＝8，
∴AD＝AB＝10，
从而可知OD＝4，
∴在△OCD中由勾股定理得 x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴C（3，0）；
（3）∵点P为直线AB上的点，
∴设P（m，﹣m+6），
∵S△COP＝3×|﹣m+6|＝；
∴m＝6或m＝10，
∴P（6，）或（10，﹣）；
（4）DQ存在最小值．
理由如下：连接BD，则△ABD为等腰三角形，
由垂线段最短可知，DQ的最小值即为△ABD腰上的高，
∴DQ的最小值＝OB＝8．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
22．（2021秋•龙岗区校级期中）如图1，直线AB：y＝x+8与x轴、y轴分别交于A、D两点，点B的横坐标为3，点C（9，0），连接BC，点E是y轴正半轴上一点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在x轴上的点D1处．
（1）求点E的坐标；
（2）连接EC，点F（m，0）、G（m+2，0）为x轴上两点，其中3＜m＜7．过点F作FF1⊥x轴交BC于点F1，交EC于点M；过点G作GG1⊥x轴交BC于点G1，交EC于点N，当F1M+G1N＝10时，求m的值；
（3）如图2，在等边△PQR中，PR⊥x轴且PR＝4，点（Q、R在x轴上方），△PQR从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动的时间为t，当t为何值时，点Q到直线AC和直线AB的距离相等？

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【专题】综合题；模型思想．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征和两点间的距离公式可得AD＝10，再由折叠的性质和勾股定理可得OE＝3，根据勾股定理可求点E的坐标；
（2）根据待定系数法可求直线CE的解析式和直线BC的解析式，再根据F1M+G1N＝10，列出方程求出m的值；
（3）如图2，过点Q作QM⊥AC于M，过点Q作QN∥x轴，根据等边三角形的性质和三角函数可求N（﹣，2），再由运动可知QQ′＝2t，可得Q′N＝|9﹣2﹣2t+|＝2.5，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+8与x轴、y轴分别交于A、D两点，点B的横坐标为3，
∴A（﹣6，0），B（3，12），D（0，8），
∴AD＝10，
∵将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在x轴上的点D1处，
∴ED1＝ED，AD1＝AD＝10，
∴OD1＝AD1﹣OA＝4，
∵OD＝8，
∴ED1＝OD﹣OE＝8﹣OE．
在Rt△OD1E中，D1E2﹣OE2＝D1O2，
∴（8﹣OE）2﹣OE2＝16，
∴OE＝3，
∴E（0，3）；

（2）由（1）知，E（0，3），
∵C（9，0），
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3．
∵B（3，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+18．
点F（m，0）、G（m+2，0）为x轴上两点，其中3＜m＜7，FF1⊥x轴，GG1⊥x轴，
∴F1（m，﹣2m+18），M（m，﹣m+3），G1（m+2，﹣2m+14），N（m+2，﹣（m+2）+3），
∴F1M＝﹣2m+18﹣（﹣m+3）＝﹣m+15，G1N＝﹣2m+14﹣[﹣（m+2）+3]＝﹣m+，
∵F1M+G1N＝10，
∴﹣m+15+（﹣m+）＝10，
∴m＝5；

（3）如图2，过点Q作QM⊥AC于M，过点Q作QN∥x轴交AE于Q′，交AB于N．
∵△PRQ是边长为4的等边三角形，
∴PQ＝4，∠RCQ＝60°，
∵PR⊥x轴，
∴∠RPA＝90°，
∴∠MPQ＝30°．
在Rt△PQM中，CQ＝4，
∴QM＝2，CM＝2，
∴Q（9﹣2，2）．
∵点Q到AC的距离QM长为2，AE平分∠BAC，
∴Q′到AB的距离为2，
∵直线AB解析式为y＝x+8，
∴N（﹣，2），
由运动可知，QQ′＝2t，
∴Q′（9﹣2﹣2t，2），
当Q'点在∠BAC角平分线上，点Q′到直线AC和直线AB的距离也相等，
∴Q′N＝|9﹣2﹣2t+|＝2.5，
∴t＝或t＝8﹣，
∴当t为或8﹣时，点Q到直线AC和直线AB的距离相等．

