华师大版八年级上册2 线段垂直平分线优秀同步测试题

13.5.2线段垂直平分线同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 四边形ABCD中，，，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则的度数为

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知，则

A.
B.
C.
D.

3. 如图，中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：
   分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
   作直线MN交AB于点D，连接CD。
   若，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、若，的周长为26m，则的周长为

A. 32cm
B. 38cm
C. 44cm
D. 50cm

6. 如图，等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若，，则BC的长是

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

8. 如图所示，B，E，C在一条直线上，DE垂直平分BC，BD平分，下列结论：≌；；；其中正确的有个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 如图，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于．

A.
B.
C.
D.

11. 已知中，，AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点M、N，连接AM和AN，若，则的周长是

A. 4 B. 6 C. 4或8 D. 6或10

12. 如图，，，AB的中垂线MD交AC于点D，交AB于点下列结论：是的平分线；是等腰三角形；≌  其中正确的有      
                                                 

A. 3个
B. 2个                           
C. 1个
D. 0个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线若AF与PQ的夹角为，则______

14. 如图，，，点C在AE的垂直平分线上，若，，则BE的长为_________________．

15. 如图，已知中，，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，则周长_____若，则的度数为________

16. 如图，已知，在ABC中，ABAC，DE垂直平分AB交AC于EA，则EBC          ；   
    
    
     

17. 如图，在中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、若是等边三角形，则_________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．
    
    
    求证：

．






 

19. 如图1所示，在中，，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC或BC的延长线于点M．

如图1所示，若，求的大小；

如图2所示，如果将中的的度数改为，其余条件不变，再求的大小；

你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．






 

20. 如图，在中，，于点D，且，求的度数．

21. 如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．
     

若，求的度数；

若周长13cm，，求DC长． 






 

22. 如图，中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，，交AB于点E，连结EG、EF．
     

求证：．

请你判断与EF的大小关系，并说明理由．






 

23. 如图，对进行以下操作：
    以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D；
    分别以C，D两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；
    作射线OP．
    请解答下列问题：
    作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    在所作的图中，求证：．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．延长AB到使得，延长AD到使得，连接与BC、CD分别交于点M、N，此时周长最小，推出即可解决．

【解答】

解：延长AB到使得，延长AD到使得，连接与BC、CD分别交于点M、N．








，
、关于BC对称，A、关于CD对称，
，，
，同理：，

此时的周长最小，
，，
，，
，

又
得
．
故选：C．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质由线段垂直平分线的性质得，，得出，，进而求出的度数即可．
【解答】
解：如图

点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，
，，
，，
，，





，
故选B．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，，计算即可。
【解答】
解：，
，
是AB的垂直平分线，
，
，
同理：，
，
，
故选B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，则可求得的度数，继而求得答案。
【解答】
解：，

根据题意得：MN是线段BC的垂直平分线




故选D。  

5.【答案】B
 

【解析】解：垂直平分线段AC，
，，
，

的周长，
故选：B．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出，即可得出结论．
【解答】
解：等边三角形ABC中，，
，即：AD是BC的垂直平分线，
点E在AD上，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选A．  

7.【答案】C
 

【解析】解：是AB的垂直平分线，，
，
，
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．
通过证明≌可得的正确性，通过ASA可证明≌，从而得到的正确性，根据直角三角形两锐角互余可证明的正确性，根据全等三角形的性质及线段代换可以证明的正确性．
【解答】
解：平分，
，
垂直平分BC，
，，
，
，
又，
≌，
，
，
，故正确；
垂直平分BC，
，
，
，
又，
，故正确；
，，，
≌，故正确；
≌，
，
，
，故正确．
故选D．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
根据等要三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质求出，从而可得结果．
【解答】
解：，，
，
则，
垂直平分AB，
，
，
，
故选D．  

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出，即可得出结论．
【解答】
解：等边三角形ABC中，，
，即：AD是BC的垂直平分线，
点E在AD上，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选A．  

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．
由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长或者，由BC和MN的长即可得到三角形AMN的周长．
【解答】
解：有两种可能：
如图1，直线MP为线段AB的垂直平分线，
，
又直线NQ为线段AC的垂直平分线，
，
的周长，
又，
则的周长为6；
如图2，的周长，
又，，
则的周长为10；
综上，的周长为6或10．
故选D．  

12.【答案】B
 

【解析】解：的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，
，
，
，
，
，
，
是的平分线；故正确；
，
，
是等腰三角形，故正确；
中，，中没有直角，
与不全等，故错误．
故正确的有2个．
故选：B．
首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得是等腰三角形，即可求得的度数，又由，即可求得与的度数，则可求得所有角的度数，可得也是等腰三角形．
此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

13.【答案】55
 

【解析】解：如图，

是直角三角形，，
，
，
，
由作图可知，AM是的平分线，
，
是AB的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
与是对顶角，
．
故答案为：．
根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线的定义得，由线段垂直平分线可得是直角三角形，故可得，从而可得，最后根据对顶角相等求出．
此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
 

14.【答案】11cm
 

【解析】

【分析】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，由，，点C在AE的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质得，即可得到结论．
【解答】
解：，，

．

又点C在AE的垂直平分线上，

，

．

，

．
故答案为11cm．

15.【答案】26cm，40
 

【解析】

【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而可得周长由，可求得的值，即可得的值，继而求得答案．
【解答】
解：、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
，，
周长．
，，
，，
，
，
，
．
故答案为26cm，40．  

16.【答案】15
 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数．
【解答】
解：在中，，，
，
垂直平分AB交AC于E，
，
，
．
故答案为：15．  

17.【答案】30
 

【解析】解：垂直平分BC，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：30．
根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得．
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．
 

18.【答案】证明：已知，

两直线平行，内错角相等．

是CD的中点已知，

中点的定义．

在与中，，，，

≌，

全等三角形的性质；

≌，

，全等三角形的对应边相等．

又，

是线段AF的垂直平分线，

．

已证，

等量代换．

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质定理．
根据条件用ASA证明≌，即可得；

根据线段垂直平分线的性质得，由知，可得．

19.【答案】解：，，
，
是AB的垂直平分线，
，
．

，，
，
是AB的垂直平分线，
，
．

，
理由是：，
，
是AB的垂直平分线，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，求解过程类似．
 

20.【答案】解：在DC上截取，连接AE，

，，
是线段BE的垂直平分线，
，
．
，
．
而，
，
．

故设，
为的外角，
，
，．
，
，
即，
解得，则．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：垂直平分BE，EF垂直平分AC，
，
，
，
，
，
；
周长13cm，，
，
即，
．
 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，再由三角形的外角性质即可得出答案；
根据已知能推出，即可得出答案．
 

22.【答案】解：，
．
为BC的中点，

在与中，
，
 ≌．
．
．
≌，
，．
又，
垂直平分线到线段端点的距离相等．
在中，，
即
 

【解析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 先利用ASA判定≌，从而得出；
再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．
 

23.【答案】解：如图，直线EF即为所求．

证明：平分，
，
，
，
，，
，
．
 

【解析】利用尺规作线段OP的垂直平分线EF即可．
根据等角对等边，证明即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，利用等角的余角相等证明角相等，属于中考常考题型．