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2020-2021学年吉林省白山高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版
展开这是一份2020-2021学年吉林省白山高二（下）5月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=−1,0,1,2，B=x|x−1<0，则A∩B=( )
A.{2}B.−1,0C.0,1D.−1,0,1
2. 已知复数z满足1z=1−i，则z=( )
A.12−12i B.12+12iC.−12+12iD.−12−12i
3. 已知函数fx=ax+1x+2a∈R，则“a>12”是“fx在区间0,+∞上单调递增”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4. 在下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递增的是( )
A.y=−1xB.y=|x|C.y=x3+xD.y=ex
5. 已知函数fx=x12,x>0，(12)x,x≤0， 则ff−4=( )
A.−4B.−14C.6D.4
6. 下列推理过程不是演绎推理的是( )
①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；
③在数列an中，a1=1， an=3an−1−1n≥2，由此归纳出an的通项公式；
④由“三角形内角和为180∘”得到结论：直角三角形内角和为180∘.
A.①②B.③④C.②③D.②④
7. 已知a=lg20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a
8. 已知△ABC的边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=2Sa+b+c，类比这一结论可知：若三棱锥A−BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，三棱锥A−BCD的体积为V，则R=( )
A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4
C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4
9. 已知p：∀x∈R，x2+x−1>0；q：∃x∈R，2x>3x，则真命题是（ ）
A.p∧qB.p∨¬qC.¬p∨qD.¬p∧¬q
10. 下列命题错误的是( )
A.“x=2”是“x2−4x+4=0”的充要条件
B.若等比数列{an}公比为q，则“q>1”是“{an}为递增数列”的充要条件
C.在△ABC中，若“A>B”，则“sinA>sinB”
D.命题“若m≥−14，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题
11. 已知函数y=−axa+b−1是幂函数，直线mx−ny+2=0m>0,n>0过点a,b，则n+1m+1的取值范围是( )
A.−∞,13∪13,3B.1,3
C.13,3D.13,3
12. 已知定义域为R的奇函数fx满足f2−x=−f6+x，当x∈0,4时，fx=3x−1,0≤x≤2,16−4x,2
二、填空题
观察下列等式：2+23=223，3+38=338，4+415=4415，⋯⋯若6+ab=6ab（a，b∈N∗），猜想a=________；b=________．
已知复数z满足(1+i)z=|3+i|，i为虚数单位，则z等于________.
某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y（万元）的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为y=1.3x+a，若该设备组修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年（结果用四舍五入保留到个位）．
给出下列关于回归分析的说法：
①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；
②回归直线一定过样本中心(x, y)；
③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
④甲、乙两个模型的相关系数R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．
其中错误的序号是________.
三、解答题
若复数z1满足z1−2+i1+i=1−i （i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数．
(1)求z1的模长；
(2)求z2．
设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足x2−x−6≤0,x2+2x−8>0.
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
白山市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311．
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
已知函数fx=x+mx，f1=2 .
(1)判定函数fx在[1,+∞)的单调性，并用定义证明；
(2)若a−fx
根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：
(1)建立y关于x的线性回归方程；
参考公式： b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx.
(2)假设全村共计2000名居民（均未接种过疫苗），用样本估计总体来预测该村80%居民接种新冠疫苗需要几天？
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcsα，y=tsinα（t为参数，0≤α<π），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设点M的坐标为1,0，直线l与曲线C相交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省白山市高二（下）5月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
化简集合后求解交集即可.
【解答】
解：∵ A=−1,0,1,2， B=x|x−1<0=x|x<1，
∴ A∩B=−1,0.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简复数z，再求其共轭复数即可.
【解答】
解：由题意可得z=11−i=1+i1+i1−i=12+12i.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用导数求得fx在区间0,+∞上单调递增时a的取值，再利用集合的包含关系判断即可
【解答】
解：∵ fx=ax+1x+2a∈R，
∴ f′x=2a−1(x+2)2 ，
∵ fx在区间0,+∞上单调递增，
∴ f′x在区间0,+∞上大于0恒成立，
∴ 2a−1>0，即a>12，
∴ “a>12”是“fx在区间0,+∞上单调递增”的充要条件．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的判断与证明
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的判断
【解析】
结合奇偶性及单调性的定义，对选项分别进行检验．
【解答】
解：结合选项可知， y=|x|为偶函数， y=ex为非奇非偶函数，不符合题意，
y=−1x为奇函数，但在定义域内不是单调递增，不符合题意，
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
将自变量代入对应解析式求解即可.
【解答】
解：∵ fx=x12，x>0，12x,x≤0，
∴ f−4=12−4=24=16,
∴ ff−4=f16=1612=4.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
演绎推理
归纳推理
类比推理
【解析】
需逐个选项来验证，②选项属于类比推理，③选项属于归纳推理，只有①④属于演绎推理．
【解答】
解：①④，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式；
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方，属于类比推理；
③在数列an中，a1=1， an=3an−1−1n≥2，由此归纳出an的通项公式，属于归纳推理.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a=lg20.3
0
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题主要考查类比推理.
