高中数学高教版（中职）拓展模块2.2.1 双曲线的定义与标准方程课堂教学课件ppt

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2.双曲线的标准方程和几何性质
基础自测1.双曲线方程： 那么k的范围是 （ ） A.k＞5 B.2＜k ＜5 C.-2＜k＜2 D.-2＜k＜2或k＞5 解析 由题意知（|k|-2）（5-k）＜0， 解得-2＜k＜2或k＞5.
2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 （ ） A. B. C.D. 解析 由题知c=4,且 =2,∴a=2,∴b2=c2-a2=12, ∴双曲线方程为
3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支 上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q 的周长是 （ ） A.28 B.14-8 C.14+8 D.8 解析 |PF2|+|PQ|+|QF2| =（2a+|PF1|）+|PQ|+（2a+|QF1|） =4a+2|PQ|=8 +14.
4.（2009·安徽理，3）下列曲线中离心率为 的 是 （ ） A.B. C.D. 解析 ∵e= ,∴e2= .即 ∴故B选项正确.
5.若m＞0,点 在双曲线 上，则点P到该双曲线左焦点的距离为 . 解析 在双曲线 上,且m＞0, 代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0), 故|PF1|=
题型一 双曲线的定义【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与 圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程.利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.
解 设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|=r+ ，|MC2|=r- ，∴|MC1|-|MC2|=2 .又C1（-4，0），C2（4，0），∴|C1C2|=8，∴2 ＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵a= ，c=4，∴b2=c2-a2=14，∴点M的轨迹方程是 =1 （x≥ ）.
探究提高 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数 法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高 解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别 注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨 迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一 支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.
知能迁移1 已知点P是 双曲线 =1上除顶点外 的任意一点，F1、F2分别为左、 右焦点，c为半焦距，△PF1F2 的内切圆与F1F2切于点M，则 |F1M|·|F2M|= .
解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等,|F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a，又|F1M|+|F2M|=2c，解得|F1M|=a+c，|F2M|=c-a，从而|F1M|·|F2M|=c2-a2=b2.答案 b2
题型二 双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0. （1）若双曲线经过P（ ,2）,求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是2 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.用定义法或待定系数法求方程. 解 方法一 由双曲线的渐近线方程y=± x， 可设双曲线方程为
（1）∵双曲线过点P（ ，2），故所求双曲线方程为（2）若 ＞0，则a2=9 ,b2=4 .c2=a2+b2=13 .由题设2c=2 ,∴ =1,所求双曲线方程为若 ＜0，则a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .
由2c=2 ,∴ =-1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3）若 ＞0，则a2=9 ,由题设2a=6,∴ =1.所求双曲线方程为若 ＜0，则a2=-4 ,由题设2a=6,∴ =- ，所求双曲线方程为故所求双曲线方程为
方法二 （1）由双曲线渐近线的方程y=± x,可设双曲线方程为 （mn＞0）.∵双曲线过点P（ ，2），∴m＜0,n＜0.又渐近线斜率k=± ,故所求双曲线方程为
（2）设双曲线方程为∵c2=a2+b2，∴13=a2+b2,由渐近线斜率得∴所求双曲线方程为
（3）由（2）所设方程故所求双曲线方程为
探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一.（1）与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可表示为（2）若双曲线的渐近线方程是y=± x,则双曲线的方程可表示为（3）与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示为
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为（5）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表示为利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度.
知能迁移2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线 有共同的渐近线，且过点（-3，2 ）；（2）与双曲线 有公共焦点，且过点（3 ，2）.
解 （1）设所求双曲线方程为将点（-3,2 ）代入得所以双曲线方程为(2)设双曲线方程为由题意易求c=2 .又双曲线过点（3 ，2）,∴又∵a2+b2=（2 ）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为
题型三 双曲线的性质【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一 双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2 ， 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率 之比为3∶7. （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点,求cs∠F1PF2 的值.
设椭圆方程为双曲线方程为
解 （1）由已知：c= ,设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，解得a=7,m=3.∴b=6，n=2.∴椭圆方程为 双曲线方程为
（2）不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10，|PF2|=4.又|F1F2|=2 ，∴cs∠F1PF2=
探究提高 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1.