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形折叠、勾股定理、坐标轴上点的坐标特征、点到直线的距离等，解决问题的关键是掌握待定系数法．
23．（2021秋•福田区校级期中）如图1，正方形OABC，其中O是坐标原点，点A（3，1）．
（1）直接写出点B、C的坐标；
（2）对于两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2，若有k1•k2＝﹣1，则可得l1⊥l2．比如：l1：y1＝x+1和l2：y2＝﹣x+3，因为，所以l1⊥l2．
连接AC、OB，已知AC交y轴于点M，证明：AC、OB所在的直线互相垂直；
（3）如图2，已知点D在第四象限，AD∥y轴，且AD＝3，P是直线OB上一点，连接PA、PD、AD，求△PAD的周长最小值．

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【专题】代数几何综合题；数形结合；构造法．
【分析】（1）由图象的旋转知，点C的坐标为（﹣1，3）；易证△CNO≌△BMC（AAS），CN＝BM＝3，CM＝ON＝1，故点B的坐标为（2，4）；
（2）可以确定直线AC和OB的表达式，两直线的k乘值为﹣1，即可证明；
（3）点A关于直线OB的对称点为C，连接CD，交直线OB于点P，则△PAD的周长最小，即可求解．
【解答】解：（1）由图象的旋转知，点C的坐标为（﹣1，3），

过点B作x轴的平行线，交过点C与x轴的垂线于点M，MN⊥x轴，交x轴于点N，
∵∠NCO+∠CBM＝90°，∠BCM+∠MBC＝90°，∴∠MBC＝∠NCO，
∠CNO＝∠BMC＝90°，CO＝CB，∴△CNO≌△BMC（AAS），
∴CN＝BM＝3，CM＝ON＝1，
∴点B的坐标为（2，4）；
（2）把点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
则直线AC的表达式为：y＝﹣x+，同理得直线OB的表达式为：y＝2x，
两直线的k乘值为﹣1，
故：AC、OB所在的直线互相垂直；
（3）点A关于直线OB的对称点为C，连接CD，交直线OB于点P，则△PAD的周长最小，

点D的坐标为（3，﹣2）、点C坐标为（﹣1，3），
△PAD的周长＝AP+AD+PD＝3+CD，
CD＝＝，
故：△PAD周长的最小值为：3+．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等相关知识，其中（3）中，通过作图确定点P的位置是本题的难点．
24．（2021秋•宝安区期中）如图，直线y＝﹣2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点C（0，﹣2）在y轴上，连接AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P是直线AB上一点，若△APC的面积为4，求点P；
（3）过点B的直线BE交x轴于点E（E点在点A右侧），当∠ABE＝45°时，求直线BE．

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【专题】函数的综合应用．
【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点解答即可；
（2）分两种情况得出P点的坐标即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+4交X轴和y轴于点A和点B
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝2
∴A（2，0），B（0，4）
（2）设点P（a，﹣2a+4）
①如图，当点P在x轴上方时，
则S△APC＝S△ABC﹣S△BPC
∴4＝
∴a＝，
把a＝代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝
∴P（，）
②如图，当点P在x轴下方时
则S△APC＝S△BP'C﹣S△ABC
∴4＝
∴a＝，
把a＝代入y＝﹣2x+4＝﹣2×+4＝﹣，
∴P'（，﹣）
（3）当∠ABE＝45°，设直线BE：y＝kx+b
如图，过点A作AD⊥AB交BE于点D，过点D作DH⊥x轴
∵∠ABE＝45°，
∴△BAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAO＝∠ADH，
在△AOB与△DHA中
，
∴△AOB≌△DHA （AAS），
∵OA＝2，OB＝4
∴OH＝OA+AH＝2+4＝6，DH＝2
∴D（6，2）
∵B（0，4）
∴．
【点评】本题考查了一次函数综合题，利用三角形的面积公式得出点的坐标，利用全等三角形的判定和性质解答是解题关键．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
6．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
7．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
12．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
13．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
14．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
15．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
16．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
18．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
19．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
20．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
21．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
22．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
23．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
24．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
25．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
26．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
27．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
28．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
29．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
30．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
31．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
32．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．