【解答】
解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
所以四面体的体积为
V=13(S1+S2+S3+S4)R，
所以R=3VS1+S2+S3+S4.
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于x2+x−1=x+122−54≥−54，则命题p是假命题；
当x=−1，2x>3x成立，则命题q是真命题，
可知¬p∨q为真命题.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
数列的应用
正弦定理的应用
【解析】
A，用配方法解一元二次方程即可作出判断；
B，先写出原命题的逆命题，再根据判别式△≥0，解得m的取值范围，即可作出判断；
C，先根据大角对大边，再结合正弦定理即可得解；
D，列举特殊数列：例如−1，−2，−4，……和−4，−2，−1，……，可以说明“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【解答】
解：由x2−4x+4=0，
可得(x−2)2=0，
解得x=2，∴ A正确；
数列−1，−2，−4，⋯是q>1的等比数列，但该数列单调递减；
数列−4，−2，−1，⋯是单调递增数列，但q<1，
因此对于公比为q的等比数列{an}，
“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，∴ B错误；
在△ABC中，根据正弦定理，
若A>B⇒a>b⇒sinA>sinB，∴ C正确；
命题“若m≥−14，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为：
命题“若方程x2+x−m=0有实根，则m≥−14”，
∵ 方程x2+x−m=0有实根⇒Δ=1+4m≥0⇒m≥−14，D正确．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
幂函数的性质
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
【解答】
解：由y=−axa+b−1是幂函数，
知：a=−1，b=1，
又(a,b)在mx−ny+2=0上，
∴ m+n=2，即n=2−m>0，
则n+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，且0
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
【解答】
解：因为fx是定义城为R的奇函数，
所以f−x=−fx，且f0=0，
又f2−x=−f6+x，
所以f2−x−2=−f6+x−2，
即f(4−x)=−f(4+x)=f(−4−x)，
所以函数fx周期为8，
所以f2020=f4=16−4×4=0，
所以f(f(2020)=f(0)=30−1=0，
f2021=f5=f−3
=−f3=−16−4×3=−4，
所以ff2020+f2021=0−4=−4 .
故选C.
二、填空题
【答案】
6,35
【考点】
归纳推理
【解析】
根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式n+nn2−1=nnn2−1，（n≥2且n是正整数），将n=6代入可得答案．
【解答】
解：根据题意，分析所给的等式可得：2+222−1=2222−1，
3+332−1=3332−1，4+442−1=4442−1；
依此类推，有n+nn2−1=nnn2−1，（n≥2且n是正整数），
当n=6时，有6+662−1=6662−1；
即a=6，b=62−1=35.
故答案为：6；35．
【答案】
1−i
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由(1+i)z=|3+i|=2，
得z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．
故答案为：1−i.
【答案】
9
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
【解答】
解：∵x=15(2+3+4+5+6)=4，
y=15(1.5+4.5+5.5+6.5+7.5)=5.1，
∴5.1=1.3×4+a，
∴a=−0.1，
∴y=1.3x−0.1，
由y≤12，得x≤12113≈9.3，
故该设备最多可使用9年．
故答案为：9．
【答案】
①④
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
相关系数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①错误；
对于②，回归直线一定过样本中心，故②正确；
对于③，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故③正确；
对于④，R2越大，拟合效果越好，因为0.88>0.80，所以模型甲的拟合效果更好，故④错误.
故答案为：①④.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【答案】
解：(1)a=1时，命题p:x2−4x+3<0⇔1
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由(1)知命题q:2
由题意a>0，所以命题p:a
根据充分必要条件求参数取值问题
命题的真假判断与应用
【解析】
(1)p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；
(2)﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
【解答】
解：(1)a=1时，命题p:x2−4x+3<0⇔1
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由(1)知命题q:2
由题意a>0，所以命题p:a
解：(1)优秀的人数为110×311=30，
非优秀的人数为110−30=80，
乙班优秀的人数为30−10=20，
甲班非优秀的人数为80−30=50，
甲班的人数为10+50=60，
乙班的人数为110−60=50，
所以补充列联表如下：
(2)根据列联表中的数据，
得到K2=110(10×30−20×50)260×50×30×80≈7.486<10.828．
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
(3)设“抽到9或10号”为事件A，
先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x, y)．
所有的基本事件有：(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，⋯，(6, 6)，共36个，
事件A包含的基本事件有：(3, 6)，(4, 5)，(5, 4)，(6, 3)，(5, 5)，(4, 6)，(6, 4)，共7个，
所以P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．
【考点】
独立性检验的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）由全部110人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为311，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．
（2）我们可以根据列联表中的数据，代入参考公式，计算出k2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案