知能迁移3 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144. （1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线 方程； （2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双 曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小. 解 （1）由16x2-9y2=144,得 ∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5，0),F2(5，0), 离心率e= ,渐近线方程为y=± x.
（2）||PF1|-|PF2||=6，cs∠F1PF2=∴∠F1PF2=90°.
题型四 直线与双曲线的位置关系【例4】(12分)已知双曲线C: 的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支 于M、N两点，试确定 的范围,使 · =0, 其中点O为坐标原点.直线方程与双曲线方程联立，寻找 交点坐标的关系.
解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，设M（1，y0），N（1，-y0） （y0＞0），由 · =0，得y0=1，∴M（1，1），N（1，-1）.又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，因为0＜ ＜1,所以 4分
②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1).得［ -(1- )k2］x2+2(1- )k2x-(1- )·(k2+ )=0, 8分由题意知： -(1- )k2≠0,所以x1+x2=x1x2=于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)= 10分
因为 · =0,且M、N在双曲线右支上，由①②，知 12分
探究提高 （1）直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零.(2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时，在消元时要注意消去范围为R的变量，为解决根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础.
知能迁移4 双曲线C与椭圆 有相同的 焦点，直线y= x为C的一条渐近线. （1）求双曲线C的方程； （2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、 B两 点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合). 当 时，求Q 点的坐标.
解 （1）设双曲线方程为由椭圆 求得两焦点为(-2，0),(2,0),∴对于双曲线C：c=2.又 为双曲线C的一条渐近线，∴ ，解得a2=1，b2=3，∴双曲线C的方程为x2-
（2）方法一 由题意知，如图所示，直线l的斜率 k存在且不等于零.设l的方程为：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）.则Q
∵ = 1 ，∴∵A（x1，y1）在双曲线C上，
∴（16-k2） +32 +16- =0.同理有（16-k2） +32 2+16- =0.若16-k2=0，则直线l过顶点，不合题意.∴16-k2≠0.∴ 1、 2是二次方程（16-k2）x2+32x+16-=0的两根.∴ 1+ 2=∴k2=4，此时Δ＞0，∴k=±2.∴所求Q的坐标为（±2,0).
方法二 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程：y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q∵ = 1 ，∴
即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0. (*)又消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0.当3-k2=0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，∴3-k2≠0.
由根与系数的关系有代入（*）式得k2=4，k=±2，∴所求Q点的坐标为（±2,0）.
方法与技巧1.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心.2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.3.共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线； 放大的双曲线;共轭放大或放大后共轭的双曲线. 所以与双曲线 共用渐近线的双曲线 的方程可设为 (t≠0).
4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程 时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0” 就得到两渐近线方程，即方程 就是 双曲线 的两条渐近线方程.
失误与防范1.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关 系,在椭圆中a2=b2+c2，而在双曲线中c2=a2+b2.2.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).3.双曲线 (a＞0,b＞0)的渐近线方程 是y=± , (a＞0,b＞0)的渐近线 方程是y=±
4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意 说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如： 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线 相交于一点，但不是相切；反之,当直线与双曲 线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
一、选择题1.双曲线 的焦点坐标为 （ ） A.（-1,0）,（1,0） B.（-3,0）,（3,0） C.（0,-1）,（0,1） D.（0,-3）,（0,3） 解析 a2=4，b2=5，∴c2=a2+b2=9. 又焦点在y轴上，∴焦点坐标为（0，-3）和 （0，3）.
2.若双曲线 =1的一条渐近线方程为 +y=0，则此双曲线的离心率为 （ ） A.B.C. D. 解析 渐近线方程为 +y=0,∴ 又a2+b2=c2,从而 即e=
3.两个正数a、b的等差中项是 ,一个等比中项是 ,且a＞b,则双曲线 的离心率e等于 （ ） A.B.C.D. 解析 a+b=5，ab=6，解得a,b的值为2或3. 又a＞b,∴a=3,b=2. ∴c= ，从而e= = .
