甘肃省天水市田家炳中学2020-2021学年高二下学期中考试数学（理）试卷（含答案）

2020-2021学年度天水市田家炳中学高二第一阶段数学考试卷

考试范围：选修2--2；考试时间：120分钟；

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(共60分)

1．复数（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则导数（    ）

A． B． C． D．

3． （    ）

A．9 B．12 C．21 D．25

4．函数的极大值为，那么的值是（ ）

A． B． C． D．

5．甲、乙、丙三个同学在看，，三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是（    ）

A． B． C． D．不能预测

6．的图象如图所示，则的图象最有可能是 (     )

A． B． C． D．

7．由曲线围成的封闭图形的面积为（     ）

A． B． C． D．

8．若，则（　　）

A．2 B．4 C． D．8

9．函数f(x)=在X=0处的切线的倾斜角是（    ）

1. 0            B.            C.           D.

10．利用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为（    ）

A．a，b，c中至多有一个数大于1

B．a，b，c中至多有一个数小于1

C．a，b，c中至少有一个数大于1

D．a，b，c中都小于1

11.已知a=+1,b=,c=4,则a,b,c的大小关系是（      ）

A. A>b>c     B. c>a>b    C.c>b>a     D.b>c>a

12.已知函数的导函数为，且满足，则（   ）

A． B．1 C．-1 D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(共20分)

13．(本题5分)已知函数，则在x=1处的切线方程为_________

14．(本题5分)用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．

15．(本题5分)已知函数，则在上的最小值是_______________.

16．(本题5分)我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将题中“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关需收税金为_________.

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)实数m取什么值时，复数是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．

18．(本题12分)已知曲线，求曲线在点处的切线方程．

19．(本题12分)已知函数在与处有极值.

（1）求函数的解析式；

（2）求在上的最值.

20．(本题12分)设，用综合法证明：．

21．(本题12分)已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围.

22．(本题12分)已知函数（），

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

2020-2021学年度天水高田家炳中学高二第一阶段数学考试卷

考试范围：选修2--2；考试时间：120分钟；

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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一、单选题(共60分)

1．(本题5分)复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据复数的除法运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】

.

故选：B.

2．(本题5分)已知，则导数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得，进而可计算得出的值.

【详解】

，，因此，.

故选：D.

3．(本题5分) （    ）

A．9 B．12 C．21 D．25

【答案】C

【分析】

直接利用定积分的运算求解.

【详解】

故选:C

【点睛】

本题主要考查定积分的计算，属于基础题.

4．(本题5分)函数的极大值为，那么的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：∵函数f（x）=2x3-3x2+a，导数f′（x）=6x2-6x，令f′（x）=0，可得 x="0" 或 x=1，导数在 x="0" 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x="1" 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选C．

考点：函数在某点取得极值的条件．

5．(本题5分)甲、乙、丙三个同学在看，，三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是，是；乙说：不是，是；丙说：不是，是.比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是（    ）

A． B． C． D．不能预测

【答案】C

【分析】

从题设条件出发，分别假设甲、乙、丙的话对，其中甲对的时候，乙的话一半对一半错，丙的话全错，符合题意.

【详解】

若甲的话全对，则冠军不是，是，那么乙的话一半错一半对，丙的话全错，符合题意，所以冠军是；

若乙的话全对，则冠军不是，是，那么甲的话一半错一半对，丙的话一半对一半错，不符合题意；

若丙的话全对，则冠军不是，是，那么甲和乙的话全错，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．

二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．

6．(本题5分)的图象如图所示，则的图象最有可能是 (     )

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的图像可以得到函数的单调性及极值点，从而可得函数的图像.

【详解】

由导数的图像可以知道：当或时，，当时，，因此的单调增区间为与，单调减区间为，故选C.

【点睛】

函数图像应通过函数的单调性和极值点来刻画，两者都需要结合导函数的符号来讨论，一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则.

7．(本题5分)由曲线围成的封闭图形的面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.

【详解】

封闭图形的面积为.选A.

【点睛】

本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.

8．(本题5分)若，则（　　）

A．2 B．4 C． D．8

【答案】D

【分析】

通过导数的定义，即得答案.

【详解】

根据题意得，

，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查导数的定义，难度不大.

9．D   10 D11.C12.C

第II卷（非选择题）

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二、填空题(共20分)

13．(本题5分)已知函数，则在x=1处的切线方程为_________

【答案】.

【分析】

对函数进行求导，然后把代入导函数中，求出斜率，根据点斜式写出方程，化为一般方程.

【详解】

，,而,所以切线方程为

.

【点睛】

本题考查了利用导数求曲线的切线问题，重点考查了导数的几何意义.

14．(本题5分)用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．

【答案】

【详解】

试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为．

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤．

点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心．

15．(本题5分)已知函数，则在上的最小值是_______________.

【答案】

【分析】

利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.

【详解】

在上，有，知：单调递减，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.

16．(本题5分)我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将题中“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关需收税金为_________.

【答案】

【分析】

依次算出前3关所收税金，找出规律即可.

【详解】

第关收税金，第关收税金，

第关收税金，……第关收税金.

故答案为：

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)实数m取什么值时，复数是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．

【答案】（1）（2）（3）m=2

【解析】

试题分析：（1）当时此复数是实数．（2）当且时是虚数．（3）当即当m=2时是纯虚数．

考点：复数的概念

点评：主要是考查了复数实数和虚数概念的运用，属于基础题．

18．(本题12分)已知曲线，求曲线在点处的切线方程．

【答案】

【分析】

对函数求导，把代入导函数中，求出在点点处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式方程即可.

【详解】

，所以曲线在点处的切线的斜率，切线方程为.

【点睛】

本题考查了曲线的切线方程，考查了导数的运算以及导数的几何意义，考查了直线的点斜率式方程的求法.

19．(本题12分)已知函数在与处有极值.

（1）求函数的解析式；

（2）求在上的最值.

【答案】（1）；（2）最大值，最小值.

【分析】

（1）求得，由题意可得，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；

（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，并与和比较大小后可得出结论.

【详解】

（1），则，

函数在与处有极值，

、是的两个实数根，，解得.

；

（2）由（1）可得.

令，解得或，列表如下：

由表格可知：当时，函数取得极大值；

当时，函数取得极小值.

又，，

可得：当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.

【点睛】

本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.

20．(本题12分)设，用综合法证明：．

【答案】证明见解析.

【分析】

作差、分解因式、判断符号即可

【详解】

证明如下：

又，而

故

即

【点睛】

本题考查的是利用综合法证明不等式，较简单.

21．(本题12分)已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】

（1）利用导数得出函数的单调性，即可得出的极值；

（2）利用导数结合函数的单调性得出在上恒成立，构造函数，利用导数得出函数，即可得出的取值范围.

【详解】

（1），

；

则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

即函数的极小值为，无极大值

（2）

因为在其定义域内为增函数，所以在上恒成立

即在上恒成立

即在上恒成立

令

所以函数在定义域内为减函数，则

即

故实数的取值范围为

【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.

22．(本题12分)已知函数（），

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求函数的导数和定义域，结合函数的切线方程建立方程关系进行求解，

（2）利用参数分离法将不等式进行转化，构造函数求出函数的导数，利用导数进行求解即可．

【详解】

解：（1）的定义域为，，

∴，，

解得，，∴.

（2）若至少存在一个，使得，∴，

当时，，∴有解，令，

∴，，

∴在上单调递减，，

∴，即.