（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到9或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．
【解答】
解：(1)优秀的人数为110×311=30，
非优秀的人数为110−30=80，
乙班优秀的人数为30−10=20，
甲班非优秀的人数为80−30=50，
甲班的人数为10+50=60，
乙班的人数为110−60=50，
所以补充列联表如下：
(2)根据列联表中的数据，
得到K2=110(10×30−20×50)260×50×30×80≈7.486<10.828．
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
(3)设“抽到9或10号”为事件A，
先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x, y)．
所有的基本事件有：(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，⋯，(6, 6)，共36个，
事件A包含的基本事件有：(3, 6)，(4, 5)，(5, 4)，(6, 3)，(5, 5)，(4, 6)，(6, 4)，共7个，
所以P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．
【答案】
解：(1)函数fx=x+mx，
将f1=2代入，可得2=1+m1，则m=1，
所以fx=x+1x，
函数fx=x+1x在[1,+∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2满足1≤x1
=x2−x1+1x2−1x1
=x2−x1+x1−x2x1x2
=x2−x1x1x2−1x1x2，
因为1≤x1
所以x2−x1x1x2−1x1x2>0，即fx2−fx1>0，
所以fx2>fx1，
所以函数fx=x+1x在[1,+∞)上单调递增．
(2)若a−fx
由(1)可知fx=x+1x在1,+∞上单调递增，
y=x在1,+∞上单调递增，
所以gx=fx+x在1,+∞上单调递增，
所以gx>g1=3，
所以a≤3，即可满足a−fx
【考点】
函数单调性的判断与证明
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx=x+mx，
将f1=2代入，可得2=1+m1，则m=1，
所以fx=x+1x，
函数fx=x+1x在[1,+∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2满足1≤x1
=x2−x1+1x2−1x1
=x2−x1+x1−x2x1x2
=x2−x1x1x2−1x1x2，
因为1≤x1
所以x2−x1x1x2−1x1x2>0，即fx2−fx1>0，
所以fx2>fx1，
所以函数fx=x+1x在[1,+∞)上单调递增．
(2)若a−fx
由(1)可知fx=x+1x在1,+∞上单调递增，
y=x在1,+∞上单调递增，
所以gx=fx+x在1,+∞上单调递增，
所以gx>g1=3，
所以a≤3，即可满足a−fx
【答案】
解：(1)x=1+2+3+4+55=3，
y=10+15+19+23+285=19，
则b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x 2=225，
a=19−225×3=295，
故y关于x的线性回归方程y=225x+295．
(2)2000×80%=1600，
设an=225n+295．
数列an的前n项和为Sn，
易知数列an是等差数列．
则Sn=a1+an2n
=225+295+225n+2952⋅n
=115n2+8n，
因为S6=127.2，S7=163.8，
所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天 .
【考点】
求解线性回归方程
数列的应用
【解析】
略
略
【解答】
解：(1)x=1+2+3+4+55=3，
y=10+15+19+23+285=19，
则b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x 2=225，
a=19−225×3=295，
故y关于x的线性回归方程y=225x+295．
(2)2000×80%=1600，
设an=225n+295．
数列an的前n项和为Sn，
易知数列an是等差数列．
则Sn=a1+an2n
=225+295+225n+2952⋅n
=115n2+8n，
因为S6=127.2，S7=163.8，
所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天 .
【答案】
解：(1)曲线ρ2=123+sin2θ，
即3ρ2+ρ2sin2θ=12，
由于ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，
所以3x2+4y2=12，
即x24+y23=1.
(2)将x=1+tcsα，y=tsinα代入x2+4y2=12中，
得(3+sin2α)t2+6tcsα−9=0，
Δ=36cs2α+36(3+sin2α)>0，
设两根分别为t1，t2，
则t1+t2=−6csα3+sin2α，t1t2=−93+sin2α<0，
所以1|MA|+1|MB|=|MA|+|MB||MA|⋅|MB|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1−t2||t1t2|，
|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=−6csα3+sin2α2+363+sin2α
=144(3+sin2α)2=123+sin2α，
所以1|MA|+1|MB|=|t1−t2||t1t2|=123+sin2α93+sin2α=43.
【考点】
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）曲线ρ2=123+sin2θ，
即3ρ2+ρ2sin2θ=12，
由于ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，
所以3x2+4y2=12，
即x24+y23=1．
(2)将x=1+tcsα，y=tsinα代入x2+4y2=12中，
得(3+sin2α)t2+6tcsα−9=0，
Δ=36cs2α+36(3+sin2α)>0，
设两根分别为t1，t2，
则t1+t2=−6csα3+sin2α，t1t2=−93+sin2α<0，
所以1|MA|+1|MB|=|MA|+|MB||MA|⋅|MB|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1−t2||t1t2|，
|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=−6csα3+sin2α2+363+sin2α
=144(3+sin2α)2=123+sin2α，
所以1|MA|+1|MB|=|t1−t2||t1t2|=123+sin2α93+sin2α=43.使用年数x（年）
2
3
4
5
6
维修总费用y（万元）
1.5
4.5
5.5
6.5
7.0
优秀
非优秀
合计
甲班
10
乙班
30
合计
110
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
第x天
1
2
3
4
5
新接种人数y
10
15
19
23
28
优秀
非优秀
合计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合计
30
80
110
优秀
非优秀
合计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合计
30
80
110
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