4.（2009·全国Ⅰ理,4）设双曲线 (a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则 该双曲线的离心率等于 （ ） A. B.2C. D. 解析 双曲线 的渐近线方程为 因为y=x2+1与渐近线相切，故x2+1± x=0只有 一个实根，∴ -4=0,∴ ∴e= .
5.（2009·四川理，7）已知双曲线 (b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐 近线方程为y=x，点P( ,y0)在该双曲线上,则 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析 ∵渐近线方程为y=x,∴b2=2. 又P（ ，y0）在双曲线上，∴y =1. 又∵F1（-2，0），F2（2，0）， ∴ （-2- ，-y0）·（2- ,-y0） =3-4+y =0.
6.已知点F是双曲线 =1（a＞0,b＞0）的左 焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是直 角三角形，则该双曲线的离心率是 （ ） A. B.2 C.1+ D.2+ 解析 将x=-c代入双曲线方程得y=± . 由△ABE是直角三角形得 =a+c， 即a2+ac=b2=c2-a2,整理得c2-ac-2a2=0. ∴e2-e-2=0，解得e=2(e=-1舍去).
二、填空题7.（2009·湖南文，13）过双曲线C： (a＞0,b＞0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切 线，切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐 标原点)，则双曲线C的离心率为 . 解析 如图，由题知OA⊥AF， OB⊥BF且∠AOB=120°, ∴∠AOF=60°, 又OA=a,OF=c, ∴ =cs 60°= , ∴ =2.
8.P为双曲线x2- =1右支上一点,M、N分别是圆 (x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN| 的最大值为 . 解析 已知两圆圆心（-4，0）和（4，0）（记为 F1和F2）恰为双曲线x2- =1的两焦点. 当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|-|PN|最大， |PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半 径之和，同样|PN|最小=|PF2|-1，从而|PM|-|PN|=|PF1|+2-（|PF2|-1）=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.
9.（2009·辽宁理，16）已知F是双曲线 =1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的 动点，则|PF|+|PA|的最小值为 . 解析 设右焦点为F′,由题可知F′坐标为 （4,0）,根据双曲线的定义，|PF|-|PF′|=4, ∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|， ∴要使|PF|+|PA|最小，只需|PF′|+|PA|最小 即可， |PF′|+|PA|最小需P、F′、A三点共线，最小 值即4+|F′A|=4+ =4+5=9.
三、解答题 10.已知△AOB的顶点A在射线l1:y= x（x＞0）上,A,B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|·|MB|=3.当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W.求轨迹W的方程. 解 因为A，B两点关于x轴对称，所以AB边所 在的直线与y轴平行. 设M(x,y),由题意,得A(x, x),B(x，- x),
所以|AM|= x-y，|MB|=y+ x.因为|AM|·|MB|=3，所以（ x-y）×（y+ x）=3，即x2- =1.所以点M的轨迹W的方程为x2- =1（x＞0）.
11.已知离心率为 的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2 .（1）求椭圆及双曲线的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B,在第二象 限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连 结PA并延长交椭圆于点N，若 ,求点M、 点P的坐标.
解 （1）设椭圆方程为则根据题意，双曲线的方程为 且满足∴椭圆的方程为双曲线的方程为
（2）由(1)得A(-5，0),B(5，0),|AB|=10，设M（x0,y0），则由 得M为BP的中点，所以P点坐标为（2x0-5,2y0）.将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，消去y0，得2x -5x0-25=0.解之，得x0=- 或x0=5(舍去).所以y0= .由此可得M所以P（-10，3 ）.
12.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 F1（-3，0）,一条渐近线的方程是 x-2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于 两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值 范围.
解（1）设双曲线C的方程为所以双曲线C的方程为（2）设直线l的方程为y=kx+m (k≠0),则点M（x1,y1）,N(x2,y2)的坐标满足方程组
将①式代入②式，得整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.此方程是两个不等实根，于是5-4k2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0,整理得m2+5-4k2＞0.③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足x0=
从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为